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第三部分 立体几何与空间向量
小 课 堂
空间几何体的结构特征
★ 1、空间几何体的结构和计算
结 构 特 征 图 示 表面积体积
两底面相互平 E
A
F
行，其余各面都 S柱表= 2S底面积+S侧面积
侧棱 B
D
C
棱柱 是平行四边形；
侧面 F E
侧棱平行且相 底面
A D V柱=S底h
等. B C
柱体
两底面相互平行； S柱表= 2S底面积+S侧面积
以矩形一边所在
侧面 = 2πrl+ 2πr2
直线为旋转轴，其
圆柱 轴
余三边旋转形成 = 2πr(r+ l)
母线
的曲面所围成的 底面 V柱=S底h
几何体.
底面是多边形，
顶点 S 侧棱
各侧面均是三 S锥表=S底面积+S侧面积
侧面
棱锥 角形； D C
各侧面有一个
底面 V = 1锥 Sh
公共顶点. A B 3
锥体
底面是圆；以直角
顶点 S S 1 1 2扇形=
三角形的一直角 母线 2
lr= 2 α r
边所在的直线为 S锥表= πrl+ πr2
圆锥 旋转轴，其余两边 高 h = πr(r+ l)
旋转形成的曲面 1
所围成的几何体. VA O 锥
= 3 ShB
两底面相互平 侧棱
行；是用一个平 侧面 S台表=S底面积+S侧面积
棱台 行于棱锥底面的 D
平面去截棱锥， C
底面
底面和截面之间 A V=
1
3 (S上+ S上S下+S下)hB
的部分.
台体
两底面相互平 A O B
圆台 S = π(R+ r)l行；用一平行圆 母线 侧侧面
锥底面的平面截 高 h
S = πrl+ πr2+ πRl+ πR2
圆锥，底面和截 台表
面之间的部分.
A O B V=
1
3 (S上+ S上S下+S下)h
球心到球面上各点的 C
球心 球面 S球表= 4πR2
距离相等；是以半圆的
直径所在直线为旋转
球 A O B 4 3
轴，半圆面旋转一周形 R V球体= 3 πR
轴
成的几何体.
D 球半径
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★ 2、三视图
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（1）三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何
体的图形，包括：
主视图：物体前后方向投影所得投影图，反映物体的高度和长度
左视图：物体左右方向投影所得投影图，反映物体的高度和宽度
俯视图：物体上下方向投影所得投影图，反映物体的长度和宽度
3、直观图
（1）概念：一个物体，从直观看上去的图形，叫做直观图.分为平行投影下画出的直观图和
中心投影画出的直观图，画直观图的方法叫做斜二测画法.
（2）作图规则：
1 在已知图像中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点O，画直观图时，画出相应的
x′ 轴和 y′ 轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′ = 45° 或 135° ，它们确定的平面表示水平面.
2 图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画出平行于 x′ 轴和 y′ 轴的线段.
3 原图形中平行于 x轴的线段在直观图中长度不变，平行于 y轴线段变成原来的一半.
4、三视图之俯视图拔高：
三视图可以从俯视图开始，采用画弧、连线、拔高这三步去还原直观图
画弧与连线：长对正，宽平齐，高相等
找点：在俯视图中，依次标好“长对正，宽平齐”的交汇点，
拔高：各点找好后，在俯视图上能拔高的点是在正视图和侧视图中有“公共高”的点，
此点能拔立起来，俯视图转化成斜二测图形，并形成直观图．
如下图（3），点1处在正视图中有“高”，在侧视图中无“高”，故不能拔高
点2处在正视图和侧视图中有“公共高”，故此点应该拔高。
？ ×
1 1
？ ？ √ ×
2 3 2 3
※ 5、正四面体的性质 (棱长为 a)
①全面积S= 3a2； ②体积V= 2 a3；
12
③对棱间的距离 d= 2 a； ④相邻面所成二面角 α= arccos 1
2 3
⑤外接球半径R= 6 a； ⑥内切球半径 r= 6 a；
4 12
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 h= 6 a.
3
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空间点线面位置关系
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★ 1、线面平行
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此
判定 a a α
平面内的一条直线平行， b α a//α
b
定理 则直线与此平面平行. α a//b
如果一条直线和一个 a//α
a
性质 平面平行，经过这条直线 a β a//b
定理 的平面和这个平面相交， b α β= b α
则直线就和交线平行. β
2、面面平行
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内有两条 a P b a α
判定 相交直线与另一个平面 α b α α//β
定理 平行，则这两个平面平 a b=P
行. β a//β,b//β
如果两个平行平面 a//β
性质 时与第三个平面相交，那 a
α α γ= a
a//b
定理 么它们的交线平行 b β γ= b

