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专题2.2.2 解一元二次方程（二）八大题型（一课一讲）
（内容：配方法及其应用）
【浙教版】
题型一：利用配方法进行变形
【经典例题1】用配方法解一元二次方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
【变式训练1-4】将方程化成的形式为 ．
【变式训练1-5】若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
题型二：利用配方法进行变形后求参数的值
【经典例题2】解一元二次方程，配方后得到，则p的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
【变式训练2-1】将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【变式训练2-2】解关于x的一元二次方程 ，配方后得到 ，则 的值是（　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式训练2-3】用配方法解方程，将方程化成的形式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练2-4】若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为 ．
【变式训练2-5】用配方法解方程，配方得到，则的值为 ．
题型三：用配方法解一元二次方程
【经典例题3】解方程：
(1)； (2)．
【变式训练3-1】解方程：
(1) (2)
【变式训练3-2】解方程：．
【变式训练3-3】解下列方程
(1) (2)
【变式训练3-4】解方程
(1)； (2)．
【变式训练3-5】解方程：
(1)； (2)．
题型四：已知方程的根求解
【经典例题4】若一元二次方程的两根为a，b，且，则的值为 ．
【变式训练4-1】若方程的两根为：，，则方程的两根为 ．
【变式训练4-2】已知△ABC的两边分别为和，第三边是方程的一个根，则△ABC的面积为 ．
【变式训练4-3】已知，，则 ．
【变式训练4-4】已知方程可转化为，则 ．
【变式训练4-5】关于的方程，若通过配方得，则 ．
题型五：配方法中定义新运算问题
【经典例题5】现定义一种运算，例如．若，则的值（ ）
A．2或 B．或3 C．1或 D．或6
【变式训练5-1】定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，；按照这个规定，若，求x的值，甲答：或．乙答：；丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答得对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【变式训练5-2】定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或 D．或
【变式训练5-3】定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．或 B．或7 C．或7 D．或
【变式训练5-4】请仔细阅读材料，并解答相应问题
定义，（a、b、m均为正有理数）都是无理数，若满足①为有理数，②为有理数，则称A、B两数为姐妹数（如与，
，，
6，1为有理数，则、为姐妹数）
(1)已知是的两个根，求的值，并通过以上方法判断是否是一对姐妹数．
(2)在（1）条件下请继续判断、是否是一对姐妹数．
【变式训练5-5】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x1＝i，x2＝﹣i．
同样我们也可以化简2i；
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　；
(2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0
题型六：配方法的应用之比较大小
【经典例题6】若，，为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．的大小关系与的取值有关
【变式训练6-1】设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式训练6-2】已知，，当取任意实数时，则、的大小关系为（　　）
A．总有 B．可能 C．总有 D．不确定
【变式训练6-3】已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【变式训练6-4】已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　）
A． B． C．＜ D．＞
【变式训练6-5】若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ．
题型七：配方法的应用之最值问题
【经典例题7】已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【变式训练7-1】分式可取的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不存在
【变式训练7-2】已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式训练7-3】若实数a，b，c满足：，则c的最大值为 ．
【变式训练7-4】已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ．
【变式训练7-5】当实数 时，多项式有最 （大或小）值为 ．
题型八：配方法的应用之阅读题型
【经典例题8】阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如：，
∵
．
则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________．
【尝试应用】
（2）求代数式的最小或最大值．
【拓展提高】
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足，求c的取值范围．
【变式训练8-1】阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方：
；
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)【直接应用】，将代数式配方：______；
(2)【类比应用】已知，求的值；
(3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【变式训练8-2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
．因此．代数式有最小值；
②．
．
因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________．
(2)求代数式的最小值．
【变式训练8-3】阅读理解：求代数式的最小值．
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1．
仿照应用求值：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值．
【变式训练8-4】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最大（或最小）值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【变式训练8-5】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值；
(2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】如图，△ABC中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2.2 解一元二次方程（二）八大题型（一课一讲）
（内容：配方法及其应用）
【浙教版】
