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第四部分 导数与积分
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极限与导函数
1、极限
设函数 f(x)在点 x0的附近有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε，
一定存在 δ> 0,使不等式 f(x) -A < ε在 x- x0 0,δ 时恒成立，那么常数A
叫做函数 f(x)在点 x0处的极限，记作：lim f(x) =A
x→x0
2、几个常用极限
lim 1 = 0 lim ann = 0（1> a> 0） limx= xn→∞ n→+∞ x→x 00
lim 1 = 1 xx x lim
si n x
x = 1 lim 1+
1 = e
x→x 0 0 x→0 x→∞ x
3、导函数的定义：f x0 =
Δy = f x +Δx -lim lim 0 f x0
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：Δy= f(x0+Δx) - f(x0)；
Δy f(x
②求平均变化率： 0 + Δ x )- f( x0 )Δx = Δx ；
'( ) = Δy = f( x0 + Δ x )- f( x )③求极限，得导数：f x0 lim Δx lim
0
Δx .Δx→0 Δx→0
★ 4、导函数的几何意义
' yf(x)在点 x0处导数 f (x0)表示：f(x)在点 x0处切线的斜率. Q
如图，当Δx→ 0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率. △y
= Δy
P
即：k lim = f(xlim 0 + Δ x ) - f (x ) = f (x ).
Δx→0 Δx 0Δx→0 Δx △x
x
★ 5、函数求导公式
(C) = 0(C为常数 ) (xn) =n xn 1 (ex) = ex
(lnx) = 1 x x 1 x (a ) = a lna (loga x ) = xlna
(sinx) = cosx (cosx) = sinx tanx = sec2x
★ 6、函数求导法则
(1)线性法则：(mf(x) ±ng(x)) =mf(x) ±ng(x)
(2)链式法则： f μ(x) = f μ(x) μ (x)
(3)积法则 : ( f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x)

