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8.3实数及其简单运算
第1课时 实数概念
第8章 实数
人教版(新教材)数学七年级下册
1.理解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
2.理解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数;
3. 掌握利用数轴比较实数大小.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
问题导入
问1 我们知道有理数包括整数和分数，把下列分数写成小数的形式.
问2:整数能写成小数的形式吗？例如：5
问3.这些小数它们有什么特征？
有限小数和无限循环小数
整数可以写成小数点后为0的小数
问题导入
有理数：有限小数或无限循环小数。
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
新知讲解
问4.所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
不是.如：
（两个1之间依次多一个0）
问5.这些小数它们又有什么特征？
无限不循环
新知讲解
无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.
常见的无理数类型
(1) 含有的数；如，
(2) 开不尽方的数开方所得结果；如
(3) 有规律但不循环的小数，如 1.01001000100001…
新知应用
1．下列实数是无理数的是（　　）
A. B．1 C．0 D．－5
2.判断下列数是有理数还是无理数
①；②；③；④；⑤；⑥；
A
有理数
无理数
无理数
有理数
有理数
有理数
注意
(1)类似①带根号的数不一定是无理数,带根号时还应注意根指数，
(2)类似⑤⑥先化简再判断
新知应用
3.下列各数是有理数还是无理数？
(1) (2) (3) (4)(每相邻两个2之间依次多一个0) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
新知讲解
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
分数
整数
化简后含开方开不尽的数.如
有规律但不循环的小数.如
化简后含有的数.
如
新知讲解
问6.我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类吗？据此你能给出实数的其它分类吗？
无理数
有理数
实 数
负有理数
正有理数
正无理数：
负无理数：
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
0
按定义划分
新知讲解
负实数
正实数
实 数
正无理数
正有理数
负有理数
负无理数
0
按性质划分
典例讲解
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
，，，，，，，0，
(每两个3之间依次多一个7)
无理数集合:{ …};
有理数集合:{ …};
正实数集合:{ …};
负实数集合:{ …}.
，，，
，，，，0
，，
，，，，
对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同.
针对训练
1.判断：
(1).实数不是有理数就是无理数。（ ）
(2).实数分为正实数和负实数。（ ）
(3).无理数都是无限不循环小数。（ ）
(4).无理数都是无限小数。（ ）
(5).带根号的数都是无理数。（ ）
(6).无理数一定都带根号。（ ）
×
×
×
针对训练
2.将下列各数分别填入下列相应的括号内
，-3，，，，，，，
正实数集合:{ …};
非正数集合:{ …};
正分数集合:{ …};
自然数集合:{ …};
无理数集合:{ …}.
，，
，，，，，
，
，
新知探究
问7.每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
∵圆的周长为,∴点A所对的数为:
新知探究
思考2：你能在数轴上表示出和吗？
1
1
1
(1)把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 .
新知探究
(2)如下图，以一个单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
－2
－1
1
2
B
A
C
1
1
O
∵OA=OB=0C,∴ 点A所对的数为:,点B所对的数为:.
新知探究
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示出来。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
实数与数轴上的点是一一对应的
典例讲解
例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和，
(1)点B关于原点O的对称点为E,求点E所表示的实数
解：(1)∵数轴上B两点表示的数分别为，
∴点B到原点0的距离为，
则点E到原点的距离为，
∴点E表示的实数为，
典例讲解
例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和，
(2)点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：(2)法一
∵数轴上A，B两点表示的数分别为和，
∴点B到点A的距离为，则点C到点A的距离为，
设点C表示的实数为，则点A到点C的距离为，
∴，
∴
当点C为点B关于点A的对称点时，CA=BA
数轴上两点间的距离的求法：
数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之差的绝对值．
典例讲解
例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和，
(2)点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：(2)法二
设点C表示的实数为
∵点B关于点A的对称点为C，即A为BC的中点
∴，
∴
中点公式:若为的中点,点所表示的数为点所表示的数为，则中点点所表示的数为：
典例讲解
例3.(1)请将数轴上是各点与下列实数对应起来：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
A
B
C
D
E
(2)比较它们的大小（用“＜”号连接）
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
典例讲解
原点
0
正实数
负实数
与有理数一样，在实数范围内：
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
4.数轴上的点越往右表示的实数越大
针对训练
1.如图，数轴上表示实数的点可能是( )
A.点P B.点Q C.点R D.点S
B
2.如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有 个
3.小于的所有正整数有_____________________.
4.数轴上表示的对应点为A,B，点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是________
4
，，，
（第1题图）
（第2题图）
当堂检测
1.下列实数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法：①无限小数是无理数；②开方开不尽的实数都是无理数；③有理数都是实数；④所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；⑤是分数.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
B
新知讲解
3.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
C
4.如图,数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数,,,,,则表示数的点P应落在（ ）
A.线段AB上 B.线段BO上
C.线段OC上 D.线段CD上
B
（第3题图）
（第4题图）
当堂检测
5.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点之间的距离为________．
6.如图,在数轴上点A表示的数是.若把点A向左平移2个单位得到点B,则点B表示的数是__________;再作点B关于原点0的对称点C,则点C表示的数是_________
当堂检测
7.把下列各数填入相应的集合内.
，，，，，，
有理数集合：{ …};
无理数集合：{ …};
正实数集合：{ …};
负实数集合：{ …}.
，，，，
，，
，，，
，，
当堂检测
8.把下列各数近似地表示在数轴上，并用“＜”把它们连接起来．
， ，，，, .
解析∴
小结梳理
无理数：
无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数
数 实
化简后含开方开不尽的数.如
有规律但不循环的小数.如
化简后含有的数.
如
轴 数
一一对应
布置作业
作业：P54第1，2，3题
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