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1.3 乘法公式
第2课时 完全平方公式
第一章 整式的乘除
学习目标
1. 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；
2. 通过实例，了解完全平方公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；
3. 通过观察图形的拼接，验证完全平方公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.
重点：理解并掌握完全平方公式的推导和应用.
难点：掌握完全平方公式的结构特征，
能灵活运用公式进行计算.
知识链接
1. 多项式的乘法法则是什么
(a + b)(m + n)＝ ；
2. 多项式乘法法则的几何意义是什么
m
n
a
b
am + bm + an + bn
明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？
大披萨的面积：S = π·32 = 9π .
小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π .
你发现了什么？
(2 + 1)2 ≠ 22 + 12.
所以不应该同意.
完全平方公式
1
算一算：
(1) (1 - p)2
解：原式 = ( 1 - p )( 1 - p )
= 1 - p - p + p2
= 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2
解：原式 = (m + 3)(m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2 + 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9.
解：原式= (2 + 3x)(2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2.
(3) (2 + 3x)2
追问 1：上述式子的左边有什么共同特征 计算的结果都是几次几项式
左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.
追问 2：计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系
结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的 2 倍.
(1) (1 - p)2 = 1 - 2p + p2.
(2) (m + 3)2= m2 + 6m + 9
(3) (2 + 3x)2 = 4 + 12x + 9x2.
比一比：
根据发现的特征，写出下面式子的答案：
(1) (a＋b)2 = ；
(2) (a－b)2 = .
a2＋2ab＋b2
a2－2ab + b2
观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项.
(1) (a＋b)2
= (a＋b)(a＋b)
= a2＋ab＋ab＋b2
= a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2
= [a＋(－b)]2
= a2＋a(－b)＋a(－b)＋(－b)2
= a2＋2a(－b)＋(－b)2
= a2－2ab＋b2
推导 过程验证：
议一议
追问 1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项
它的符号与什么有关
＋2ab 和－2ab. 与两数中间的符号有关.
(1) (a＋b)2 = a2＋2ab＋b2
(2) (a－b)2 = a2－2ab＋b2
追问 2：能否描述你们发现的规律 (分别从文字语言和符号语言角度引导)
文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的 2 倍.
符号语言：(a±b) = a ±2ab＋b .
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
知识要点
完全平方公式
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式.
例1 利用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
=4x2
(1) (2x－3)2；
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－12x
+ 9；
典例精析
(2) (4x＋5y)2；
解： (4x＋5y)2 =
(4x)2
＋2 (4x) 5y
＋(5y)2
( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2.
解： (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
练一练
思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗
(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗
(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗 为什么
解：(-a - b)2 = (-a)2 - 2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
(b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
想一想
完全平方公式的几何验证
2
问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
(1) 四块实验田面积分别为：
， ，
， .
a
a
b
b
a2
ab
b2
ab
(2)两种形式表示实验田的总面积：
a
a
b
b
①从整体看：
边长为 的大正方形，
S大正方形＝ ；
(a+b)
(a+b)2
②从部分看：
四块面积的和S＝ .
a +2ab+b
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
想一想
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
画一画
画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
解：原式 = (200－3)2
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
= 1002－2×100×2 + 22
= 2002－2×200×3 + 32
想一想
方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
例2 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)；
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
同号
异号
a
b
平方差公式
整体
典例精析
(2) ( a + b + c )2.
解：原式 = [(a + b) + c]2
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
完全平方公式
都同号
例2 计算：
(1) (x + 3)2 – x2；
解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9.
还有其他的方法吗？
典例精析
(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；
解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]
= (a + b)2 - 32
= a2 + 2ab + b2 - 9.
(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).
解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6
= 15x + 19.
(4) [( a + b) ( a - b)]2.
解： 原式 = ( a2 - b2 )2
= a4 - 2a2b2 + b4.
2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
要熟记完全平方公式哦！
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
所以 (a＋b)2＝49.
练一练
一、选择题
1. 计算 (2x－1)2 的结果是（　C　）
A. 2x2＋4x＋1 B. 4x2－4x－1
C. 4x2－4x＋1 D. 4x2＋1
C
一、完全平方公式的认识
3. 若(x＋a)2＝x2－10x＋b，则a，b的值分别为( 　 )
A. 2，4 B. 5，－25
C. －2，25 D. －5，25
D
2. 下列各式利用完全平方公式计算正确的是（　 ）
A. (x＋3)2＝x2＋9
B. (－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2
C. (a－2b)2＝a2－2ab＋4b2
D. ( －x)2＝x2－x＋
D
6. 若a2＋ab＋b2＋M＝(a－b)2，则M＝ .
－3ab
二、填空题
4. 计算：(1) (x－2)2＝ ；
(2) (m＋2n)2＝ .
x2－4x＋4　
m2＋4mn＋4n2　
5. 如图所示的图形验证了一个等式，
则这个等式是 .
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　
8. 已知ab＝2，求(2a＋3b)2－(2a－3b)2的值.
解：原式＝4a2＋12ab＋9b2－(4a2－12ab＋9b2)
＝24ab.
当ab＝2时，原式＝24×2＝48.
三、解答题
7. 计算：(1) (－x＋y)2；
(3) (－ x－3y)2.
解：原式＝ x2＋3xy＋9y2.
(2) (－xy＋5)2；
解：(1)原式＝x2－2xy＋y2.
(2) 原式＝x2y2－10xy＋25.
(3) 原式＝ x2＋3xy＋9y2.
一、选择题
1. 已知 α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则 αβ 的值为（ 　 ）
A. B. 2 C. 1 D.
A
二、完全平方公式的运用
2. 已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( 　)
A. 13 B. 7
C. 5 D. 11
A
3. 计算10162－2032×1018＋10182等于[提示：完全
平方公式的逆用]（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
二、填空题
4. 运用完全平方公式计算：
（1）10.12＝（ ＋ ）2＝ ；
（2）1982＝（ － ）2＝ .
10　
0.1　
102.01　
200　
2　
39204　
5. 如图，某广场有一块边长为(a＋b)的正方形草坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a－b)的正方形水池，则剩余草坪的面积为 .
4ab　
6. 若x＋y＝17，xy＝60，则x2＋y2＝ ，
(x－y)2＝ .
169　
49　
三、解答题
7. 计算：
（1）5012；
解：原式＝（500＋1）2＝5002＋2×500×1＋12＝
250000＋1000＋1＝251001.
（2）(x－y＋4)(x＋y＋4).
解：原式＝[（x＋4）－y][（x＋4）＋y]＝（x＋
4）2－y2＝x2＋8x＋16－y2.
解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12
＝250000＋1000＋1＝251001.
解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]
＝(x＋ 4)2－y2＝x2＋8x＋16－y2.
8. 已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2
和ab的值..
解：a2＋b2＝ [(a＋b)2＋(a－b)2]
＝ ×(7＋4)＝ ，
＝ ×(7－4)＝
.
ab＝ [(a＋b)2－(a－b)2]
完全平方公式
文字描述
几何验证
两个数的和(差)的平方，
等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=b

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