β
γ
★ 3、线面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与平面内的 l a b=O
判定 两条相交直线都垂直，则 a、 b α
O b l⊥ α
定理 该直线与此平面垂直. aα a⊥ l
b⊥ l
如果在两条平行直线
a
中，有一条垂直于平面，那 b a//b
推论 b⊥ α
么另一条直线也垂直这个 α a⊥ α
平面.
直线垂直于平面，则， l l⊥ α l a
性质 直线与平面内任意一条直 a α
a l b
定理 线垂直. α b b α

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★ 4、面面垂直
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文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一 β
判定 个平面的一条垂 l l⊥ α
α⊥ β定理 线，则这两个平 α l β
面互相垂直
两个平面互相垂 β α β= a
直，则一个平面 l l⊥ a
性质 内垂直于交线的 α a l⊥ αα⊥ β
定理 直线垂直于另一
l β
个平面
几何法求空间角与距
★ 1、几何法求异面直线夹角：
(1)异面直线所成角的范围 (00,900]
（2）平移法求异面直线夹角：通过平移将问题转化到三角形中，用正余弦定理解三角形
几何方法一般有三种类型：
①利用图中已有的平行线进行平移；
②利用特殊点作平行线进行平移；
③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移.
※ 2、空间余弦定理求异面直线夹角：
设直线AB、CD的夹角为 θ，则有：
cosθ= cos AB,CD =
2 2 A
A D + B C AC
2
+ BD
2

2AB CD

推导：AB CD=AB AD AC =AB AD AB AC

= AB AD cos AB,AD AB AC cos AB,AC B D
A 2 B + A D
2
BD
2
= AB AD AB AC 2 AB AD C
A B
2
+ A C
2
BC
2
= A
2 2 2 2 2 2
B + A D BD A B + A C BC
2 AB AC 2 2
( AD 2= + B C
2) ( BD
2 2
+ A C )
2

∴ cos AB,CD = A B C D
AD2+BC 2 AC 2+BD2 =
AB CD 2AB CD
头尾 2 2 2 2
记忆：cosθ= + 头 尾 头 头 + 头 头 2AB CD
※ 3、面积射影法求解二面角
（1）二面角：范围 [00,1800]定义法：作出二面角的平面角，转化为解三角形
在平面 α上取一块区域，面积记为S原，该区域投影至平面 β，投影面积记为S射，
S
平面 α与平面 β所成二面角记为 θ，则：cosθ= 射S原
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立体几何的空间向量方法
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★ 1、空间向量的相关概念与运算
(1)概念：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.用有向线段表示.
(2)空间向量的运算：
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
B z
记OA= x1,y1,z1 ，OB= x2,y ,z1
C OA+OB=
2
OC
则 OA+OB =
加减法 x OA-OB=BAO x1+ y1,x2+ y2,z1+ z2
y A

OB -OA= x2- x1,y2- y1,z2- z1
a

设 = x1,y1,z1 ,b= x ,y ,z2 ，z 2 2

B OA+AB=OB
则：a+ b=

AB=OB-OA x1+ x2,y1+ y2,z1+ z2
O x
A a
b=
y
x1 x2,y1 y2,z2- z1
实数与 z
向量的 a 记 a
= x,y,z
乘积 b= λa λ∈R
O
x 则 b= λa
= λx1,λy1,λz
y b= λa

