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4.6 两条平行线间的距离
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解平行线之间的距离的概念；
2.能够测量两条平行线之间的距离；
3.掌握公垂线、公垂线段的概念及性质。
学习重点：理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系
学习难点：在具体题目中测量两条平行线间的距离
预习自测
一、单选题
1．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
二、填空题
2．如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ．
3．如图，直线a∥b，A是直线a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段 的长就是a、b之间的距离．
4．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的 ．
教学过程
一、创设情境、导入新课
如图，AB//CD，EM，FN，GP，HQ···分别垂直于AB，那么直线EM，FN，GP，HQ···之间有何位置关系？EM，FN，GP，HQ···同时垂直于CD吗？这些线段的大小有什么关系？
二、合作交流、新知探究
探究一：
【思考】
画两条互相平行的直线 ，从其中一条直线上任取两点， 比较这两点到另一条直线的距离。再多取几个点 ，结果会发生变化吗？由此你会发现什么？
提炼概念：
公垂线：_________________________________________________________________________
公垂线段：_______________________________________________________________________
比较线段AB与CD的长度，你能得到什么？ 再另取几个点呢？把你发现的结论写下来
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
探究二：
由上述结论可以进一步猜测 ：平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离 .
下面来说明这个猜测是真的 .
如上图，线段 AB 是两条平行线 l1 与 l2 的公垂线段 ，从而线段 AB 的长 度是直线 l1 与 l2 之间的距离 .
又线段AB 的长度是点A 到直线 l2 的距离
因此 ，平行线 l1 与 l2 之间的距离等于直线 l1 上的点A 到直线 l2 的距离
由此可知：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例 1 如图，AB∥ DC ，AB = DC ，DE⊥ AB ，BF ⊥ CD ，垂足分 别为点 E，F ，那么线段AE 与 CF 相等吗？
例 2 如图，设 a， b， c 是三条互相平行的直线 . 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与c 的距离
议一议
若将例2中的“如图所示”去掉，a与c的距离会变化吗？将你的结果与同学交流.
三、自主检测
一、单选题
1．如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
2．如图，，，，，垂足分别为C，G，则下列说法错误的是（　　）
A．
B．A，B两点间的距离就是线段的长
C．
D．与两平行线间的距离就是线段的长
3．如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
三、解答题
5．如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．

四、知识点总结
与两条平行直线都垂直的直线， 叫作这两条平行直线的公垂线 ，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.；
公垂线段性质：两条平行线的所有公垂线段都相等；
两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离；
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
答案
预习：
1．C
【分析】先确定出点P到CD的距离是否变化，然后再依据三角形的面积公式进行判断即可．
【详解】∵直线AB∥CD，P是AB上的动点，
∴当点P的位置变化时，
点P到CD的距离不变即△PCD的边CD上的高不变．
∴△PCD的面积不变．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是三角形的面积、平行线间的距离，解题的关键是确定出三角形的高为不变量．
2．8
【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴平行线a、b之间的距离为，
故答案为：8．
3．AB
4．距离
自主：
1．C
【分析】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．与是等底等高的两个三角形，它们的面积相等．
【详解】解：直线，点、、在直线上，
点到直线的距离与点到直线的距离相等．
又，
与是等底等高的两个三角形，
，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查平行线间距离．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A．∵，，
∴，此选项说法正确；
B．∵是线段，
∴A，B两点间的距离就是线段的长，此选项说法正确；
C．∵，，，
∴，此选项说法正确；
D．∵，，
∴与两平行线间的距离就是线段的长，此选项说法错误，
故选：D．
3．B
【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质．
4．或
【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：当在和的同侧时，距离为；
当在之间时，距离为，
故答案为：或．
5．8
【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，可得，继而得到，再减去公共部分三角形即，即可得到答案．
【详解】解：过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
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