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第一章 整式的乘除
第4课时 同底数幂的除法
1 幂的乘除
1. 经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力；
2. 了解同底数幂的除法的运算性质，会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题；
3.通过对整式的除法运算法则学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
重点：1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，
并能进行负整数指数幂的运算；
2.会用同底数幂的除法法则进行计算.
难点：理解幂的除法运算并在运算中体会转化的思想.
学习目标
知识链接
计算：
(1) 102×103 =______；
(2) a4·a5 = ；
(3) am·an = (m，n 都是正整数).
a9
105
am+n
填空：(1) ×103 = 105
(2) a4· = a9
这两个问题都是已知积和其中一个因式，求另一个因式，你想到该如何计算了吗
(1) 102×103 =______；
(2) a4·a5 = .
102
a5
一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
1012÷109.
(2) 观察这个算式，它有何特点？
我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式. 所以我们把 1012÷109 这种运算叫作同底数幂的除法.
(1) 怎样列式？
同底数幂的除法
尝试思考
计算下列各式，并说明理由(m＞n).
(1) 1012÷109；
(2) 10m÷10n；
(3) (－3 )m÷( －3 )n.
(1) 1012÷109
＝1000＝103
1
(2) 10m÷10n
n 个 10
m 个 10
＝10m－n
＝10×10×···×10
(m－n)个10
(3) (－3)m÷(－3)n
m 个 (－3)
n 个 (－3)
＝(－3)×(－3)×···×(－3)
(m－n) 个 (－3)
＝(－3)m－n
提问：观察上面算式，底数有什么特点
追问 1：上面算式中，等号左边是什么运算
追问 2：等号左右两边的指数有什么关系
议一议：总结一下你发现了什么规律，能否用符号语言表示出来 小组讨论得出结论.
底数相同.
合作探究
除法运算.
等号右边的指数等于等号左边指数相减.
am÷an = am－n (m＞n).
运算法则：
验证：am÷an =
m 个 a
n 个 a
= a · a · … · a
(m－n) 个 a
= am－n.
(a≠0，m，n 是正整数，且 m＞n).
am÷an = am－n
同底数幂相除，底数_____，指数_____.
文字说明：
不变
相减
证一证：你能证明你们发现的猜想吗
例1 计算：
(1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3；
(3) (xy)4÷(xy)； (4) b2m+2÷b2.
(1) a7÷a4 = a7－4
= (－x)3
(3) (xy)4÷(xy) = (xy)4－1
(4) b2m+2÷b2
解：
= a3.
(2) (－x)6÷(－x)3 = (－x)6－3
=－x3.
= (xy)3
= x3y3.
= b2m+2－2
= b2m.
典例精析
已知：am = 8，an = 5. 求：
(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值.
解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6.
(2) a3m－3n = a3m÷a3n
= (am)3÷(an)3 = 83÷53
= 512÷125
=
同底数幂的除法可以逆用：am－n = am÷an.
这种思维叫作逆向思维(逆用运算性质).
零次幂与负整数次幂
合作探究
假设把 am÷an = am-n(a≠0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉，那在什么条件下 am÷an = am-n 还成立？
2
思考交流
(1) 计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5.
23÷23
23÷25
a3÷a3
a3÷a5
(2) 假设 m＝n 或 m＜n 时， am÷an = am-n(a≠0，m，n 是正整数) 仍然成立，那么(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示
23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5
23÷23＝23－3＝20
23÷25＝23－5＝2－2
a3÷a3＝a3－3＝a0
a3÷a5＝a3－5＝a－2
(3)比较(1)(2)各式的对应结果，你有什么发现 与同伴进行交流.
23÷23＝1
23÷25
a3÷a3＝1
a3÷a5
23÷23＝23－3＝20
23÷25＝23－5＝2－2
a3÷a3＝a3－3＝a0
a3÷a5＝a3－5＝a－2
我们规定：
知识要点
(a≠0，p 是正整数).
即用 a-p 表示 ap 的倒数.
即任何不等于零的数的零次幂都等于 1.
