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2024-2025 上海市金山区初三一模数学试卷
2025.1
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
3
（A）y x m2（其中m是常数）； （B）y ax2 bx c（其中a、b、c是常数）；
4
2
（C） y 2x 1 x； （D） y x 4 x2 ．
2 ．已知Rt ABC 中， C 90 ，AC 3 ，AB 5，那么下列各式中，正确的是（▲）
3 3 3 3
（A）sin B ； （B）cosB ； （C）cot B ； （D）tan B ．
5 5 5 5
2
3．在平面直角坐标系 xoy中，对于抛物线 y x 20 25，下列叙述正确的是（▲）
（A）抛物线有最低点，最低点的坐标是 20, 25 ；
（B）抛物线有最高点，最高点的坐标是 20,25 ；
（C）抛物线有最高点，最高点的坐标是 20,25 ；
（D）抛物线有最低点，最低点的坐标是 20,25 ．
4．下列说法中，正确的是（▲）
（A）两个等腰三角形一定相似； （B）两个直角三角形一定相似；
（C）含 45 角的两个等腰三角形一定相似； （D）含105 角的两个等腰三角形一定相似．
5．在△ ABC中，点D， E 分别是边 AB ， AC 的中点．下列结论中，错误的是（▲）
1
（A）△ ADE ∽△ ABC； （B） S ADE S2 ABC
；
1
（C）DE BC ； （D）DE∥ BC．
2
6．已知二次函数 y f x 的图像是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在 y 轴右侧．当
抛物线与 x轴两交点的距离为9 时，若 f 5 、 f 1 、 f 4 、 f 7 这四个函数值中有且
只有一个值不大于0 ，那么在这四个函数值中，值不大于0 是（▲）
（A） f 5 ； （B） f 1 ； （C） f 4 ； （D） f 7 ．
1
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
a b
7．已知a、b 是不等于0 的实数， 7a 5b，那么 ▲ ．
b
8．已知 f x 4x2 1，那么 f 2 ＝ ▲ ．
9．将二次函数 y x2 4x 3化成 y a x m 2 k 的形式为 ▲ ．
10．第七届中国国际进口博览会(简称“进博会”)于 2024 年11月5 日至10日在国家会展中
心(上海)隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级
博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心(上海)的距离为 2.6 厘米，那么请
帮小海计算出他家与国家会展中心(上海)的实际距离为 ▲ 千米．
图
图 图
11．在△ ABC中，点D，E分别在边 AB， AC 上．添加一个条件使△ ADE ∽△
ACB（顶点 A、D、E分别与顶点 A、C 、B对应），这个条件可以是 ▲ ．（写出一种
情况即可）
12．(洞孔成像) 如图 2 ， AB ∥ A'B ' ，物像 A'B ' 所在正方体的面与平面 A 'B 'AB 垂直，根
据图中尺寸，已知物像 A'B ' 的长为 4 ，那么物 AB 长为 ▲ ．
13．已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5 厘米和 2 厘米，如果这组对应边上的高
的长度相差 2.4 厘米，那么这两条高的长度和为 ▲ 厘米．

