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第二部分 计数原理
小 课 堂
排列与组合
1、分类计数原理 (加法原理 )
完成一件事，有n类办法，在第 1类办法中有m1种不同的方法，在第 2类办法中有
m2种不同的方法 ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N =m1+m2+ +mn种不同的方法.
注意事项：
（1）每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；
（2）每种情况内任两种方式都不同时存在；
（3）不同情况之间没有相同方式存在.
2、分步计数原理 (乘法原理 )
完成一件事，需要n个步骤，在第 1个步骤中有m1种不同的方法，在第 2个步骤中有
m2种不同的方法 ，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N =m1×m2× ×mn种不同的方法.
注意事项：
（1）步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的；
（2）每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响；
（3）每步所取的方式不同，不会得出（整体的）相同方式.
★ 3、排列数
一般地，从 n个不同元素中取出m（1≤m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成
一列，叫做从 n个元素中取出m个元素的一个排列 (permutation).特别地，当m=n时
这个排列被称作全排列 (all permutation).
Amn =n(n- 1) (n- 2) (n-m+ 1) = n ! ( )! (规定 0! = 1)n m
★ 4、组合数
一般地，从 n个不同的元素中，任取m（1≤m≤n）个元素为一组，叫作从 n个不同
元素中取出m个元素的一个组合.
m= A
m
n = n( n 1 ) C (n m + 1 ) = n ! n m 1× 2× ×m ! ( )! (n∈N
*，m∈N，且m≤n).
Am m n m
※ 5、组合数的性质
(1) Cm=Cn mn n ; Cmn +Cm 1n =Cmn+1.
(2) C 0+C 1n n+C 2n+ +C r n n 0n+ +Cn= 2 .注 :规定Cn= 1.
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小 课 堂 二项式定理
★ 1、二项式定理
(a+ b)n=C 0an+C 1 n 1 2 n 2 2 r n r rn na b+Cna b + + Cn a b + +Cnbnn
二项展开式 二项式系数
★ 2、二项式定理的说明
（1）项数：n+ 1项
（2）第 r+ 1项的二项式系数是C rn
（3）在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等.
（4）如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数是
奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等.
（5）通项公式：T =C ran r rr+1 n b (r= 0，1，2 ，n).，是第 r+ 1项
※ 3、二项式定理性质：
（1）所有二项式系数和C 0n+C 1n+C 2n+ +C rn+ +Cn nn= 2 ,并且中间项二项式系数最大
(2)C r+C r r rr r+1+Cr+2+ +Cn=C r+1n+1.
(3)C 1+ 2C 2+ 3C 3+ +nCn=n2n 1n n n n .
(4)C r 0mCn+C r 1 1 0rm Cn+ +CmC rn=C rm+n
4、数学归纳法证明二项式定理
二项式定理的证明 (a+ b)n=C 0an+C 1ann n b+ +C r n-r rna b + +Cnnbn(n∈N )
证明：(1)当n= 1时， a+ b 1=C 01a1+C 11b1成立；
(2)假设n= k时等式成立，即
a+ b k=C 0kak+C 1kak 1b+C 2ak 2b2k + +C k 1abk 1+C kk kbk
当n= k+ 1时
a+ b k+1= a+ b k a+ b
= C 0kak+C 1ak 1b+C 2k kak 2b2+ +C k 1k abk 1+C k kkb a+ b
=C 0ak+1+C 1akb+C 2ak 1b2+ +C k 1a2bk 1+C kabk+C 0akb+C 1ak 1b2+C 2ak 2b3k k k k k k k k +
+C k 1abk+C k k+1k kb
= C 0ak+1+ C 1+C 0 akb+ C 2+C 1 ak 1 2k k k k k b + + C k 1k +C k 2 a2k bk 1+ C kk+C k 1k abk
+C kbk+1 =C 0ak+1+C 1 akk k k+1 b+C 2 k 1 2k+1a b + +C k 1 2 k 1 k k k k+1k+1a b +Ck+1ab +Ckb
=C 0 ak+1k+1 +C 1 kk+1a b+C 2 ak 1 2k+1 b + +C k 1 2 k 1 k k k+1 k+1k+1a b +Ck+1ab +Ck+1b
∴n= k+ 1时等式成立，综合 (1) (2)等式成立
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