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小 课 堂 第三部分 初等函数、方程与不等式
函数图像与变换
1、五点法画图：
函数化简→定义域→讨论性质 (奇偶性、单调性 )→算零点、最值点→光滑曲线作图.
★ 2、图象变换
左
（1）平移变换：自变量“左加右减”：y= f(x) （ 右 ） 平 移 a 个 单 位 y= f(x± a)
y y= f(x) y y= f(x- a)
左右平移
x x
x1 x2 x1+ a x2+ a
因变量“上加下减”：y= f(x) 上 （ 下 ） 平 移 b 个 单 位 y= f(x) ± b
y
y y= f(x) y2+ b y= f(x) + b
y2
上下平移
x
y y1+ b1
x
横坐标变为原来的ω倍
（2）伸缩变换：y= f(x) y= f( 1ω x)
（3）对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
= ( ) 关 于 x 轴 对 称 = ( ) = ( ) 关 于 y 轴 对 称y f x y f x y f x y= f( x)
关于原点对
y= f(x) 称 = ( ) = ( ) 关 于 x =y f x y f x a 对 称 y= f(2a x)
（4）翻折变换：
y= f(x)→ y= | f(x)|保留 x轴上方部分，并将下方部分沿 x轴对称翻折到上方
y y
y= f(x) y= f(x)
对
对称翻折
x 称翻 x
折
y= f(x)→ y= f(|x|)保留 y轴右边部分，并将右边部分沿 y轴对称翻折到左边
y y
y= f(x) y= f( x )
对称翻折 x ．
x
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附：几种常用初等函数图像
小 课 堂
1反比例型函数：
= ax+ b a b ky cx+ d (c≠ 0，

c ≠ d )分子常数化y= x- x + y0的图像是双曲线，其对称中心为点0
(x0，y0)，
其图象可由 y= kx 变换得到．【可根据对称中心 (x0，y0)，先画出两条渐近线，再根据 k的
符号画出双曲线！】
事实上，x0=- dc ，y
a
0= c ；该函数定义域为 {x|x≠-
d
c }，值域为 {y|y≠
a
c }．
y y
O x O x
y= k kx- x + y k< 0
y= x- x + y0 k> 0 0
0 0
y
y
O x O x
y= x- k kx k> 0 y= x+

x k> 0
2．双勾函数：y= x+ kx (k> 0)，见上第四图；【更一般形式的双勾函数：y= ax+
b
x (a>
0，b> 0)】
可根据奇偶性和基本不等式 a+ b≥ 2 ab(a，b> 0)，或导数法确定极值点 x=± k．
【注意区别于 y= x- kx (k> 0)的图象，见上第三图．】
3．含绝对值的函数：f x = a1 x- x1 + a2 x- x2 + +an x- xn + b．
(会用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．也要会直接快速
作出函数图象．)
⑴ f(x) = k x- a + b的图象：顶点坐标为 (a，b)，当 k> 0时，正∨字形；当 k< 0时，倒∨
(即∧)字形；
y y a,b y y y
x
a,b x1 2
x x1 x2 x x2 x x1 xx
1 1 1 2 2
⑵① f x = x- x1 + x- x2 + b；② f x = x- x1 - x- x2 + b；
⑶ f x = a1 x- x1 + a2 x- x2 + +an x- xn + b的图象．用零根分段去绝对值法变
分段函数，显然每段均为一次函数或常数．
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4．如何作出 f x =max{f1 x ，f2 x ， ，fn x }或 f x =min{f1 x ，f2 x ， ，fn x }小 课 堂
的图象？(n≥ 2)
在同一坐标系中先分别作出函数 f1 x ，f2 x ， ，fn x 图象，再利用它们的交点分段
确定 f(x)的图象．
函数零点与基本不等式
1、方程与函数关系：
方程 f x = 0有实根 函数 y= f x 图象与 x轴有交点 函数 y= f x 有零点
★ 2、零点存在性定理：零点存在性定理不可逆
如果函数 y = f x 在区间 y a,b 上的图象是连续
f(b)
不断的一条曲线，并且有 f a 零点 f b < 0，那么函数
y = f x 在区间 a,b 内有零 a x x 点，即存在 c∈ a,b ，0 b
使得 f c = 0，这个 c也就是方 f(a) 程 f x = 0的根.
