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第六部分 数 列
小 课 堂
等差与等比数列
★ 1、等差与等比数列
等 差 数 列 等 比 数 列
后一项与前一项的差为常数 后一项与前一项的比为常数
定 义 a
- =
n+ 1
a = qn+1 an d an
通 项 an= a1+ n- 1 d= a + n-m d a = a qn-1= a qn-mm n 1 m
n(a + a )
求和 S =
1 n
n 2 na1(q= 1)
=na + 11 2 n(n 1)d
Sn= a1 (1 qn ) a 1 a n q1 q = 1 q (q≠ 1)
公式 = d2 n
2+ (a d1 2 )n
中 项 如果 a,b,c成等差数列，则 2b= a+ c 如果 a,b,c成等比数列，则 b2= ac
性 质 若m+n= p+ q，则 am+ an= ap+ aq 若m+n= p+ q,则 am an= ap aq
① an 为等差数列 ①若Sn=Aan+B，则 {an}是等比数列.
S = an2+ bn (无常数) ②若 Sn= Aan A≠ 0 ，则 an 是从第n
②若有S = an2n + bn+ c 二项 a2为首项的等比数列.充要

条件 an 是以 a2为首项的等差数列 ③ Sn= A q
n+ B，当且仅当 A = B
③若有S =Aa 2+ 1 a +C 时，{an}是等比数列；当且仅当A≠ Bn n 2 n
1 时，{an}是从第二项 a2为首项的等比数 an 是等差数列，且 d= 2A 列.
补充
S S 2n 1 mn=na n + 1 ； an= 2n 1 Sm+n=Sm+ q Sn=Sn+ q
nSm
公式 2
a > 0 a < 0
数列 ①Sn有最大值
n n
；Sn有最小值 an+1< 0 an+1> 0
Sn> 0 Sn< 0最值 ②Sn> 0，n的最大值 ；Sn< 0,n的最大值 .Sn+1< 0 Sn+1> 0
2、和数列与积数列
和数列 积数列
定 义 数列 an 满足 an+ an+1= f n 称和数列 数列 an 满足 anan+1= f n 称为积数列
an+ an+1= f n =An+B时， a nna n+1 = f n = q 时，则 a n 1a n =
则 an 1+ an=A n 1 +B，两式相 qn 1，通 项
减得：an+1 an 1=A，故 an 是隔 a两式相除得： n+ 1a = q，故 an 是隔
项的等差数列， n 1
a n + 1
项的等比数列，公比为 q；
1+A 2 1 n为奇数 n + 1公 式 an= 2 1 + n a q n为奇数a2 A 2 1 n为偶数 ∴ a = 1n na q 2 1 2 n为偶数
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小 课 堂 数列通项公式
★ 1、Sn法求数列通项：
(1)适用条件：适用题目所给关系式中含有Sn的情况.
(2)核心步骤：① 当n= 1时，a1=S1
Sn法中题目所给有时是关系式
② 当n≥ 2时，an=Sn Sn 1
eg :S 2n= 2n + 1,有时是递推式
③检验，当n= 1时，a1=S1，是否满足 an
eg：Sn= 2an+ 1。关系式可
直接得到 an，而递推式只能
※ 2、构造法求数列通项：
得到方程型关系。
(1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= pan+ q
(2)核心步骤：将题目的式子变形为：an+1= pan+ q
an+1+A= p(an+A)
an + 1+ A q
a +A = p A=

n p 1
所以 an+A 是以 a1+A为首项，以 p公比的等比数列
(3)构造法的引深
等差后缀 等比后缀
关系式 an+1= pan+ dn+ q an+1= pan+ q
n
an+1= pan+ dn+ q 左右两边同时除以 qn+1，
an+1+ x(n+ 1) + y= p[an+ xn+ y] a
得 n+ 1 p an 1
an + 1+ x ( n + 1 )+ y = qn+1
=
p q
×
qn
+ q
a
递推步骤 n
+ xn+ y
+ + + + = a
p
所以 an xn y
n
是以 a1 x y 令 bn n ，则有 b
1
q n+

