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六安2024年秋学期高一年级期末考试
数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知函数. 若：有零点，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，，如图，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数与函数的图象重合
B．函数的最大值为1
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数在区间内单调递减
10．若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值4
C．有最小值 D．有最小值
11．已知函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12．的值为 .
13． .
14．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 .

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本小题满分 13 分）
已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
16．本小题15分
已知函数.
（1）若，求的值域和单调递增区间；
（2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式和它的对称轴.
17．本小题15分
已知函数.
（1）化简并求出它的最小正周期；
（2）在中，若，求的最大值.
18．本小题17分
已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数在区间上的值域；
（3）若存在使得能成立，求实数的取值范围．
19．本小题17分
若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
六安2024年秋学期高一年级期末考试
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B B C C B A AD ABC BC
1．D【详解】“”的否定为：．故选：D
2．A【详解】由函数得，.
3．B【详解】因为有零点，所以，即.又，显然不能推出，但能够推出.所以是的必要不充分条件.故选：B.
4．B【详解】由函数的图像可知，，则，．
由，解得，则，
故，.故选：B
5．C【详解】由题意，所以，
化简得，因为，所以，
所以，解得.故选：C.
6．C【详解】因函数在定义域范围内单调递增，
由题意，可得在区间上单调递减且在区间上恒成立，
而，故需使 ①，
由即在区间上恒成立，即②，综合①，②，可得.故选：C.
7．B【详解】记，由图知：，，，
所以
.故选：B.
8．A【详解】是偶函数,且在上是增函数, 在上为减函数,
要使当时,不等式恒成立,则需在时恒成立，
即在时恒成立，
则需，解得， 故答案为.故选：A.
9．AD【详解】对于：，故A正确；
对于：函数的最大值为2，故B错误；
对于：因为，所以函数的图像不关于点中心对称，故C不正确；
对于：令，解得，
令可知函数在区间内单调递减，故D正确．故选：AD.
10．ABC【详解】实数，且满足，
选项A：（当且仅当时等号成立）. 则有最大值，A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，
则有最小值4，B正确；选项C：，
当且仅当时等号成立，所以有最小值，C正确；
选项D：由，当且仅当时等号成立，
所以，即有最大值，D错误.故选：ABC.
11．BC
【详解】因为单调递增，又，，
所以，因为单调递增，，，
所以，则，故A错误；
因为单调递增， ，
所以，又，所以，故C正确；
因为，，所以，，故D错误；
由，可得，由，可得，
又函数与互为反函数图象关于对称，
作出函数，及的图象，
又与垂直，由，可得，
则，与直线的交点的横坐标分别为，，
且，故B正确.故选：BC.
12．
【详解】. 故答案为：
13．7【详解】
.
14．【详解】因为恒成立，则，
所以，，则，当时，，
因为，则，
因为在区间上恰有个零点，则，
即，，解得，，
因为，由题意可知. 所以，，可得
15．（1）；（2）.
【详解】（1），--------------------2分
当，，∴--------------------5分
（2）∵，
∴当时，，即，符合题意；--------------------8分
当时，即时，只需或即可.
解得或，
综上，的取值范围为.--------------------13分
16．(1)；(2)，对称轴为
【详解】（1）因为，所以，
所以，--------------------3分
因为在的单调递增区间是，
所以.--------------------7分
（2）的图象上所有点的横坐标变为原来的可得，
的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得；-----------------11分
因为的对称轴是,所以令，
所以.--------------------15分
17.(1)；(2)
【详解】（1）依题意，
，-------------------5分
所以函数的周期为.--------------------7分
（2）由（1）知，，
在中，，有，于是，解得，--------------------10分
则，，
显然，，因此当，即时，，
所以的最大值为.--------------------15分
18．(1)；(2)；(3).
【详解】（1）依题意，解得或；
当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去；
当时，在区间上单调递增，符合题意，所以；--------------------4分
（2）当时，可得，
令，因为，所以，即可得，
当时，，当时，；
所以函数在区间上的值域为.--------------------10分
（3）令，因为，所以，因为，即转化为
，；所以.，可得
综上可知，实数的取值范围为.--------------------17分
19．（1）是，理由见解析 （2）2 （3）.
【详解】（1）由题知为区间上的“3阶自伴函数”，
则任意，总存在唯一的，使，
，所以成立即可，
又因为，满足成立，
任意，总存在唯一的，使成立，
是区间上的“3阶自伴函数”.--------------------5分
（2）由题知为区间上的“1阶自伴函数”，
则任意，总存在唯一的，使，
，则只需使成立即可，
单调递增，，
因为任意，总存在唯一的，使成立，
即，则，即，即，
故.-------------------10分
（3）由是在区间上的“2阶伴随函数”，
即任意，总存在唯一的，使成立，
即成立，
即在的值域是在的值域的子集，且值域所对应的自变量唯一，
，即，，
对称轴为，
当时，在上单调递减，只需，即，解得：，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
只需，即，解得：，
综上所述，实数的取值范围为.--------------------17分

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