3、不等式的性质：
性质 1：(对称性 )如果 a> b，那么 b< a；如果 b< a，那么 a> b．
性质 2：(传递性 )如果 a> b，且 b> c，则 a> c．
性质 3：如果 a> b，则 a+ c> b+ c．
推论：(同向可加性 )如果 a> b，c> d，则 a+ c> b+ d．
性质 4：如果 a> b，c> 0，则 ac> bc；如果 a> b，c< 0，则 ac< bc．
★ 4、基本 (均值 )不等式：
对于任意两个正实数 a，b， a + b2 叫做 a，b的算术平均值， ab叫做 a，b的几何平均值.
则有： a + b2 ≥ ab，当且仅当 a= b时，等号成立.
证明 (几何解释 )如下：
H
C
作一圆，直径记为AB，过C作垂线，连接AC、BC.
设AD= a，BD= b，则圆的半径OH = a + b2 A D O B
由ΔACD~ΔBCD可得： A D = C D 2CD BD CD =AD BD，
∴CD= ab
由图可得到不等式：OH ≥CD恒成立，当且仅当CD=OH，即OA=OB时取等号.
所以： a，b∈R+，恒有 a + b2 ≥ ab成立，当且仅当 a= b时取等号.
※ 5、平均不等式：调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均.
2 2 2
-1+ -1 ≤ ab≤
a + b ≤ a + b +
a b 2 2
a，b∈R (当且仅当 a= b取 " = ")
a + b 2 a2 + b 2≤ ≤ 2+ 2≥ (a+ b)
2
变形公式：ab 2 2 a b 2
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附：基本不等式与柯西不等式
小 课 堂
基本不等式常用模型
模型一：mx+ n nx ≥ 2 mn(m> 0,n> 0)，当且仅当 x= m 时等号成立.
模型二：mx+ n x a =m(x a) +
n
x a +ma≥ 2 mn+ma(m> 0,n> 0)，
当且仅当 x a= nm 时等号成立.
模型三： x = 1 ≤ 1 2+ + + + c + (a> 0,c> 0)，ax bx c ax b x 2 ac b
当且仅当 x= ca 时等号成立.
mx(n
模型四：x(n mx) = m x ) ≤ 1 m x + n m x
2
2 n
m m （ 2 ) = 4m
(m> 0,n> 0,0< x< nm )， 当且仅当 x=
n
2m 时等号成立.
二维柯西不等式：
设 a，b，c，d∈R+，有 (a+ b) (c+ d)≥ ( ac+ bd)2 ，当且仅当 a = bc d 时等号成立．
模型一：(a+ b) ( m + na b )≥ ( m+ n)
2其中 a,b∈R+，
例如 (a+ b) ( 1a +
1 1 1 2
b )≥ ( a a + b b ) = 4；
模型二： a + b x 1 x =[(x) + (1 x)] (
a + b x 1 x )≥ ( a+ b)
2
模型三：一高一低和式配凑类型
已知 x2+ y2的值，求 x+ y的取值范围，或者已知 x+ y的值，求 2x2+ 3y2的最值
或者求 x+ y的最值。
即 (x2+ y2) (m2+n2)≥ (mx+ny)2，其中m，n∈R+
2 2
例 (a2+ b2) (1+ 1)≥ (a+ b)2或者写成 a + b ≥ a + b2 2
模型四：同次积式配凑类型
已知 xy的值，求 (x+m) (y+n) (m,n∈R )的最值，
利用 (x+m) (y+n)≥ ( xy+ mn)2求最值
柯西不等式变形式
2 2
对柯西不等式变形，易得 ( ax +
b
y ) (x+ y)≥ (a+ b)
2在 a,b,x,y> 0时，
a2 b2 (a+ b)2就有了 + ≥ 当 a bx y x+ y x = y 时，等号成立．
同理 a
2 2 2 2
x +
b + c ≥ (a + b+ c) a b cy z x+ y+ z ,当 x = y = z 时，等号成立．
权方和不等式运用
权方和不等式：若 ai> 0,bi> 0,m> 0.