1= q bn+

q
为首项，以 p公比的等比数列 p
对 b n+1= q bn+
1
q 运用基础构造法.
※ 3、倒数变换法求数列通项
( ) pa1 适用条件：适用题目所给关系式为 a + = n n 1 da + q (分子只有一项 ).n
(2)核心步骤：左对两边同时取分之一转化为新数列.
1 = d an + q 1 = q × 1 + dan+1 pan an+1 p an p
若 p= q，则数列 1 是以 1 为首项，以 d a a p 为公差的等差数列；n 1
若 p≠ q，令数列 b = 1n a ，上式转化为 bn+1= αbn+ β，继续运用构造法即可求出数列 an .n
※ 4、整体除法求数列通项
(1)适用条件：适用所给关系式中含有数列积的式子.例如 anan+1
(2)核心步骤：① 左对两边同时除以题目的数列积，转化为新数列.
② 新数列为等差数列，用等差数列求解方法求解
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5、累 (叠 )乘法求数列通项
(1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= f(n) × an(等比数列的广义形式 ) 小 课 堂
(2) a核心步骤：将题目的式子变形为： n+ 1a = f(n)n
a
类比： n a = f(n 1)n 1
....． ....
×) a2a = f(1)1

n 1 n 1
an
a = f(k) ∴ an= a1× f(k)1
k=1 k=1
6、累 (叠 )加法求数列通项
(1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= f(n) + an(等差数列的广义形式 )
(2)核心步骤：将题目的式子变形为：an+1 an= f(n)
类比得：
an an 1= f(n 1)
............
+)a2 a1= f(1)

n 1 n 1
an a1= f(k) ∴ an= f(k) + a1
k=1 k=1
※ 7、数学归纳法 (先猜后证 )求数列通项
(1)数学归纳法：直接证明的方法，用于证明与正整数有关的数学命题.
概括起来就是“两个步骤，一个结论.
(2)核心步骤：
① 证明当 n取第一个值 n0(例如n0= 1或 2等 )时结论正确；
② 假设当n= k(k∈N *，且 k≥n0)时结论正确.证明当n= k+ 1 时结论也正确.
③ 由①和②可知命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立.命题得证.
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8、其它递推数列通项公式
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数 列 数列通项公式
不动点递推法.令：a 2n+1= an= x，即 cx a d x b= 0；解出
两个根为 α,β．
aa + b ≠ a n+ 1 α = a n (1)当 α β时， k
n α
a k=
a α c
n+ 1= ca + d an+1 β an β a βc
，数列
n