14．在△ ABC中，如果 AB AC ，这个三角形的重心为点G ，设GB a ，GA b，那么

向量 BC 用向量 a 、 b表示为 ▲ ．
2
15．如图3 ，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用 AB 表示，沿着通道走3.2 米可进入楼厅，
楼厅比楼外的地面高0.4 米，那么残疾人通道的坡度为 ▲ ．（结果保留根号的形式）
16．某校初三数学活动小组在利用尺规把线段 AB 分割成两条线段．
1
（1）过点B 作BC AB，使BC AB ．（2）联结 AC ，在线段CA上截取CD CB．
2
AE
（3）在线段 AB 上截取 AE AD．那么 ▲ ．
BE
17．在矩形 ABCD中， AB 5 ，BC 13 ，点E 在边DC 上，将矩形 ABCD沿 AE 翻
折，点D恰好落在边 BC 上的点F 处，那么 EC 的长为 ▲ ．
18．在平面直角坐标系 xoy中，将抛物线 l1 : y ax
2 bx c（其中a、b、c是常数，且
a 0 ），以原点为中心，旋转180 得抛物线 l2 ，则称 l2 是 l1 的“中心对称抛物线”．已知抛
物线 y 21 x 3x 4 ，将抛物线 y1 向左平移 n个单位长度，与 x轴的交点从左到右依次为
A、B．将抛物线 y1 的“中心对称抛物线” y 向右也平移n个单位长度，与 x轴的交点从左
到右依次为 C、D．当线段 BC 是线段 AB、BD 的比例中项时，n的值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题共 10 分）
sin 60 2 4cos 45 计算： cot 30 ．
tan 60 2sin 45 tan 45
3
20．（本题共 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
在平面直角坐标系 xoy中，已知：抛物线 y ax 2 bx经过点 A 4,3 和B 2,1 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点C 6,m 在抛物线 y ax 2 bx上， 求 ACO 的正弦值．
21．（本题共 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
如图 4 ，在矩形 ABCD中， AB 2 ，BC 4，对角线 AC ， BD相交于点O，点
E
E 在边 AD上，且 AEO AOE． A D
（1）求 AE 的长；
（2）求 tan AEO的值． O
B C
图
4
22．（本题共 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
如图5 ，△ ABC 和△ DEF 都是直角三角形纸片， A D 90 且△ ABC 与
△DEF 不相似．其中 AB a， AC b，DE m，DF n （n b a m）．
是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ ABC或△DEF 分割成两个三角形，使分
割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为 S ）与没有分割的三角形相
似．
如果存在；（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性；
（2）按照你写出的分割方案，求出 S 的值（可以用a或b或m或n的代数式表
A
示）．
D
图
B C E F
5
23．（本题共 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
已知：如图6 ，点E是平行四边形 ABCD的对角线BD上的一点，射线 AE与DC 交
A D
于点F ，与BC的延长线交于点H ． E
图
（1）求证： AE 2 EF EH ； F
（2）联结DH ，若DH AB， AD2 AE AH ， B C H
求证：四边形 ABCD是菱形．
6
不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香
24．（本题共 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）
在平面直角坐标系 xoy中（如图 7 ），已知抛物线 f x x2 b 1 x b b 0 ，
f x 的图像与 x轴的两个交点为点P、点Q（其中点P在点Q左侧）．
（1）若将 f x 的图像向上平移 2 个单位，得到的新抛物线 g x 经过点 1, 3 ，求新抛
物线 g x 的表达式；
（2）若 f x 的图像在直线 x 1的右侧呈上升趋势，求b的取值范围；
（3）在（1）中所求的 g x 的图像与 y 轴的交点记为点B，与 x轴的正半轴交点记为
3
点 A，点M 在 g x 的图像上．当直线MQ与直线PB垂直，且QP QA时，求点M
5
的坐标． y
1
O 1 x
图
7
不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香
25．（本题共 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
已知三角形 ADE 的顶点E 在三角形 ABC的内部，点D、点E 在直线 AC同侧．
（1）如图8 ，联结BD、BE、CE，若△ ABC和△ ADE 是等边三角形时，点C、D、E
三点共线，CE :DE 1: 2 ，求 S ADE : S ABC 的比值；
（2）如图9 ，联结BD、BE、CE（点C、D、E 三点不共线）， BAC DAE n
0 n 90 ，若 AB AC，AD AE，求 BEC DBE 的值（用含n的代数式表示）；
（3）若△ ABC是等腰三角形，AB BC 5 ，AC 8，BH AC，点E在高BH 上，
点 D 在 HB 的延长线上，联结 AE 并延长交边 BC 于点 F ，联结 DF ， DA ，当
DAE ABH ，△ ABD与△BDF 相似时，求EH 的长．
B
D B
D B
E E
A C A C A H C
图 图 备用图
8
参考答案
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1． C； 2． A； 3． C； 4． D ； 5．B； 6． D ．
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
12 2
7． ； 8．7 ； 9． y x 2 1； 10．52；
7