(a 1)
m+1 (a )m+1 + 2 + + (a n )
m+1
≥ a 1 + a 2+
m+1
则 + a n (b )m (b )m (b )m b + b + +b m1 2 n 1 2 n
a
当仅当 1b =
a2
b = =
an
b 时，等号成立.m为该不等式的和，1 2 n
它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
糖水不等式： 真分数越加越大，假分数越加越小
定理：若 a> b> 0，m> 0，则一定有 b + m ba+m > a，或者
a + m
b+m <
a
b
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小 课 堂 一次函数及其变换
★ 1、一次函数的图像性质
解析式 f(x) = kx+ b
y y
k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度. k= tanα= 1 ox1 xo
参数
b代表直线的纵截距，含义是直线与 y轴相交的点的纵坐标.
k> 0,b> 0 k> 0,b< 0 k< 0,b> 0 k< 0,b< 0
y y y y
图 像
x x
x x
增减性 单调递增 单调递减
2、一次函数的平移变换：左加右减，上加下减
（1）f(x) = kx+ b图象向左 (右 )平移m个单位得到：f(x) = k(x±m) + b；
（2）f(x) = kx+ b图象向上 (下 )平移 h个单位得到：f(x) = kx+ b± h；
★ 3、一次函数的翻折变换
以 f(x) = 2x+ 1与 f(x) = 2x+ 1 、f( x ) = 2 x + 1为例：
(1) f(x) 图象是将 f(x)在 x轴上方图象保留，将 x轴下方的图象作 x轴翻折后得到.
(2)函数 f( x )图象是将函数 f(x)在 y轴右侧的图象不变，把 y轴左侧的图象去掉，再将 y
轴右侧图象作 y轴翻折到左侧得到.
y y y
对称翻折
对
翻折变换 称
翻 y= f(x x
x )
y= f(x) 折 y= f(x) x
★ 4、一次绝对值不等式 (还可以转化为一元二次不等式求解 )
(1)对于 f(x) ≤ a型不等式的解法：(以 2x+ 1 ≤ 5为例 ) y y= 2x+ 1
① 解出 y= f(x)的零点：令 y= 2x+ 1中 y= 0 x= 12 .
y= 5
② 在同一坐标系中画出 y= f(x) 与 y= a的图像：
③ 解出翻折前 f(x) = a实根，再根据对称得出翻折后的实根：
-3 - 1 2 x
根据图像，得出 f(x) 2 ≤ a的解集：
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反比例函数及其变换
小 课 堂
★ 1、反比例函数图像性质
解析式 f(x) = kx
k> 0 k< 0
y y
图 像
f(x) = kx
x
f(x) = kx x
当 x> 0时，y随 x的增大而减小； 当 x> 0时，y随 x的增大而增大；
增减性
当 x< 0时，y随 x的增大而减小； 当 x< 0时，y随 x的增大而增大；
★ 2、反比例函数的平移变换
y= kx k> 0 图像向右平移 a个单位，向上平移 b个单位可以转化为 y=
k
x- a + b k> 0 反比例函数 y= kx 具有两
y y
( ) = k + 条渐近线：x= 0，y= 0，f x x- a b
所以在研究反比例函数的
y= b
平移变换 平移变换时，要考虑到渐近
x
f(x) = kx x 线位置的改变。
x= a
※ 3、一次分式函数
形如 f(x) = cx + dax+ b 这样的函数称为“一次分式函数”.
c
( ) = a a x + b + c-
cb
① 在函数的分子上配出分母的形式：f x a ax+ b
( ) = c + c-
cb
② 列项：f x a a ax+ b .
③ 令 k= c- cb，t= ca a，则函数 f(x) = t+
k
ax+ b ,其图像如下：
④由图可得 f(x) = cx + dax+ b 的性质： y
f(x) = cx + d
f(x)定义域 -∞,- ba 、 -
b , +∞ ax+ ba y= c
f(x)值域 -∞, c 、 ca a , +∞
a
f(x)在 -∞,- ba 、 -
b
a , +∞ 上单调递减. x
x=- ba
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小 课 堂 二次函数及其变换
★ 1、函数图像与性质
一般式：y= ax2+ bx+ c
顶点式：y= a(x h)2+ k
解析式 交点式：y= a(x x1) (x x2)
2
一般式与顶点式互化：y= a(x+ b )2+ 4a c b 2a 4a
a> 0 a< 0
y y
图 象
x x
x =- b x =- b0 2a 0 2a
对称轴 直线 x=- b2a
顶 点 - b , 4a c - b
2
2a 4a
x<- b2a 时，y随 x增大而减小 x<-
b
2a 时，y随 x增大而增大
增减性
x>- b2a 时，y随 x增大而增大 x>-
b
2a 时，y随 x增大而减小．
最 值 当x=- b b2a 时，y有最小值， 当x=-

2a 时，y有最大值，
※ 2、二次函数闭区间值域
二次函数 y= ax2+ bx+ c(a> 0)在闭区间 [p,q]上的最大值为M，最小值为m，
其中对称轴 x =- b0 2a ,区间 [p,q]上的中点 t=
1
2 (p+ q).