向量数 a b= a 记 a= (x1,y1,z1)，b=
量积 z ( , ,z )

b cos a,b x2 y2 2 ，则 a b= x1x2+ y1y2+
a z1z2

向量夹 O θ
x cosθ= a b 设 a= (x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2)，
角 y b

a × b 则：cosθ=
x 1x 2+ y1 y2 + z 1z 2
x2+ y2+ z2 x2+ y2+ z21 1 1 2 2 2

向量模 a z ± b
长 a
=
2
a ± b 2 2 2
O a
|a| = x + y + z
x = a 2± 2a b+ b 2
y
★ 2、平面法向量：
(1) 定义：如果表示向量m的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂 z
直于平面 α ，记作m⊥ α，如果m⊥ α，那么向量m叫做平面 α的法向量. m
(2) 法向量求法：设平面ABC的法向量m= (x,y,z) O B
x
m AC =
α
0

A
则： m= (x y
C
0,y0,z0)
m AB= 0

快速解法：把AC = (a,b,c)、AB= (d,e,f)坐标写两遍，划掉收尾，十字相乘求差，结果为法
向量.若结果有公因式，可以把公因式约去.
a b c a b c
法向量n = (bf ec,cd af,ae bd).
d e f d e f
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★ 3、向量方法下的位置关系
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位置关系 图示 向量关系 向量表达 向量坐标运算
线线平行 a a xa= λxb
a

//b a

= λb ya= λyb
(a b) b b za= λzb
线线垂直
b a

b a b a

b= 0 xaxb+yayb+zazb= 0
(a b) a

线面平行 m a a
b a m a m= 0 xaxm+yaym+zazm= 0
(a α) α
x = λx
线面垂直 a m
a m
// a m a = yλm a= λym
α za= λzm
(a α) a
x = λx
面面平行 n mα
n m // = yn m n λm n= λym
(α β) β
zn= λzm

面面垂直 β n
m n m n m= 0 xnxm+ynym+znzm= 0
(α β) α
★ 4、向量方法下的空间角与空间距
空间角 图 示 向量方法

线异面 a a 设θ为异面直线a,b

所成角，a、 b分别表
直线夹 示异面直线a,b的方向向量
b b
角 α
cosθ= cos< a ,b>= a b
a b

线面角 l m m l 设m是平面α的法向量，a是 l的方向向量，l
a a
φ φ 与平面α所成的角为
α α
sinθ= cos< m, a>= a m
a m