11． ADE C （答案不唯一）； 12．12 ； 13.5.6 ； 14． 2a b ；
5 1 12 21 5 5
15．1:3 7 ； 16． ； 17． ； 18． ．
2 5 4
三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题共 10 分）
3 24
解：原式 2
2
3 2 ……………………………………（1+1+1+1+1+1 分）
3
2 2 1
2
1 3 4 2 2 …………………………………………………………（1+1+1 分）
2
3 2 2 ………………………………………………………………………（1 分）
2
20．（本题共 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
解：（1） 抛物线 y ax 2 bx经过点 A 4,3 和B 2,1

3 16a 4b
………………………………………………………………（1+1 分） 1 4a 2b
5
a
解得： 24 ……………………………………………………………………（1+1 分） 1 b
12
5 1抛物线的表达式为 y x2 x………………………………………………（1分）
24 12
（2） 5 1点C 6,m 在在抛物线 y x2 x上
24 12
5 1m 62 6 8……………………………………………………（1 分）
24 12
9
C 6,8 …………………………………………………………………………（1分）
C 6,8 、 A 4,3 、O 0,0
OA 5,OC 10, AC 5 5 ………………………………………………………（1 分）
OA2 OC 2 AC 2
△ ABC为直角三角形………………………………………………………………（1 分）
OA 5
在直角三角形 ABC中，sin ACO ………………………………………（1 分）
AC 5
21．（本题共 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
（1） 在矩形 ABCD中
1ABC 90 ，OA OC AC …………………………………………（1+1 分）
2
在Rt ABC 中， AB 2 ，BC 4
AC 2 5 …………………………………………………………………………（1 分）
AO 5 ……………………………………………………………………………（1 分）
AEO AOE
AE AO 5 ……………………………………………………………………（1分）
（2）过点O作OH AD 垂足为H ………………………………………………………（1 分）
在矩形 ABCD中
BAD 90 1，OD OB BD
2
BA AD
OH AB …………………………………………………………………………（1 分）
OH DO
AB BD
OH 1………………………………………………………………………………（1 分）
在Rt AHO中， AO 5 ，OH 1
AH 2
10
HE 5 2 ………………………………………………………………………（1 分）
在Rt EHO中，HO 1，EH 5 2
tan AEO 5 2………………………………………………………………（1 分）
22．（本题共 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）
（1）分割方案：（答案不唯一）如图：
过点E 的直线交边DF 于点G ，使得 DEG B .……………………………………（2 分）
证明： A D 90 ， AB a， AC b，DE m，DF n
b a n mtan B , tanC , tan E , tan F
a b m n
n b a m
n b a m 即 tanE tan B tanC tan Fm a b n
E B C F …………………………………………………………（1 分）
A D 90 ， DEG B
△ ABC ∽△DEG………………………………………………………………（2 分）
（2） △ ABC ∽△DEG
AB AC ………………………………………………………………………（1 分）
DE DG
AB a， AC b，DE m
bmDG …………………………………………………………………………（2 分）
a
2
1 1 bm bmS DE DG m ……………………………………………（2 分）
2 2 a 2a
am2 a2m b2m
（其余答案为： S 或 S 或 S ）
2b 2n 2n
11
23．（本题共 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分）
（1） 平行四边形 ABCD
AD BC， AB DC…………………………………………………………（1+1分）
AE DE EF DE ， ………………………………………………………（1+1 分） EH EB AE EB
AE EF …………………………………………………………………………（1分）
EH AE
AE 2 EF EH ……………………………………………………………………（1 分）
（2） AD2 AE AH
AD AH 又 DAE DAH
AE AD
△ ADE ∽△ AHD
ADE AHD…………………………………………………………………（1 分）
AD BC， AB DC
ADE DBC， ABC DCH
AHD DBC…………………………………………………………………（1 分）
平行四边形 ABCD
AB DC
DH AB DC DH
DHC DCH
DHC ABC…………………………………………………………………（1 分）
ABE AHB又 BAE BAH
△ ABE∽△ AHB…………………………………………………………………（1 分）
AB AE AB2即 AE AH
AH AB
AB AD……………………………………………………………………………（1 分）
12
平行四边形 ABCD
四边形 ABCD是菱形．……………………………………………………………（1 分）
24．（本题共 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）
（1）将抛物线 f x x2 b 1 x b b 0 向上平移 2 个单位
新抛物线的表达式 g x x2 b 1 x b 2……………………………（1 分）
新抛物线经过点 1, 3
3 12 b 1 b 2 ………………………………………………………（1 分）
7b …………………………………………………………………………（1 分）
2
新抛物线的表达式 g x x2 5 3x ………………………………………（1 分）
2 2
（2） 抛物线 f x x2 b 1 x b b 0
b 1对称轴为直线 x ……………………………………………………（1 分）2
原抛物线在直线 x 1的右侧呈上升趋势
b 1 1……………………………………………………………………（1分）
2
b 3…………………………………………………………………………（1 分）
b 0
3 b 0 ……………………………………………………………………（1 分）
（3） g x 的图像与 y 轴的交点记为点B，与 x轴的正半轴交点记为点 A
3B 0, , A 3,0 ………………………………………………………………（1 分）
2
原抛物线与 x轴的两个交点为点P、点Q
P 1,0 ,Q b,0
3QP QA
5
13
1Q ,0 …………………………………………………………………………（1 分）
2
2 5 3设M t, t t