x0 p q x p x0 t q x p t x0 q x p q x0 x
(1) (2) (3) (4)
(1)若 x0< p，则 f(x)min= f(p) =m，f(x)max= f(q) =M；
(2)若 p≤- b2a < x0，则 f(x)min= f( -
b
2a ) =m，f(x)max= f(q) =M；
(3)若 x0≤- b2a < q，则 f(x)min= f( -
b
2a ) =m，f(x)max= f(p) =M；
(4)若 q≤- b2a，则 f(x)min= f(q) =m，f(x)max= f(p) =M.
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3、二次函数的平移变换
小 课 堂
以二次函数 y= x2的图象为例：
(1)y= x2的图象向左平移 1单位长度后的解析式：y= x+ 1 2；
向右平移 1单位长度后的解析式：y= x- 1 2
(2)y= x2的图象向上平移 2单位长度后的解析式：y= x2+ 2；
向下平移 2单位长度后的解析式：y= x2- 2
y y
向
上
平
移
2
向 单
下 位
x 平 x
移
向左平移 1单位 向右平移 1单位 2
单
位
★ 4、函数图象的翻折变换
以 y= 2x2+ 2x- 1与 y= 2x2+ 2x- 1 、y= 2 x 2+ 2 x - 1图象间的关系为例：
(1)函数 y= 2x2+ 2x- 1 的图象是将函数 y= 2x2+ 2x- 1在 x轴上方的图象保留，
再将 x轴下方的图象作关于 x轴对称得到.
(2)函数 y= 2 x 2+ 2 x - 1对 x取绝对值的图象，是将函数 y= 2x2+ 2x- 1在 y轴右侧
的图象保持不变，y轴左侧的图象去掉，再将 y轴右侧的图象作关于 y轴对称得到.
第一步：画出原图 第二步：进行翻折
y
y= 2x2+ 2x- 1的图像
y
y= 2x2+ 2x- 1 的图像
x
x
y
y= 2 x 2+ 2 x - 1的图像
x
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小 课 堂 二次方程与不等式
1、一元二次方程判别式：
一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0中 b2 4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用
“Δ”来表示，即Δ= b2 4ac.
当Δ> 0时，一元二次方程有 2个不相等的实数根；
当Δ= 0时，一元二次方程有 2个相等的实数根；
当Δ< 0时，一元二次方程没有实数根.
★ 2、公式法求解一元二次方程的根：
2
一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0，当Δ≥ 0时，x= b ± b 4 a c2a .
★ 3、韦达定理：如果一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0的两个实数根是 x1,x2，
那么 x + x =- b1 2 a， x1x2=
c
a .
★ 4、因式分解 (十字相乘法 )：mnx2+ (mp+nq)x+ pq= (nx+ p) (mx+ q)
举例： 3x2+ 11x+ 10= 0
x 2 3x2+ 11x+ 10= 0
∵ 5x+ 6x= 11x
3x 5 (x+ 2) (3x+ 5) = 0
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和刚好为一次项即可用该方法，横向书写结果.