二面角 设n,m是面α,β的法向量，二面角 α- l- ββ m
n 的大小为 θ，二面角大小等于或π-

α
= <

cosθ cos n, m>= n m
n m
点面距 m 若n是平面 α的法向量，AB是平面 α的一条
B 斜线段，且B∈ α.
d
AB n
αA d= n
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三余弦定理与三正弦定理
小 课 堂
三余弦定理(又叫最小角定理或爪子定理)
(1)定理：设点A为平面 α上一点，过A点的斜线在平面 α上的射影为BO，BC为平面 α上
的任意直线，那么∠ABC，∠OBC，∠OBA三角的余弦关系为：
cos∠ABC = cos∠OBC cos∠OBA
即斜线与平面一条直线夹角 β的余弦值等于斜线与平面所成角 α的余弦值乘以射影与平面
内直线夹角 θ的余弦值。
cosβ= cosα cosθ (为了便于记忆，我们约定：β为斜线角，α为线面角，θ为射影角)
(2)定理证明：如上图，ΔOAB、ΔOBC、ΔABC均为直角三角形，cosβ= B C AB，cosα=
B O
AB，
cosθ= B C BO，易知 cosβ= cosα cosθ，得证。
(3)定理说明：这三个角中，角 β是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线与平面所成角 α是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
A
α
β O
B θ
C
三正弦定理(最大角定理)：
(1)定理：设二面角M AB N 的度数为 γ，在平面M 上有一条射线AC，它和棱AB所成
的角为 β，和平面N 所成的角为 α，
则 sinα= sinβ sinγ (为了便于记忆，我们约定：
β为线棱角，α为线面角，γ为二面角)
(2)定理证明：如图，CO⊥平面N，OB⊥AB，BC⊥AB，ΔOBC、ΔOAC、ΔABC均为直
角三角形，sinγ= O C ，sinβ= B C BC AC ，sinα=
O C
AC ，易得：sinα= sinβ sinγ。
(3)定理说明：由 sinα= sinβ sinγ且 sinβ≤ 1知：sinα≤ sinγ，α≤ γ，所以二面角的半平面
M 内的任意一条直线与另一个半平面N 所成的线面角不大于二面角，即二面角是线面角
中最大的角。
C M
α
γ O
N
β
A B
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小 课 堂 多面体外接球
一:柱体背景外接球型
★ 1. 【墙角模型】三条线两两互相垂直，不找球心的位置即可求出球半径
P P P P
A C BC C C
B A B A B A
图 1~1 图 1~2 图 1~3 图 1~4
方法：找三条两两垂直的线段，利用公式 2R 2= a2+ b2+ c2，即 2R= a2+ b2+ c2 求出R
★2、 【对棱相等模型】
三棱锥ABCD中，AB=CD，AC =BD，AD=BC，可补形为长方体，再求外接球半径．
第一步：画出一个长方体，标出互为异面直线的三组面对角线；
A
第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c，
B
AD=BC = x，AB=CD= y，AC =BD= z， D
a2+ b2= x2 2 2 2 C
列方程组： 2 2 2 2 2 c + b = y a + b + c2=
x + y + z
2 ； a2+ c2= z2
2 2 2 2 2 2
第三步：根据墙角模型，2R= a2+ b2+ c2= x + y + z ，即R= x + y + z 2 8 ．
3、【汉堡模型】(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也
内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)
第一步：确定球心O的位置，O1是ΔABC的外心，则OO1⊥平面
ABC；
第二步：算出小圆O1的半径AO1= r，OO1= 12 AA1=
1
2 h (AA1
= h也是圆柱的高)；
第三步：勾股定理：OA2=O 21A +O O2 R2= ( h 21 2 ) + r
2 R= r2+ ( h )22 ，解出R
二： 锥体背景的模型
·52·
4、【切瓜模型】(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法) 小 课 堂
1．如图4-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是
ΔABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等 三棱P ABC的底面 ΔABC在圆
锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取ΔABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径AO1= r，再算出棱锥的高PO1= h (也是圆锥的高)；
第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O 21O R2= (h R)2+ r2，解出R；
事实上，ΔACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R.
2．如图4-2，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC (即AC为小圆的直径)，且PA⊥AC，
则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2=PA2+ (2r)2 2R= PA2+ (2r)2；
②R2= r2+OO2 R= r21 +OO21
3．如图4-3，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC (即AC为小圆的直径)
OC 2=O1C 2+O O2 R2= r2+O O2 AC = 2 R2 O O21 1 1
4．题设：如图4-4，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC (即AC为小圆的直径)
第一步：易知球心O必是 ΔPAC 的外心，即 ΔPAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径
AC = 2r；
第二步：在ΔPAC中，可根据正弦定理 a sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，求出R.
★5. 【垂面模型】(一条直线垂直于一个平面)
1．题设：如图5，PA⊥平面ABC，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作
小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；
