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天津市河东区 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
4 6 8
1.数列 2， ， ， ， 的通项公式可以为( )
3 5 7
2 2 2 A. ( 1) B. ( 1) C. ( 1) 1 D. ( 1) +1
2 +1 2 1 2 +1 2 1
2.已知数列{ }中， 1 = 2( ≥ 2)，且 1 = 1，则这个数列的第10项为( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
3.已知等比数列{ }中， = 2 × 3 1 ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 项和为( )
A. 3
1 3
1 B. 3(3 1) C. (9 1) D. (9 1)
4 4
2 2
4.已知双曲线 ： 2 = 1的焦距为4√ 2，则 的渐近线方程是( ) 4
√ 3 √ 2
A. = ± B. = ±√ 3 C. = ± D. = ±
3 2
5.抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 , 上的点到 的距离等于到直线 = 1的距离，则 =( )
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
6.已知曲线 ： 2 + 2 = 1，下列结论不正确的是( )
A. 若 > > 0，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B. 若 = > 0，则 是圆，其半径为√

C. 若 < 0，则 是双曲线，其渐近线方程为 = ±√

D. 若 = 0， > 0，则 是两条直线
7.已知 ， ， 成等差数列，直线 + + = 0与圆 : 2 + ( + 2)2 = 5交于 ， 两点，则| |的最小值
为( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 2√ 5
2 2 2 2
8.若椭圆 + = 1( > > 0)和双曲线 = 1( , > 0)有相同的焦点 1和 2，而 是这两条曲线的一
个交点，则| 1 | · | 2|的值是( )
1
A. B. ( ) C. 2 2 D. √ √
2
9.已知数列{ }满足： +1 · + +1 4 +2 = 0，则下列命题正确的是( )
A. 若数列{ }为常数列，则 1 = 1
B. 存在 1 ∈ (1,2)，使数列{ }为递减数列
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C. 任意 1 ∈ (0,1)，都有{ }为递减数列
D. 任意 1 ∈ (2,+∞)，都有2 < ≤ 1
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2 2
10.以双曲线 = 1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ．
16 9
1
11.已知数列{ }为等比数列，若 1 = 1, 2 = ，则数列{| |}的前6项和为 ． 2
1
12.等差数列{ }中，公差 = ，且 1 + 3 + 5 + + 99 = 60，则 1 + 2 + 3 + + 100 = ． 2
13.记抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， (4, )为抛物线上一点，| | = 6，直线 与拋物线另一交点为
| |
，则 = ．
| |
2 2
14.设 为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆
2 + 2 = 2交

于 ， 两点，若| | = | |，则 的离心率为 ．
15.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 × 12
的长方形纸，对折1次共可以得到10 × 12 ，20 × 6 两种规格的图形，它们的面积之和 1 =
240 2，对折2次共可以得到5 × 12 ，10 × 6 ，20 × 3 三种规格的图形，它们的面积之
和 2 = 180
2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么
∑ 2 =1 = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
直线 = + 1与双曲线3 2 2 = 1相交于 , 两点．
(1)求 的长；(2)当 为何值时，以 为直径的圆经过坐标原点？
17.(本小题15分)
设等差数列{ }的公差为 ，前 项和为 ，等比数列{ }的公比为 ，已知 1 = 1， 2 = 2， = ， 10 = 100．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；