★ 5、二次不等式的解集 (a> 0)
Δ= b2- 4ac Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0
二次函数 y=
ax2+ bx+ c的
图象 x1 x2 x
x0 x
x
ax2+ bx+ c=
x = - b ± b
2 - 4 a c x = x =- b
1,2 1 22a 2a 无实根0的根
ax2+ bx+ c> {x|x< x1或 x> x2} {x|x≠-
b
2a } R0的解集
ax2+ bx+ c<
{x|x1< x< x2}
0的解集
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幂函数
小 课 堂
★ 1、需实记的幂函数 y= xα(α≠ 0,1)
=
1 1 y= x3 y= x2解析式 y x 2= x y= x
y y y y
x
图 像 xx
x
定义域 [0, +∞) (-∞,0) ∪ (0, +∞) x/x R x/x R
值 域 [0, +∞) (-∞,0) ∪ (0, +∞) y/y R [0, +∞)
奇偶性 非奇非偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
定 点 (1,1)
需实记幂函数的图像，然后根据函数图像变换画出其它初等函数图像，并
考 点 且得到其它初等函数的性质。例如：根据 y= x的图像画出 y= ωx± a
± b的图像，并且能得到它的性质。
※ 2、幂函数 y= xα(α= qp ,p,q∈ Z,p,q互质 )的性质：
（1）过定点：所有的幂函数在 (0, +∞)都有定义，并且图象都通过点 (1,1)．
（2）单调性：如果 α> 0，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, +∞)上为增函数．
如果 α< 0，则幂函数的图象在 (0, +∞)上为减函数，在第一象限内
图象无限接近 x轴与 y轴．
（3）奇偶性：当 α是整数时，α为奇数，幂函数为奇函数，α为偶数，幂函数为偶函数．
q
当 α= p (其中 p,q互质，p和 q∈ Z)时
q
若 p为奇数 q为奇数时，则 y= x p是奇函数 (奇母奇子奇函数 )，
q
若 p为奇数 q为偶数时，则 y= x p是偶函数 (奇母偶子偶函数 )，
q
若 p为偶数 q为奇数时，则 y= x p是非奇非偶函数． (偶母奇子非奇偶 )
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小 课 堂 幂函数的衍生函数
★（一）对勾函数 (双勾函数、耐克函数 )的图像与性质
解析式 f(x) = ax+ bx
a> 0,b> 0 a< 0,b< 0 a> 0,b< 0 a< 0,b> 0
y y y y
图 像 2 ab 2 ab
b x - b x
x x
y= x a a
y= x y=-x
y=-x
渐近线 y= x或 y=-x
定义域 x/x≠ 0
值 域 y -∞,-2 ab ∪ 2 ab, +∞ y -∞,+∞
单调增 -∞,- b , - b ,0) -∞,0) (0,+∞ a a 无
区 间


b
a , +∞ (0,
b a
单调减 - b ,0), -∞, - b -∞,0) (0,+∞ 无 a a
区 间
(0, b ba a , +∞
x> 0 时，f(x) = ax+ bx ≥ 2 ab；x< 0 时，f(x) = ax+
b
x ≤-2 ab.
不等式
均值不等式可以应用在对勾函数中，用来求解最值，但是在使用时要注意到均值不
性 质
等式的应用条件：“一正、二定、三相等”
※（二）三次函数的图像与性质
定义 形如 y= ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)的函数，称为“三次函数”.
Δ= 4b2- 12ac= 4(b2- 3ac)
a> 0 a< 0
Δ> 0 Δ≤ 0 Δ> 0 Δ≤ 0
图像
x0 x x1 x2 x xx x x 0
x
1 2
两个极值 x1、x2= 两个极值 x1、x2=
极值 - b ± b2 - 3 a c 无极值 - b ± b2 - 3 a c 无极值
点 3a 3a
1 f(x)不可能为偶函数；当且仅当 b= d= 0时是奇函数
性质
2 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 ( - b b3a ,f( - 3a ))
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指数与指数函数
小 课 堂
★ 1、分数、指数、有理数幂
m
a n = n am(a> 0,m,n∈N ，且n> 1)； a-n= 1 nn ； ( a)n= aa
n n
a, a≥ 0
当 为奇数时， an= a n； 当n为偶数时， an= |a| = .-a, a< 0
2、指数幂的运算性质
r
ar as= ar+s(a> 0,r,s∈Q). as = ar s(a> 0,r,s∈Q)a
(ar)s= ars(a> 0,r,s∈Q). (ab)r= arbr(a> 0,b> 0,r∈Q).
★ 3、指数函数
函数名称 指数函数
定 义 形如 y= ax(a> 0且a≠ 1)的函数叫做指数函数
a> 1 0< a< 1
y y
图 象
f(x) = ax f(x) = ax
(0,1) (0,1)
x x
定义域 R
值 域 (0, +∞)
过定点 图象过定点 (0,1)，即当x= 0时，y= 1．
渐近线 y= 0即 x轴
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
a变化对
a越大，开口越靠近 y轴 a越小，开口越靠近 y轴
图象影响
★ 4、指数型函数
（1）形如：y=Aax-n+B的函数称之为指数型函数.
（2）指数函数 y= ax经过平移变换和伸缩变换后可以得到指数型函数.
