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专题2.2.1 解一元二次方程（一）五大题型（一课一讲）
（内容：直接开平方法及其应用）
【浙教版】
题型一：直接开平方法解一元二次方程的条件
【经典例题1】若关于的方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，
∴，∴
【变式训练1-1】若关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴，解得：
【变式训练1-2】若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定
【答案】B
【详解】解：∵，∴，∴，
∵一元二次方程的两个根是与，∴，
解得．
【变式训练1-3】若m是关于x的方程的某个根，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：原方程变形得：，
解得：，
∵方程的某个根在，
∴或，
解得：或，∴；
【变式训练1-4】如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意知，，
∵关于的方程没有实数根，∴，即
【变式训练1-5】已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
【答案】D
【详解】解：，则，
∵，∴，
∵，，∴为异号
题型二：利用直接开平方法解一元二次方程
【经典例题2】解方程：．
【答案】
【详解】解：移项得：，
开平方得：，
则或，
解得：．
【变式训练2-1】用适当的方法解方程：．
【答案】，．
【详解】解：
或
∴，．
【变式训练2-2】按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）． (2)．
【答案】(1) (2)，
【详解】（1）解：∵，∴，，
∴；
（2）解：，∴，∴，
∴，．
【变式训练2-3】解关于x的方程：
【答案】
【详解】解：
∴，
当时，等式不成立；
当时，，
∴．
【变式训练2-4】解方程：；
【答案】)
【详解】解：
∴或
解得：
【变式训练2-5】解方程
(1)； (2)；
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解： ，
，
（2）解：，
，
，
或，
．
题型三：已知方程的解求参数的值
【经典例题3】关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】解：把代入方程，得，
解得
【变式训练3-1】若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【答案】B
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是与，
且，
∴，
解得：，
即方程的根是：，，
∴
【变式训练3-2】已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，3是一元二次方程的一个根，
∴将代入方程，
可得，解得，
∴该方程为，
解该方程，可得，，
∴该方程的另一根是．
【变式训练3-3】若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ．
【答案】，
【详解】解：将代入方程，
可得，
解得，
将代入关于的方程，
可得，
解得，．
【变式训练3-4】定义：若，则称m与n是关于2的和谐数．
（1）与 是关于2的和谐数．（用含x的代数式表示）
（2）若关于2的和谐数是，则x的值为 ．
【答案】 或
【详解】解：（1）设与n是关于2的和谐数，则
，
解得，
故答案为：；
（2）由题意得：
，
∴
题型四：已知一个方程解求另一个特殊方程的解
【经典例题4】已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴则方程的解是
故选：D
【变式训练4-1】若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：解方程（，，均为常数，），
得：，
关于的方程（，，均为常数，）的解是，，
，，
方程的解为，
，
【变式训练4-2】关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：（m，h，k均为常数，m≠0），
解得，
而关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，
所以，
方程的解为，
所以 ．
【变式训练4-3】若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ．
【答案】，
【详解】解：关于的方程，均为常数）的解是，，
的解是或，即，．
故答案为：，．
【变式训练4-4】若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是
【答案】，
【详解】解：，
移项得，，
直接开平方得，，
∴；
，
移项得，，
直接开平方得，，
∴，
∵关于x的方程的解是，，
∴方程的解是：，，
故答案为：，．
【变式训练4-5】关于x的方程的解是，（a、k、b均为常数，）
问题：（1）关于x的方程的根是 ；
（2）关于x的方程的根为 ．
【答案】 ， ，
（2）仿照（1）计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵方程的解是，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故答案为：，．
（2）∵，
∴，
∵方程的解是，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：，．
题型五：直接开平方中的定义新运算
【经典例题5】现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．4或 B．7或 C．19或 D．
【答案】D
【详解】解：由新定义可知，，
∴
∴，
故选：D．
【变式训练5-1】定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解： ，
，
时, 解得 ；
时，解得 或 (舍)；
时， 解得 或(舍)；
时，方程无解；
综上所述：方程的解为：或 或
【变式训练5-2】根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法：
①化简一共有8种不同的结果；
②化简一共有8种不同的结果；
③若，（为正整数），则当时，．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：①的结果有两种，的结果有两种，的结果有两种，
的结果共有种，故①说法正确；
当时，
；
当时，
；
当时，
当时，；
的结果共有4种情况，故②说法错误；
③
解得，或（舍去）
故③说法正确，
∴正确的说法有2个，
故选：C
【变式训练5-3】定义为二阶行列式．规定它的运算法则为，那么当二阶行列式时， ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
整理得：，解得：
【变式训练5-4】对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
故答案为：或．
【变式训练5-5】定义新运算：；例如：，．若，则x的值为 ．
【答案】或
【详解】∵，∴当时，，解得或（不合题意，舍去）；当时，，解得；由上可得，x的值为或．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2.1 解一元二次方程（一）五大题型（一课一讲）
（内容：直接开平方法及其应用）
【浙教版】
题型一：直接开平方法解一元二次方程的条件
【经典例题1】若关于的方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】若关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定
【变式训练1-3】若m是关于x的方程的某个根，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 ．
【变式训练1-5】已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
题型二：利用直接开平方法解一元二次方程
【经典例题2】解方程：．
【变式训练2-1】用适当的方法解方程：．
【变式训练2-2】按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）． (2)．
【变式训练2-3】解关于x的方程：
【变式训练2-4】解方程：；
【变式训练2-5】解方程
(1)； (2)；
题型三：已知方程的解求参数的值
【经典例题3】关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【变式训练3-1】若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【变式训练3-2】已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是 ．
【变式训练3-3】若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ．
【变式训练3-4】定义：若，则称m与n是关于2的和谐数．
（1）与 是关于2的和谐数．（用含x的代数式表示）
（2）若关于2的和谐数是，则x的值为 ．
题型四：已知一个方程解求另一个特殊方程的解
【经典例题4】已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练4-2】关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练4-3】若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ．
【变式训练4-4】若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是
【变式训练4-5】关于x的方程的解是，（a、k、b均为常数，）
问题：（1）关于x的方程的根是 ；
（2）关于x的方程的根为 ．
题型五：直接开平方中的定义新运算
【经典例题5】现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．4或 B．7或 C．19或 D．
【变式训练5-1】定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-2】根据绝对值定义：可将表示为，故化简可得，，或四种不同结果，给出下列说法：
①化简一共有8种不同的结果；
②化简一共有8种不同的结果；
③若，（为正整数），则当时，．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练5-3】定义为二阶行列式．规定它的运算法则为，那么当二阶行列式时， ．
【变式训练5-4】对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为 ．
【变式训练5-5】定义新运算：；例如：，．若，则x的值为 ．

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