(4)商法则 : f( x ) = f (x )g (x ) - f (x ) g (x )g(x) g2(x)
★ 7、导数应用
（1）研究函数单调性 : 若 f (x)> 0，则 f(x)为增函数；若 f (x)< 0，则 f(x)为减函数
（2）求函数极值：极大值：在 x0附近“左增右减↗↘”；极小值：在 x0附近“左减右增↘↗”
步骤：f(x)定义域→求导 f (x)→求 f (x)零点→列表→判断增减性→得极值：
（3）求函数在 [a,b]的值域：f(x)在 a,b 内极值与 f(a)、f(b)比较，最大的数为最大值，
最小的数为最小值
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※ 8、同构母函数图像与性质
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解析式 f(x) = xex f(x) = x f(x) = e
x
ex x
y y y
1
f(x) = xex e e
图 像
1 x
-1
- 1 x f(x) = x 1 xe ex
f(x) = e
x
x
定义域 -∞，+∞ -∞，+∞ -∞， 0) ∪ (0+∞
① x+ 1 ex= e 1 x+ 1 ex+1= e 1 f x+ 1 ，即将 f x 向左平移1个单位，
再将纵坐标缩小为原来的 1e 倍，故可得 y= x+ 1 e
x在区间 ∞, 2
↓，在区间 2, +∞ ↑，当 x= 2时，y = 1 min 2 ．e
同 构 ② y= x 1x =
1
e x 1 e
(x 1)= 1e fe x 1 ，即将 f x 关于原点对称
后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小 1e 倍，得到 y=
x 1 ，故可得 y=
ex
x 1
x 在区间 ∞,2 ↑，在区间 2, +∞ ↓，当 x= 2时，y =
1 ．
e max e2
解析式 f(x) = xlnx f(x) = x f(x) = ln xlnx x
y f(x) = xlnx y y
1
e
1 e
图 像 e 1 e x
- 1 x 1 e xe
x f(x) =
ln x
f(x) = xlnx
定义域 0，+∞ 0， 1 ∪ 1，+∞ 0，+∞
① ln x + 1 = e ln e xx ex = ef lnex ，当 lnex∈ ∞, 1 ，即 x∈ 1, +∞
↓，
当 lnex∈ 1, +∞ ，即 x∈ 0,1 ↑，ymax= 1．
同 构
② ln x = 1 ln x
2
2 2 2 =
1
2 f lnx
2 ，当 lnx2∈ ∞, 1 ，即 x∈ e, +∞x x
↓，
当 lnx2∈ 1, +∞ ，即 x∈ 0, e ↑，y 1max= 2e．
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极限与定积分
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1、定积分概念： y
y= f(x)
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，将区间 [a,b]等分成n个小区间，
每个小区间长度为D(D= b an )，对所有小区间作和式：
n n a x
Sn= D× f(i) = b a b
i=1 i=1 n
× f(i)
当D无限接近于 0时，Sn无限趋近于常数S.称S为函数 f(x)在 [a,b]上的定积分.
n
S= lim b
b
a
n × f(i)，记为：S= f(x)dxn→∞ i=1 a
2、定积分几何意义：定积分表示积分上下限与函数围成的几何图形的面积.
3、积分公式
α+1
∫0dx= c(c为常数 ) ∫1dx= x+ c ∫xαdx= x α+ 1 + c(α≠-1)
∫ 1 dx= ln x + c ∫exdx= ex+ c ∫axdx= a
x
x lna + c(a> 0,a≠ 1)
∫sinxdx=-cosx+ c ∫cosaxdx= 1a sinax+ c(a≠ 0)
∫cosxdx= sinx+ c ∫sinaxdx=- 1a cosax+ c(a≠ 0)
4、积分运算法则
b b
(1)线性运算： kf(x)dx= k f(x)dx(k为常数 )a a
b b b
f(x) ± g(x)dx= f(x)dx± g(x)dxa a a
b c b
(2)区间可加性： f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中 a< c< b);a a c
5、微积分基本定理：牛顿莱布尼茨公式
b
若函数 f(x)在区间 a,b 上是连续的，且F (x) = f(x)，则有： f(x)dx=F(b) F(a)a
6、积分应用：
b
直线 x= a，x= b，x轴及曲线 y= f(x)围成曲边梯形面积S= f(x)dxa
b b
曲线 y= f x ,y= g x 在 a,b 上围成的图形面积S= f(x)dx- g(x)dxa a
y y
f(x) f(x)
g(x)
a b x a b x
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小 课 堂 导数在函数中的应用
★ 1、切线问题：
(1)已知切点 x0,f(x0) ，求切线方程的解题步骤：
1 求导数值 f (x)； 2 切线方程为：y- f(x ) = f 0 (x) (x- x0)．
(2)过点 (a,b)的切线方程求解步骤：
, ( ) f( x0 ) - b1 设切点 x0 f x0 ； 2 切线斜率为： = f (x ) xx0- a 0 0
3 方程为：y- f(x0) = f (x) (x- x0)；
(3)求 y= f(x)与 y= g(x)的公切线的步骤：
①设切点 (x1,f(x1)), ( , ( ))
f(x1) - g(x2)x2 g x2 ；②求导列关系式 k= - = f
(x ) = g 1 (xx x 2)1 2
③根据上面的关系式解出 x1或 x2；④回代入②中求出 k，如 k= f (x1)；
⑤利用点斜式求出切线，如 y- f(x1) = f (x1) (x- x1)．
※ 2、参数取值范围：
(1)函数定义域：解决函数问题，定义域优先.
(2)分离参量：利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边. a≤ h(x)
(3)恒成立和成立问题：
①恒成立：f(x)< a恒成立 f(x)max< a; f(x)> a恒成立 f(x)min> a;
②成立：f(x)< a成立 f(x)min< a f(x)> a成立 f(x)max> a
(4)导函数零点可求：导函数零点可求时，运用常规方法可求得函数最值，进而可得参数
取值范围.步骤：f(x)定义域→ f (x)→求 f (x)零点→列表→判断增减性→得最值.
※ 3、导函数零点不可求的处理方法：需要单独设分子为新函数，求导推出原函数单调性.
（1）分类讨论法 (证明不等式成立 )：通过对原函数或者导函数进行因式分解，对局部函数
进行研究，找出参数分界值，在分段区间上证明题意成立，从而印证该区间参数可以取到
单调性讨论：分离出参量后，构造新函数，求新函数最值，若新函数的导函数零点不可求
往往需要对分式分子进行求导 (整式直接进行二阶求导 )，若得到的式子不能比较直观的
判断正负则继续求导，直到得到的式子能比较直观判断正负，进而推出前面几阶导数的
增减和正负，直到可以确定原函数增减性.
（2）分离参量法：
(1)隐零点：通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.
“虚设代换 "法 :导函数 f (x)的零点无法求出显性的表达时，可以利用设而不求的思想.
① 在证明零点存在后，假设零点为 xo，则可得到一个关于 xo的方程 f (xo) = 0
② 根据 f (x)的单调性，得出 xo两侧的正负，进面得出原函数的单调性和极值 f(xo);
③ 将①式中关于 xo的方程整体或局部代入 f(xo)，从而求得 f(xo)，然后解决相关问题.
注意：使用 f (xo) = 0进行 "指幂代换 "(或 "对幂代换 ")，尽最转化为幂函数进行讨论.
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(2)洛必达法则：在驻点不可求时，往往需要讨论函数的增减性，这时，函数的最值往往
在间断点处取得，所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值.求极限时，函数的极 小 课 堂
限如果满足未定式 00 、
∞
∞ .则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.
f( x)