第二步：O1为ΔABC的外心，所以OO1⊥平面ABC，算出小圆
O1的半径O1D= r (三角形的外接圆直径算法：利用
正弦定理，得 a = b = c sinA sinB sinC = 2r)，
OO = 11 2 PA；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
① (2R)2=PA2+ (2r)2 2R= PA2+ (2r)2；
②R2= r2+OO21 R= r2+OO21 .
·53·
2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P的射影是ΔABC的外心 三棱锥P ABC的
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三条侧棱相等 三棱锥P ABC的底面ΔABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的
顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取ΔABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径AO1= r，再算出棱锥的高PO1= h (也是圆锥的高)；
第三步：勾股定理：OA2=O A2+O O2 R2= (h R)2+ r21 1 ，解出R
方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
三：二面角背景的模型
6、【折叠模型】 两个全等的三角形或者等腰三角形拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角∠A EC = α,CE=A E= h
如图 ，作左图的二面角剖面图如右图 ：H 1 和 H 2 分别为
ΔBCD,ΔA BD外心，
CH1= r= B D 2sin∠BCD，EH1= h r，OH = h r tan
α
1 2 ，
故R2=OC 2=OH 21 +CH 21 = r2+ h r 2tan2 α2 ．
凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面
图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以
求出外接球半径。
特殊情况要用 2R= a b c sinA = sinB = sinC 进行处理
·54·
7、【等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体】
凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶 小 课 堂
点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：△ABC以斜边BC为交线与其它平面
形成的二面角可以转换为平面DBC与其它平面构成的二面角．
A
O
F C
O1
B E
D
如上图中，△ABC为等腰三角形，且AB=AC，△DBC是以BC为斜边的Rt△，
A BC D二面角为 α，令△ABC的外接圆半径为 r2，BC边上的高为AO1= h2，
BC = 2r1，F为△ABC的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R满足以下恒等式:
OE2=OO2+O E2=R2= h 2 r 2
2
1 1 sinα + r
2
1 ．
8、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
如图8，∠APB=∠ACB= 90 ，求三棱锥P ABC外接球
P
半径(分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OA
=OB=OC =OP= 12 AB，∴O为三棱锥P ABC外接
球球心，然后在OCP中求出半径)，当看作矩形沿对角线 B
折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是 A O
平角球半径都为定值.
C
图 8
9、【直二面角模型】 双半径单交线公式:
图 9中，面BCD⊥面ABC,所在小圆半径为R1,R2 ,交线BC长为 l,
2
则三棱锥A-BCD外接球半径：R2=R21+R2 l2 A4
R2=OD2=OO2 21+O1D =O E22 +O1D2
= (O 22C CE2) +O 21D
O2 O
=O 2 1 2 22C ( 2 BC) +O1D B
2 O1
=R2 2 l1+R2 E4 D
C
图 9
·55·
9、【任意二面角型】
小 课 堂 2 2
双距离单交线公式：R2= m + n 2 m n co s α
2
2 +
l
sin α 4
如右图10，若空间四边形ABCD中，二面角C AB D的平面角 C
大小为 α，ABD的外接圆圆心为O1，ABC的外接圆圆心为O2，E
O
为公共弦AB中点，则∠O1EO2= α，O1E=m，O2E=n，AE= l2 ， O2 B
O O
OA=R，由于O、O1、E、O2四点共圆，且OE= 2R = 1 2sinα ，根据 E O1
D
余弦定理 O1O2 2=m2+n2 2mncosα，R2= OE 2+ AE 2= A
m 2+ n2 2 m n co s α l2+ 图 10
sin2α 4
．
注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦
的距离
锥体的内切球问题
1．题设：如图8-1，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其内切球的半径.
第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
第二步：求DH = 13 BD，PO=PH r，PD是侧面ΔABP的高；
第三步：由ΔPOE相似于ΔPDH，建立等式： O E = P O DH PD，解出 r
2．题设：如图8-2，四棱锥P ABC是正四棱锥，求其内切球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；
第二步：求FH = 12 BC，PO=PH r，PF是侧面ΔPCD的高；
第三步：由ΔPOG相似于ΔPFH，建立等式： O G = P O HF PF ，解出
3．题设：三棱锥P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为 r，建立等式：VP ABC=VO ABC+VO PAB+VO PAC+VO PBC
V = 1 S r + 1 S r + 1P ABC 3 ΔABC 3 PAB 3 SPAC r +
1
3 SPBC r =
1
3 (SΔABC + SΔPAB+ SPAC +
SΔPBC) r
第三步：解出 r= 3V P A B C SO ABC+SO PAB+SO PAC+SO PBC
·56·

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