题型一：利用配方法进行变形
【经典例题1】用配方法解一元二次方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
【变式训练1-1】用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
移项得：
配方，得：，即。
【变式训练1-2】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，
二次项化系数为1得：，
移项得：，
配方得：，
整理得：
【变式训练1-3】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
【答案】B
【详解】解：、∵，
∴，∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，∴，∴，原选项错误，符合题意；
、∵，∴，∴，原选项正确，不符合题意；
、∵，∴，∴，原选项正确，不符合题意；
【变式训练1-4】将方程化成的形式为 ．
【答案】
【详解】解：，
．
【变式训练1-5】若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，即
题型二：利用配方法进行变形后求参数的值
【经典例题2】解一元二次方程，配方后得到，则p的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【详解】解：，
，
，
，．
【变式训练2-1】将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【详解】解：
∴，
故选B．
【变式训练2-2】解关于x的一元二次方程 ，配方后得到 ，则 的值是（　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，，
一元二次方程配方后得到方程，，
，，
故选：．
【变式训练2-3】用配方法解方程，将方程化成的形式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】解：，∴，
∴，∴，∴，．
【变式训练2-4】若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为 ．
【答案】1
【详解】解：，
，
，
．
∵，∴，解得，
故答案为：1．
【变式训练2-5】用配方法解方程，配方得到，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
又∵用配方法解方程，配方得到，
∴，∴的值为．
题型三：用配方法解一元二次方程
【经典例题3】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：移项，得．
配方，得，即．
∴．
∴，．
（2）解：，，．
．
∴．
∴，．
【变式训练3-1】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)， (2)，
【详解】（1）解：
移项，得：，
方程左右同时加上，得：，
即，
变形得：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
展开得：，
移项，得：，
即，
方程左右同时加上，
得：，
即，
变形得：，
∴，
∴，
解得：，．
【变式训练3-2】解方程：．
【答案】，
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
【变式训练3-3】解下列方程
(1) (2)
【答案】(1)，；(2)，；
【详解】（1）解：移项、配方得，
，
即，
两边开平方得，
，
∴，；
（2）解：移项、系数化为1得，
，
两边开平方得，
，
∴，．
【变式训练3-4】解方程
(1)； (2)．
【答案】(1)，； (2)，
【小题1】解：，
，
，
，
，
；
【小题2】解：，
，
，
或，
．
【变式训练3-5】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
配方，得：，
即：，
开方，得，
解得：，；
（2）解：，
化简，得：，
则，
解得：，．
题型四：已知方程的根求解
【经典例题4】若一元二次方程的两根为a，b，且，则的值为 ．
【答案】0
【详解】解：，
移项得：，
方程两边同除以4得：，
方程两边同加上得：，
配方得：，
开平方得：，
解得：，，
∵一元二次方程的两根为a，b，且，
∴，，
∴．
故答案为：0．
【变式训练4-1】若方程的两根为：，，则方程的两根为 ．
【答案】，
【详解】解：，
【变式训练4-2】已知△ABC的两边分别为和，第三边是方程的一个根，则△ABC的面积为 ．
【答案】或
【详解】解：解方程，
得：，，
的两边分别为和，
第三边的边长，
即第三边的边长，
第三边的边长为或．
①当时，
又，
此三角形是直角三角形，
这个三角形的面积是：；
②当时，
此三角形是等腰三角形，
如图，设，，
过点作于点，
，
，
等腰三角形的面积为；
故答案为：或．
【变式训练4-3】已知，，则 ．
【答案】．
【详解】解：∵，∴，，
∵，
∴，即，
∴，
两边同时除以得，即，
配方得，即，
解得或，
∴或（舍去），
故答案为：．
【变式训练4-4】已知方程可转化为，则 ．
【答案】2
【详解】解：由，
可得，
整理，得，
所以．
故答案为：2．
【变式训练4-5】关于的方程，若通过配方得，则 ．
【答案】
【详解】
即
∴
∴
依题意，
∴
∴
故答案为：．
题型五：配方法中定义新运算问题
【经典例题5】现定义一种运算，例如．若，则的值（ ）
A．2或 B．或3 C．1或 D．或6
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：或，
故选：B．
【变式训练5-1】定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，；按照这个规定，若，求x的值，甲答：或．乙答：；丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答得对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】A
【详解】解：依题意，
当时，，则，
整理，得，即，
解得，（不合题意，舍去）；
当时，，则，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
综上，或，
故只有甲答得对，
故选：A
【变式训练5-2】定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或 D．或
【答案】B
【详解】解：当即时，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
当即时，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的值是或，
故选：B．
【变式训练5-3】定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．或 B．或7 C．或7 D．或
【答案】B
【详解】解：由题意得：分两种情况：
①，
，即，
，
解得：，
当时，，即，符合题意；
当时，，即，不符合题意；
；
②，
，即，
，
解得：，
当时，，即，不符合题意；
当时，，即，符合题意；
；
综上，的值是或7，
故选：B．
【变式训练5-4】请仔细阅读材料，并解答相应问题
定义，（a、b、m均为正有理数）都是无理数，若满足①为有理数，②为有理数，则称A、B两数为姐妹数（如与，
，，
6，1为有理数，则、为姐妹数）
(1)已知是的两个根，求的值，并通过以上方法判断是否是一对姐妹数．
(2)在（1）条件下请继续判断、是否是一对姐妹数．
【答案】(1)，，为姐妹数(2)，是一对姐妹数
【详解】（1）解：
，
，
而4，都为有理数
∴为姐妹数；
（2），，
∵20，都为有理数，
∴，是一对姐妹数
【变式训练5-5】阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x1＝i，x2＝﹣i．
同样我们也可以化简2i；
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　；