即：lim f (x )
x→x0 g(x) = limx→x0 g (x)
※ 4、证明单变量不等式
(1)核心考点：主要思路是把问题转化为函数最值问题，譬如证明 f(x)> g(x)：
策略一：移项，构造函数，证明 f(x) - g(x) min> 0；
策略二：放缩，证明 f(x)≥ l(x)> g(x)，一般 l(x)为切线；
策略三：变形，证明 f(x)min> g(x)max，该法并非通法，但有时对证明有意想不到的效果.
(2)函数放缩化曲为直：在处理函数不等式或者求解函数近似解中，由于原函数比较复
杂，常用化曲为直的方法进行放缩，以曲线上某点处的切线进行放缩，前提条件是放缩对
象具有凹凸性 (二阶导恒大于或小于 0).
常见的化曲为直有：
基础 指数切线放缩：ex≥ x+ 1 对数切线放缩：lnx≤ x 1
① ex 1≥ x、ex≥ ex (切横 x= 1) ① lnx≤ x．(用 x 替换 x，切点横坐标
② ex+a≥ x+ a+ 1 (用 x+ e ea替
是 x= e)
换 x，切点横坐标是 x= a)，
1 1
引申 ③ xe
x≥ x + lnx + 1．(用 x + ② lnx≥ 1 － x．(用 x 替换 x，切点横
lnx替换 x，切点横坐标满足 x+ 坐标 x= 1)，或者记为 xlnx≥ x－ 1．
lnx= 0). ③ lnx≤ x2－ x．( ln xx ≤ x－ 1)．2
④ ex≥ e x24 > x
2(x> 0) (用 x2 ④ ln(x+ 1)≤ x，由 lnx≤ x 1向左平移
替换 x，切点横坐标是 x= 2)；有 一个单位，或者将 ex≥ x+ 1两边取对数
e
x
n≥ e xn (x> 0)
而来.
的构造模型．
x∈ 0, +∞ 1- 1x ≤ lnx≤ x- 1
x∈ x- 1, +∞ 2 ( 1 )< lnx< x- 1 < 1 x- 1x+ 1 x 2 x
x∈ 0,1 1 2 x-
1
x < x-
1 < lnx< 2 ( x - 1 )
x x+ 1
※ 5、证明双变量不等式
y f(x)
(1)利用变量之间的关系转化 (消元或捆绑换元 )为单变量的不等式证明；
①当 x1< x2时，令 t= x2- x1,t∈ (0, +∞) 0< x <
t
x t= 1； ②当 1 2，令 ∈ (0,1)．t2 x1 x0 x2 x
(2)分拆变量，证明极值点偏移
①极值点偏移：对 f(x)有 f(x1) = f(x2) (x1< x2)，x0是函数 f(x)的极值点，且 x0∈ (x1,x2) y f(x)
x1 + x 2 < x1+ xx 2若 2 0，称为极值点右偏； 若

2 > x0称为极值点左偏．
x1 x0 x2 x
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②分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路 (以 x1+ x2< 2x0为例 )：
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ⅰ、将所证不等式中的变量分到不等式的两边 (x1< 2x0- x2);
ⅱ、构造对称函数 g(x) = f(x) - f(2x0- x2);
ⅲ、利用导数研究函数 g(x)的单调性 (单调递增 );
ⅳ、由函数 g(x)的单调性判断 g(x)与 g(x0)的大小 (g(x2)> g(x0) = 0)；
ⅴ、利用 f(x)的单调性反推变量大小关系，从而 ( f(x1) = f(x2)> f(2x 0- x2) x1+ x2<
2x0)
a - b (a≠ b)
③对数平均不等式：两个正数a和 b的对数平均定义：L(a,b) = lna- lnb ，对数a(a= b).
平均与算术平均、几何平均的大小关系： ab≤L(a,b)≤ a + b2 此式记为对数平均不等式.
取等条件：当且仅当a= b时，等号成立.
(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件：
① x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)min≥ g(x)max；
② x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)min≥ g(x)min；
③ x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)max≥ g(x)max；
④ x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)max≥ g(x)min；
⑤ x1,x2∈A,使得： f(x1) - f(x2) ≤ a,则：f(x)max- f(x)min≤ a；
⑥ x1,x2∈A,使得： f(x1) - f(x2) ≥ a,则：f(x)max- f(x)min≥ a；
※ 6、抽象函数的导函数构造
'
① xf '( ) + ( )> [ ( )]'> '( ) ( )> f( x )x f x 0 xf x 0；xf x f x 0