有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的 m， n 就从正整数扩大到全体整数了，即
am · an = am+n，am÷an = am-n(a≠0，m，n 是整数)
例2 用小数或分数表示下列各数 ：
解：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
（1）10－3
（2）70×8－2
注意：a0 =1
（3）1.6×10－4
= 1.6×0.0001
= 0.00016.
典例精析
归纳总结
(a≠0，n 是整数).
例3 计算：
(1) 7－3÷7－5；
(2) a－4÷a6；
(3) 30÷3－3.
解：(1) 7－3÷7－5
= 7－3－(－5)
(2) a－4÷a6
= a－10.
(4) (bc)－4÷(bc)－8.
(3) 30÷3－3
= 30－(－3)
= 33.
= 72.
= a－4－6
(4) (bc)－4÷(bc)－8
= (bc)－4－(－8)
= (bc)4
= b4c4.
(2) 1×10－2＝ ( ) ＝( )；
(1) 1×10－1＝ ＝0.1；
0.01
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
3
写一写：
(3) 1×10－3＝ ( ) ＝( )；
0.001
(4) 1×10－3＝ ( ) ＝( )；
0.0001
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？
指数与运算结果的 0 的个数的关系：
合作探究
0.00···01 ＝1×10－n
n 个 0
10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0.
-n
一般地， 1 前面有 n 个 0就是10 的_____次幂.
n
例如：0.000052＝ .
科学记数法表示较小的数：一个小于 1 的正数可以表示为 a×10-n 的形式，其中 1≤a＜10，n 是负整数.
5.2×10－5
知识要点
利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.
用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
大于 －1 的负数也可以用类似的方法表示.
如：－0.000 002 56＝ .
－2.56×10-6
例4 实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直径为 0.00000156 m，则这个数可用科学记数法表示为( )
A. 0.156×10－5 m
B. 0.156×105 m
C. 1.56×10－6 m
D. 1.56×106 m
C
典例精析
1. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.000 000 000 1； (2) 0.000 000 000 002 9；
(3) 0.000 000 001 295；
解：(1) 0.000 000 000 1＝1×10－10.
(3) 0.000 000 001 295＝1.295×10－9.
(2) 0.000 000 000 002 9＝2.9×10－12.
练一练
2. (南充校考) 中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选国际物理学十大进展. 人们发现全球目前最快的超级计算机用时 2.3 秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为 0.000 000 23
秒，将数字 0.000 000 23 用科学记数法表示为( )
A. 23×10－8 B. 2.3×10－7
C. 0.23×10－9 D. 2.3×10－6
B
练一练
一、选择题
1. 计算a8÷a2 的结果是（　B　）
2. 计算 (π－3)0 的结果是（　B　）
B
B
A. 0 B. 1
C. 3－π D. π－3
A. a8 B. a6
C. a4 D. a2
A. 9.1×10－4 B. 9.1×10－5
C. 9.0×10－5 D. 9.07×10－5
4. 若am＝15，an＝5，则am－n等于（　A　）
A. 3 B. 5
C. 15 D. 75
D
A
3. 用科学记数法表示0.0000907的结果正确的是
（　D　）
二、填空题
5. (1) 若 (x－2)0 有意义，则x ；
(2) 已知 am÷a5＝a2，则m＝ .
6. 已知 0.003×0.005＝1.5×10n，则n的值是 .
≠2　
7　
－5
三、解答题
7. 计算：(1) (－a)7÷a4；.(2) 30－2－3＋(－3)2－( )－1.
解：原式＝1－ ＋9－4＝ .
解：(1)原式＝－a7÷a4＝－a3.
(2)原式＝1－ ＋9－4＝ .
1. 同底数幂的除法法则：
同底数幂相除， 底数不变，指数相减.
(a≠0， m、n 为任意整数).
2. 任何不等于零的数的零次幂都等于 1.
3. 负整数指数幂：
(a≠0，n 为正整数).
0.00…01 (n 为正整数).
n 个 0
利用 10 的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. 这里用科学记数法表示时，关键是掌握其中的规律：

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