(2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0
【答案】(1)﹣i，1，﹣1，1(2)x1＝1+i，x2＝1﹣i(3)x1＝2+2i，x2＝2﹣2i
【详解】（1）解：i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1；
故答案为﹣i，1，﹣1，1；
（2）解：∵（x﹣1）2＝﹣1，
∴（x﹣1）2＝i2，
∴x﹣1＝±i，
∴x1＝1+i，x2＝1﹣i．
（3）解：x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，
∴x﹣2＝±2i,
解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i．
题型六：配方法的应用之比较大小
【经典例题6】若，，为实数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．的大小关系与的取值有关
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
∵，∴，∴．
【变式训练6-1】设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】解：根据题意，得，，
故．
∵，∴，∴，∴，
故选：A．
【变式训练6-2】已知，，当取任意实数时，则、的大小关系为（　　）
A．总有 B．可能 C．总有 D．不确定
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∵，∴，∴，∴总有，
故选：C．
【变式训练6-3】已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【答案】B
【分析】解：∵，，
∴；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选B．
【变式训练6-4】已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　）
A． B． C．＜ D．＞
【答案】B
【详解】解：，
，，
，
，
故选：B
【变式训练6-5】若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ．
【答案】
【详解】解：
，
∵，∴，∴，∴，
故答案为：．
题型七：配方法的应用之最值问题
【经典例题7】已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】B
【详解】∵，
，
∴，则
故选：B．
【变式训练7-1】分式可取的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不存在
【答案】A
【详解】解：由题意得：
，
若要求得的最小值，则需得出的最小值即可，
∵，
∴的最小值为1，
∴的最小值为4；
故选A．
【变式训练7-2】已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：点到直线的距离是，
当时，点到直线的最小值为1．
【变式训练7-3】若实数a，b，c满足：，则c的最大值为 ．
【答案】6
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，且当时等号成立，
∴，
∴，
∴c的最大值为6，
故答案为：6．
【变式训练7-4】已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ．
【答案】2
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴代数式的最小值等于2；
故答案为：2．
【变式训练7-5】当实数 时，多项式有最 （大或小）值为 ．
【答案】 小 0
【详解】解：，
∴当实数时，多项式有最小值，最小值为0，
故答案为：，小，0．
题型八：配方法的应用之阅读题型
【经典例题8】阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如：，
∵
．
则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________．
【尝试应用】
（2）求代数式的最小或最大值．
【拓展提高】
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足，求c的取值范围．
【答案】（1）2，（2）；（3）
【详解】解：（1）∵代数式
∴代数式的最小值是，这时相应的的值是；
（2）
∵∴，∴代数式有最小值；
（3）∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
【变式训练8-1】阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方：
；
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)【直接应用】，将代数式配方：______；
(2)【类比应用】已知，求的值；
(3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】(1)(2)(3)16
【详解】（1）解：依题意，，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴配方得：，
即，
，，
故．
（3）解：依题意，
，
，
，时，
即当，时，则，
即取得最小值，最小值为16．
【变式训练8-2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
．因此．代数式有最小值；
②．
．
因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________．
(2)求代数式的最小值．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：∵，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴代数式的最小值为．
【变式训练8-3】阅读理解：求代数式的最小值．
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是1．
仿照应用求值：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值．
【答案】(1)6(2)19
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最小值，最小值是6；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式有最大值，最大值为．
【变式训练8-4】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最大（或最小）值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
有最大值，最大值是；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
．
【变式训练8-5】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值；
(2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？
【答案】(1)(2)，理由见解析
(3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为．
【详解】（1）解：∵ ，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为．
（2）解：，理由如下：
∵，
∵，
∴，
∴
（3）解：由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为．

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