2 2


当直线MQ与直线PB垂直时，
2 5 3
2 t t tan PBO 2 2
3 t 1
2
7 1t1 , t2 …………………………………………………………………（1 分） 2 3
7 1 5 M1 ,2 ,M2 , ………………………………………………………（1 分）
2 3 9
25．（本题共 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分）
（1） CE :DE 1: 2
设CE k ，DE 2k
△ ADE 是等边三角形
AE DE 2k, AED 60 …………………………………………………（1 分）
AEC 120
在△ AEC中， AE 2k, AEC 120 ,CE k
解得：AC 7k…………………………………………………………………（1 分）
再证△ ADE ∽△ ABC ……………………………………………………………（1 分）
S : S AE2 : AC 2 4 ADE ABC …………………………………………………（1 分） 7
（2）先证△ ADB △ AEC
ABD ACE …………………………………………………………………（1分）
在△ ABC 中， BAC ABC ACB 180 ……………………………（1 分）
在△BCE 中， BEC EBC BCE 180 ……………………………（1 分）
14
BAC ABC ACB BEC EBC BCE …………………（1 分）
即：n ABC EBC ACB BCE BEC
BEC DBE n ……………………………………………………………（1 分）
（3）先证 ABD DBF
当△ ABD与△BDF 相似时
10 ADB FDB
此时△ ADB △FDB SAS
点 E 与成点H 重合（不合题意舍去）………………………………………………（1 分）
20 ADB BFD DAB BDF
ABH ADB BAD
DAE BAE BAD
ADB BAE
DAE ADF ABH ………………………………………………………（1分）
在△ ADF 中，可以设 AD 6k,DF AF 5k
△ ABD与△BDF 相似
AD AB DB 6k 5 DB 即
DF DB FB 5k DB BF
25DB ……………………………………………………………………………（1 分）
6
4 AH 24
在△ ABE中， AB 5, tan ABE , tan BAE tan ADH
3 DH 43
150解得：BE ………………………………………………………………………（1 分）
61
33EH BH BE ……………………………………………………………（1 分）
61
15

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