(2)当 > 1时，记 =
，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题15分)
4( +1)
设数列{ }的前 项和 ， 1 = 4, +1 = ( 1)． 2 1
1
(1)证明：数列{ }是等比数列；
2 1
(2)求{ }的通项公式．
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19.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点 与抛物线 2的焦点重合， 1的中心与 2的顶点重合.过 且与
4
轴垂直的直线交 1于 ， 两点，交 2于 ， 两点，且| | = | |． 3
(1)求 1的离心率；
(2)设 是 1与 2的公共点，若| | = 5，求 1与 2的标准方程．
20.(本小题15分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 +1 = 2 + 2( ∈ ).
(1)求数列{ }的通项公式．
(2)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2个数组成一个公差为 的等差数列，在数列{ }中是否存在3项 ，
， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列 若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】 2 = 16
63
11.【答案】
32
12.【答案】145
13.【答案】2
14.【答案】√ 2
15.【答案】5
+ 3
240(3 ) 2
= + 1
16.【答案】解：(1)联立方程组，得{ (3 2) 22 2 2 2 = 0 3 = 1
{ 3
2 ≠ 0
2 2 √ 6 < < √ 6且 ≠ ± 3 = 4 + 8(3 ) > 0 √
2
1 + 2 =
所以{ 3
2
,
2
1 2 = 3 2
2√ 1+ 2√ 6 2
= √ 1 + 2| 2 21 2| = √ 1 + √ ( 1 + 2) 4 1 2 = 2 | 3|
(2)由第(1)问，有 1 2 = ( 1 +1)(
2
2 +1) = 1 2 + ( 1 + 2)+ 1
以 为直径的圆经过坐标原点， ⊥
即 1 2 + 1 2 = 0
2 2
( 2 + 1) 1 2 + ( 1 + 2)+ 1 = (
2 + 1) + + 1 = 0
3 2 3 2
解得 = ±1，此时满足条件 √ 6 < < √ 6且 ≠ ±√ 3 ．
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10 1 + 45 = 10017.【答案】解：(1)由题意，{ ,
1 = 2
2 1 + 9 = 20即{ ，
1 = 2
= 1 1 = 9
解得{ 1 或{ 2 ，
= 2 =
9
1
= 2 1 = (2 + 79)故{ 或{ 9 1 ； = 2 2 = 9 · ( ) 1 9
(2)当 > 1时，由(1)知 = 2 1， = 2
1，
2 1
∴ =
2 1
，
3 5 7 2 1
于是 = 1 + + + + +2 22 23 2 1
①，
1 1 3 5 7 2 1
= + 2 + 3 + 4 + + ②， 2 2 2 2 2 2
① ②可得，
1 1 1 1 2 1

2
= 2 + + + + 2 22 2 2 2
2 +3
= 3 ， 2
2 +3
故 = 6 1． 2
18.【答案】解：(1)
4( +1)
∵ +1 = ( 1)， 2 1
4( +1)
∴ +1 = ( 1)， 2 1
即(2 1) +1 (2 1) = 4( + 1)( 1)，
即(2 1)( +1 1) = (6 + 3) (6 + 3)，
即(2 1)( +1 1) = 3(2 + 1)( 1)，

即 +1
1 1
= 3( )，
2 +1 2 1
1
又∵ 1 = 1 = 3，
2×1 1 1
{ 1∴数列 }是以首项为3，公比为3的等比数列．
2 1
【小问2详解】
1
由(1)知： = 3 ，
2 1
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即 = 3
(2 1)+ 1，
当 ≥ 2时， = 3 1 1 (2 3) + 1，
=
1 1
1 = 3 (2 1) + 1 [3 (2 3) + 1] = 4 3 ，
又∵ 1 = 4也适合上式，
故 = 4 3
1 , ∈ ．
19.【答案】解：(1) ∵ ( , 0)， ⊥ 轴且与椭圆 1相交于 、 两点，
则直线 的方程为 = ，
=
2 2 = 22
联立{ + = 1 ，解得{ 2 2 2 ，则| | = ， = ±
2 = 2 + 2
=
抛物线 2的方程为
2 = 4 ，联立{ 2 = 4 ,
=
解得{ = ±2 , ∴ | | = 4 ,
2
4 8
∵ | | = | |，即4 = ，2 2 = 3 ，
3 3
即2 2 + 3 2 2 = 0，即2 2 + 3 2 = 0，
1 1
∵ 0 < < 1，解得 = ，因此，椭圆 1的离心率为 ； 2 2
2 2
(2)由(1)知 = 2 ， = √ 3 ，椭圆 1的方程为 2 + = 1， 4 3 2
2 = 4
联立{ 2 2 ，消去 并整理得3 2 +16 12 2 = 0，
+ = 1
4 2 3 2
2
解得 = 或 = 6 (舍去)，
3
2 5
由抛物线的定义可得| | = + = = 5，解得 = 3．
3 3
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2 2
因此，曲线 1的标准方程为 + = 1， 36 27
曲线 2的标准方程为
2 = 12 ．
20.【答案】解：(1)由 +1 = 2 + 2，得 = 2 1 +2( ≥ 2)，两式相减，得 +1 = 3 ( ≥ 2)．∵数
列{ }是等比数列，又∵ = 1时，代入可得 2 = 2
1
1 + 2 = 2 1+ 2 = 3 1，∴ 1 = 2，∴ = 2 3 ．
(2)由题意得 +1 = + ( + 2 1) ，
4×3 1
即2 3 = 2 3 1 + ( + 1) ，故 = ． +1
假设在数列{ }中存在三项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列，
4×3 1 4×3 1 4×3 1
则( )
2 =
2
，即( ) = ， +1 +1 +1
32 3 +
∴ = ( )
( + 1)2 ( + 1)( + 1)
∵ 、 、 成等差数列，∴ + = 2 ，
则( )式可化为 2 = ，故 = = ．
这与题设矛盾，∴在数列{ }中不存在三项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列．
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