x > 0
'
当 x> f(x)0时，xf '(x) +nf(x)> 0 [xn f(x)]'> 0；xf '(x) nf(x)> 0 n > 0x
f(x) '
② f '(x) + f(x)> 0 [ex f(x)]'> 0；f '(x) f(x)> 0 ex > 0
'( ) + ( )> [ x( ( ) )]'> '( ) ( )> ( ff x f x a e f x a 0；f x f x a
(x ) + a ) '
x > 0e
sinxf '(x) + cosxf(x)> 0
③
x∈ π
[sinxf(x)]'> 0
2 ,
π
2 tanxf '(x) + f(x)> 0
sinxf x - cosxf(x)> 0 f(x) ′
x∈ - π π

2 , 2 ，tanxf x - f(x)> 0

sinx > 0
cosxf x - sinxf(x)> 0 ′
f cosxf(x) > 0 x - tanxf(x)> 0
cosxf x + sinxf(x)> 0 f( x ) ′
x∈ - π , π
> 0
2 2 ，f
x + tanxf(x)> 0 cosx
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附：导数中常用不等式
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指数不等式
2 3 n
ex的泰勒公式：ex= 1+ x+ x x x2! + 3! + ...+ n! +Rn
x2 x3 ne x= 1 x+ 2! 3! + ...+ ( 1)
n x
n! +Rn
x 2
ex≥ x+ 1 ex 1≥ x（ ex≥ ex） e 2≥ e x2 e
x≥ e4 x
2（ x≥ 0）
反向不等式：e x≥ x+ 1 ex< 1 1 x （ x< 1）
2
ex≥ 1+ x+ x2 （ x≥ 0）
弱化不等式：ex> x； ex> x2 (取点)
同向相加理论：ex e x≥ 2x(x≥ 0)
对数不等式
ln(1+ x)的泰勒公式：
2 3 4 n
ln(1+ x) = x x + x x ...+ ( 1)n+1 x2 3 4 n +Rn
= x 1
2 x 3 4 n
lnx x 1 +
1 x 1 x 12 3 4 ...+ ( 1)
n+1
n +Rn
2
x≥ ln(x+ 1)≥ x x2
x 1≥ lnx≥ 1 1x
1
e x≥ lnx
弱化不等式：x> lnx (取点)
指对混合不等式
ex lnx> 2
加强不等式：ex lnx> 2.3
ex 1≥ lnx+ 1
xex≥ x+ lnx+ 1
ex 1≥ x2 xlnx
三角不等式
三角的泰勒公式：
x3 x5sinx= x + n 1 x
2n 1
3! 5! ...+ ( 1) +R 2n 1 ! n
2 4 6 2n
cosx= 1 x + x2! 4!
x ...+ ( 1)n 1 x 6! +R 2n ! n
3
x≥ sinx≥ x x6 （ x≥ 0）
2
1≥ cosx≥ 1 x2
tanx≥ x≥ sinx（ 0≤ x< π2 ）
si nx
2+ cosx ≤
1
3 x(x≥ 0)
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对(指)数均值不等式
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对数均值不等式： 1 > ln m l n n > 2 m n m+n (m> 0,n> 0,m≠n)mn
m
指数均值不等式： e + e
n e m e n m + n
2 >
2
m n > e (m≠n)
2(x 1)
x∈ (0,1)时， > lnx> x 1 x+ 1 >
1
2 (x
1
x )x
2(x 1)
x∈ (1, +∞)时， < lnx< x 1 < 1 (x 1x+ 1 x 2 x )
(x 2)ex+ x+ 2> 0 ex< 2 + x2 x (0< x< 2)
ex e x≥ 2x(x≥ 0)
常见特殊值
ln2≈ 0.69 ln3≈ 1.1 ln5≈ 1.61
e≈ 2.718 e2≈ 7.39 e3≈ 20.1
1
e ≈ 0.37 e ≈ 1.65
·28·

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