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第二部分 函数概念与性质
小 课 堂
函数三要素
1、 函数的概念
函数概念通俗易懂的理解为：
设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的
唯一的自变量 x有唯一的因
任意一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素 f(x)和它对应，那么称 f :A B 变量 y与之对应。
为从集合A到集合B的一个函数，记作：y= f(x)，x∈A.其中所有输入值 x组成的集
合A叫作函数 y= f(x)的定义域；所有输出值 y组成的集合叫作函数 y= f(x)的值域.
★ 2、函数的定义域（自变量的取值范围）
定义域的约束： 1 分式的分母不能为零； 2 对数的真数大于零；
函数问题，定义域优先
3 根号下被开方数大于等于零． 4 零指数幂底数不为零
3、函数的值域（因变量的取值范围）
y
函数值域要综合函数定义域和函数单调性.
f(x)
如图，函数 f(x)是定义在 [a,b]上的函数
由图可知：f(x)的值域是 [ f(m),f(n)]. a m n b x
★ 4、求函数值域的几种方法
(1)函数定义域直接制约着函数的值.对于比较简单的单调函数可通过定义域求得值域．
(2)换元法求解函数值域（：换元后自变量取值范围改变，函数值域不会变化）
二次函数型可通过换元法转化为二次函数，进而求解函数值域．
分子、分母是一次函数或二次齐次式有理函数用换元法转化为常见初等函数求值域；
分子、分母中含有二次项的有理函数，用换元法转化为基本不等式求值域．
(3)导数方法求值域：通过求解函数极值和端点值来确定函数的最值.
★ 5、含参问题与最值
（1）若：λ≥ f(x)恒成立，则 λ≥ f(x)max； λ≥ f(x)成立，则 λ≥ f(x)min
（2）若：λ≤ f(x)恒成立，则 λ≥ f(x)min； λ≤ f(x)成立，则 λ≥ f(x)max
y y f(x)
y= λ
y= λ
f(x)
x0 x x0 x
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小 课 堂 函数单调性与奇偶性
★ 1、函数单调性的定义：设任意实数 x1、x2∈ [a,b],且 x1< x2.那么：
f(x ) f(x )< 0 1 2 f(x)在 [a,b]上是增函数；
f(x ) f(x )> 0 1 2 f(x)在 [a,b]上是减函数.
y y
函数单调性的性质运算： f(x ) f(x1)2
1 增函数+增函数=增函数 f(x1) f(x2)
减函数+减函数=减函数
2 添加根号单调性不改变 x1 x2 x x1 x2 x
变倒数、加负号单调性改变
※ 2、斜率式判断单调性：设 x1 x2∈ a,b ,x1≠ x2那么
(x - x ) f(x ) - f(x ) > 0 f( x1 ) f( x2 ) 1 2 1 2 x x > 0 f(x)在 a,b 上是增函数；1 2
( - ) ( ) - ( ) < f( x1 ) f( x2 )x 1 x2 f x1 f x2 0 x x < 0 f(x)在 a,b 上是减函数.1 2
复合函数：设 y是 μ的函数 ★ 3、导数法判断单调性：设函数 y= f(x)在某个区间内可导.
y= f(μ),μ是 x的函数 μ= φ(x) 若 f (x)> 0，则 f(x)为增函数 ；若 f (x)< 0，则 f(x)为减函数.
如果 φ(x)的值全部或部分在 ※ 4、复合函数单调性：同增异减.复合函数 f g x 有：
f(μ)的定义域内，则 y通过 μ 当 f x 与 g x 的增减性相同时，复合函数就是增函数 (同增 )；
成为 x的函数，记 y= f(φ(x)) 当 f x 与 g x 的增减性相反时，复合函数就是减函数 (异减 ).
★ 5、函数的奇偶性：
eg : y= x2+ 2、y= sin(x- 1)2 奇 函 数 偶 函 数
y= tan(3x+ 1)都是复合函数 前 提 定义域关于原点对称
而 y= log(cosx- 3)就不是复合
y
函数 , ∵ x都不能使 y有意义 y
图 示
判断复合函数的单调性步骤： x
⑴求复合函数的定义域； x
⑵将复合函数分解为常见函数
（一次、二次、幂、指、对函数）； 计算式 f( -x) =-f(x) f( -x) = f(x)
⑶判断每个常见函数的单调性 对称性 f(x)关于原点对称 f(x)关于 y轴对称
⑷将中间变量的取值范围转化
特点 在 x= 0处有定义，则：f(0) = 0 对任意的 x，都有 f(x) = f( x )
为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。 6、多项式函数P(x) = a
n n-1
nx + an-1x + +a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数 P(x)偶次项的系数全为零. (常数按偶次项看待 )
多项式函数P(x)是偶函数 P(x)奇次项的系数全为零.
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函数周期性与对称性
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★ 1、周期性定义：
函数 f x 定义域内任意的 x，存在一个不等于 0的常数T，使得 f x+T = f x
恒成立，则称 f x 是周期函数，T是它的一个周期.一般T是 f x 的周期，则 kT k∈ Z 周期性是对称性的一种体现
也是 f x 的周期.
※ 2、函数周期推导
(1) f(x) = f(x+ a)，则 f(x)的周期T = a；
(2) f(x a) = f(x+ a)，或 f(x+ a) =± 1 ( ) ( f(x) ≠ 0)，则 f(x)的周期T = 2a；f x
(3) f(x) = 1 1 ( + ) ( f(x) ≠ 0)，则 f(x)的周期T = 3a；f x a
(4) f(x+ a) = f(x) f(x+ a)，则 f(x)的周期T = 6a.
(5) 若 f(x+ a) = f(x+ b)或 f(x- a) = f(x- b) ，则T = b- a
※ 3、 函数 y= f(x)的图象的对称性
（1）轴对称(自对称)：A(a- x，f a- x )，A'(a+ x，f a+ x ).
① f a+ x = f a- x y= f(x)图象关于直线 x= a对称；
② f a+ x = f b- x y= f x 图象关于直线 x= a + b2 对称．
恒等式特征：函数值相等，左右两边的 x的系数相反，可联想偶函数 f -x = f x ．
（2）中心对称(自对称)：A(a- x，f a- x )，A'(a+ x，f a+ x ).
① f a+ x + f a- x = 0 函数 y= f(x)图象关于点 (a，0)成中心对称；
② f a+ x + f a- x = 2b 函数 y= f(x)图象关于点 (a，b)成中心对称；
③ f a+ x + f b- x = c 函数 y= f(x)图象关于点 ( a + b， c2 2 )成中心对称．
恒等式特征：函数值的和为常数，所含 x的两个系数相反，可联想奇函数 f -x + f x = 0．
更一般的：y= f(x)图象关于 x= a + b2 对称 f(a+mx) = f(b-mx)
4、两个函数图象的对称性
(1)函数 y= f(x)与函数 y= f( -x)的图象关于直线x= 0(即 y轴 )对称.
(2)函数 y= f(x)和 y= f 1(x)的图象关于直线 y= x对称.
※ 5、周期性与对称性的关系
若函数 y= f(x)的图像关于直线 x= a，x= b都对称，则 f(x)为周期函数且 2 b- a
是它的一个周期．
推论：偶函数 y= f(x)图像关于 x= a对称，则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期．
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