a n α a 1 α
an

β 是以 a β 为首项，k为公比的等比数列.1
(2)当 α = β 时， 1 = 1 c a α a α + k k= αc+ d ，数列n+1 n
1 1
a - α 是以 a - α 为首项，k为公差的等差数列.n 1
p+ = b a 1 q 1 q
n 1
(1)当 时，an= a+ 1+ q .
(2)当 p+ q≠ 1时，设 an+1 αan= β an αan 1 与 an+1= pan+
a + = pan+ qa - α β=-qn 1 n 1 qan 1比较，得
a = a,a = b ，可知：α， β是方程 x
2 px q= 0
1 2 α+ β= p
的两根，容易求得 α， β.
当 α≠ β时，特征根解方程法：令 an= x αn+ y βn，将 a1,a2
代入即可.
当 α= β时，特征根解方程法：令 a = xn+ y αnn ，将 a1,a2代
入即可.
Fn =Fn-1+Fn-2 (1)定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两
F 项之和.0 =F1 = 1
n n
斐波那契数列 (2)通项公式：F = 1 1 + 5n 5 2 -
1- 5
2
(黄金分割数列)
(3)性质：a21+ a22+ +a 2n= anan+1
(1)当 p + q= 1 时，an+1 an= q an an 1 + A，继续构造
法，迭加法求出 an.
(2)当 p+ q≠ 1时，设 an+1 αan= β an αan 1 +A
an+1= pan+ qan-1+A α， β是方程 x2 px q= 0的两根，容易求得 α， β．
a1= a,a2= b 当 α≠ β时，特征根解法：an= x αn+ y βn+ z，代入 a1，a2，a3
可解.
当 α= β时，特征根法：an= xn+ y αn+ z，代入 a1，a2，a3可
解.
数列 {a * a n- 1n}满足：an+2= an+1- an(n∈N )、an= a (n≥ 3)则 {a周期数列 n}n-2
是周期为6的数列，计算出前 6个数列值，整个数列就都知道了.
数列求和方法
★ 1、公式法求和
(1)适用条件：适用题目所求为等差或等比数列的直接求和.
(2) n(a + a ) n(n核心步骤：等差：S = 1 n = a n+ 1 )n 2 1 2 d
n
a1 (1 q ) = a 1 a n q 等比 :S = 1 q 1 q
q≠ 1
n
a1nq= 1
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※ 2、需实记的数列和
自然数列的和：1+ 2+ 3+ 4+ +n= n( n + 1 ) 小 课 堂2
平方数列的和：1+ 22+ 32+ 42+ +n2= 16 n(n+ 1) (2n+ 1)
2
立方数列的和：1+ 23+ 33+ 43+ +n3=
n( n + 1 )
2
奇数列的和：1+ 3+ 5+ +(2n- 1) =n2
3、倒序相加法求和
Sn= a1+ a2+ a3+ +an 1+ an
+ ) S n= an + a n 1+ an 2 + + a 2+ a1
2Sn= (a1+ an) + (a1+ an) + +(a1+ an) + (a1+ an)
∴S = n (a 1+ an )n 2 ， ∵ an= a1+ (n 1) ∴ =
n(
d S a n+ n 1 )n 1 2 d
★ 4、错位相减法求和
(1)适用条件：适用于题目所给数列通项结构为等差×等比的数列求和.
(2)核心步骤：左边乘以公比，右边错开一位相减.
设数列为 an= an+ b qn，则Sn= a n + b a qn+1 b a q 1 q 1 (q 1)2 q 1 (q 1)2 q
设数列为 a an b a b an= an+ b qn-1，则S = + qn n q 1 q 1 (q 1)2 q 1 (q 1)2
(3)格式步骤如下：以 an= an+ b qn为例
①表示Sn： Sn= a1+ a2+ a3+ +an 1+ an
Sn= (a+ b)q+ (2a+ b)q2+ (3a+ b)q3+ +(an+ b)qn
②表示 qSn：qSn= (a+ b)q2+ (2a+ b)q3+ +(a(n 1) + b)qn+ (an+ b)qn+1
③相减式：(1 q)Sn= (a+ b)q+ aq2+ aq3+ aq4+ +aqn (an+ b)qn+1
④套公式：S = a n + b a qn+1 b a n q 1 q 1 ( )2 q 1 ( )2 qq 1 q 1
★ 4、裂项相消法法求和
(1)适用条件：适用于题目所给数列通项结构为分式形式的数列求和.
(2)核心步骤：需把题目所给数列通项结构进行裂项.其中：k= 1
大分母-小分母
列项公式： 1 = k( 1 ×
1 )
小分母 大分母 小分母 大分母
(3)常见放缩方式：
1 形如 1 ( + )2 ，常放缩为
1
( + ) >
1 1
n 1 n n 1 (n+ 1)2 ≥ (n+ 1) ( + )；n 2
2 形如 k ，常放缩为 k+ n n ，譬如
1 > 1 ≥ 1
a q q 3n 3n+ 1 4 3n-1
3 形如 1 ，常放缩为 1 ≥ 1
n+ 1 n+ 1 n+ n+ 1
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