（3）指数型函数的渐近线为：x=B，恒过定点（：n,A+B）
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※ 5、指数函数的翻折变换
小 课 堂
(1)函数 y= ax 与指数函数 y= ax图像一样，不需要进行翻折（函数值没有负的部分）
（2）函数 y= ax-n+m 的翻折变换 (以 y= 2x- 2 为例：)
1 先画出函数 y= 2x- 2的图像（上加下减，函数 y= 2x向下平移 2个单位可得）
y
y= 2x f(x) = 2x- 2
向下平移2个单位 x
渐近线： y=-2
2 将函数值为负的部分对称翻折到 y轴上方（去绝对值的原理）
y
渐近线： y=-2
f(x) = 2x- 2
x
对称翻折
f(x) = 2x- 2
（3）函数 y= a x-n +m的翻折变换以 y= 2 x-2 - 1为例：
1 先画出函数 y= 2 x-2 的图像（函数 y= 2x向右平移 2个单位）
y
向右平移2个单位
y= 2x f(x) = 2 x-2
x
2 函数 y= 2 x-2 向下平移 1个单位，可得到：y= 2 x-2 - 1
y
f(x) = 2 x-2 f(x) = 2 x-2 - 1
向下平移 1个单位 x
渐近线： y=-1
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对数与对数函数
小 课 堂
★ 1、指数式与对数式的互化
logaN = b ab=N (a> 0,a≠ 1,N > 0).
※ 2、对数换底公式
log N
log N = m a logma
(a> 0,且 a≠ 1,m> 0,且m≠ 1, N > 0).
推论 log namb =
n
m logab(a> 0,且 a> 1,m,n> 0,且m≠ 1,n≠ 1, N > 0).
★ 3、对数四则运算法则
(1)loga(MN ) = logaM + logaN ; (2)log
M
a N = logaM - logaN ;
(3)logaM n=nlog M (n∈R). (4)log M na ab =
n
b logaM (b≠ 0,n∈R)
注：性质运算公式 : loga1= 0 log a= 1 alogaNa =N
★ 4、对数函数
函数名称 对数函数
定 义 形如 y= logax(a> 0且 a≠ 1)的函数叫做对数函数
图 象 a> 1 0< a< 1
y f(x) = log x ya f(x) = logax
（1，0） x x（1，0）
定义域 (0, +∞)
值 域 R
过定点 图象过定点 (1,0)，即当 x= 1时，y= 0．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 (0, +∞)上是增函数 在 (0, +∞)上是减函数
a变化对
a越大，开口越靠近 x轴 a越小，开口越靠近 x轴
图象影响
★ 5、对数型函数
（1）形如：y=Aloga(x+n)+B的函数称之为指数型函数.
（2）指数函数 y= logax经过平移变换和伸缩变换后可以得到指数型函数.
（3）指数型函数的渐近线为：x= 0，恒过定点（：n,A+B）
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※ 6、对数函数的变换
小 课 堂
(1)函数 y= loga(x+ b)由对数函数 y= logax经过平移变换可以得到.
eg : y= log2(x- 1)由对数函数 y= log2x向右平移 1个单位可以得到.
y y
平移变换 x= 1
1 x 2 x
y= log2x y= log2(x- 1)
（2）函数 f(x) = loga(x+ b) 的翻折变换 (以 f(x) = log2(x- 1) 为例：)
1 先画出函数 f(x) = log2(x- 1)的图像（左加右减，函数向右平移 1个单位），过程如上方
2 将 f(x) = log2(x- 1)负的部分沿 x轴对称翻折可得 f(x) = loga(x+ b) 图像与性质
f(x) = log2(x- 1)
对称翻折
f(x) = log2(x- 1)
渐近线 x= 1
★ 7、指数不等式与对数不等式
(1)当 a> 1时,
f(x)> 0
af(x)> ag(x) f(x)> g(x); loga f(x)> logag(x) g(x)> 0 .
f(x)> g(x)
(2)当 0< a< 1时,
f(x)> 0
af(x)> ag(x) f(x)< g(x); loga f(x)> logag(x) g(x)> 0
f(x)< g(x)
8、对数换底不等式及其推广
若 a> 0,b> 0,x> 0,x≠ 1a ,则函数 y= logax(bx)
(1)当 a> b时,在 (0, 1a )和 (
1
a , +∞)上 y= logax(bx)为增函数.
(2)当 a< b时,在 (0, 1a )和 (
1
a , +∞)上 y= logax(bx)为减函数.
推论 :设n>m> 1，p> 0，a> 0，且 a≠ 1，则
(1)logm+p(n+ p)< logmn． (2)logamlogan< log2
m + n
a 2 .
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