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5.3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
1. 通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题；(重点)
2. 通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力．(难点)
学习目标
从一个水杯向另一个水杯倒水.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
图形的等长变化
(1) 若该长方形的长比宽多 1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变.
用一根长为 10 米的铁丝围成一个长方形.
合作探究
1
x m
(x+1.4) m
等量关系：
（长+宽）× 2 = 周长
解： 设此时长方形的宽为 x 米，则它的长为 (x+1.4) 米. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x = 1.8
长：1.8+1.4 = 3.2
此时长方形的长为 3.2 米，宽为 1.8 米.
(2) 若该长方形的长比宽多 0.8 米，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与 (1) 中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x+0.8) m.根据题意，得
(x+0.8+x)×2 = 10
解得 x = 2.1
长：2.1+0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，面积为
2.9×2.1 = 6.09 (m2)，(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76 (m2).
此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大 6.09－5.76 = 0.33 (m2).
(3) 若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与 (2) 中相比，又有什么变化？
x m
(x+x) ×2 = 10
解得 x = 2.5
正方形的面积为 2.5 × 2.5 = 6.25 (平方米)
解：设正方形的边长为 x 米.
根据题意，得
比 (2) 中面积增大 6. 25-6.09 = 0.16（平方米）
正方形的边长为 2.5 米
同样长的铁丝可以围更大的地方.
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
【解析】比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
典例精析
解：设圆的半径为 r m，则正方形的边长为
[r＋2(π－2)] m.根据题意，得
答：铁丝的长为 8π m，圆的面积较大．
因为 4π×4 ＞ 4π×π，所以 16π ＞ 4π2，
所以圆的面积大．
正方形的面积为 [4＋2(π－2)]2 ＝ 4π2(m 2)．
所以圆的面积是 π×42 ＝ 16π(m 2)，
所以铁丝的长为 2πr ＝ 8π(m)．
2πr ＝ 4(r＋2π－4)，解得 r ＝ 4.
(1) 形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2) 形状、面积不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
归纳总结
图形的等积变化
某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？
合作探究
2
1. 如果设水箱的高变为 x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
容积/m
2
1.6
4
x
π×22×4
π×1.62×x
2. 根据表格中的分析，找出等量关系.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
3. 列出方程并求解.
π×22×4=π×1.62×x
解得 x = 6.25
因此，水箱的高度变成了 6.25 m.
例2 一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
解这个方程，得 x ＝ 25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
典例精析
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
思考：
1. 审——通过审题找出等量关系.
6. 答——注意单位名称.
5. 检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
合实际问题.
4. 解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3. 列——依据找到的等量关系，列出方程.
2. 设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
想一想
1. 要锻造一个直径为 8 厘米、高为 4 厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为 4 厘米的圆钢______厘米.
2. 钢锭的截面是正方形，其边长是 20 厘米，要锻造成长、宽、高分别为 40 厘米、30 厘米、10 厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
答：应截取这种钢锭 30 厘米.
16
做一做
应用一元一次方程
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
列
⑤检
④解
设
审
⑥答
1. 一个长方形的周长是 40 cm，若将长减少 8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为 ( )
A. 6 cm　　　　　　B. 7 cm　　　
C. 8 cm　　　　　　D. 9 cm
B
C
2. 一个梯形的面积是 60 cm2，高为 5 cm，它的上底比下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为 x cm，则下面所列方程正确的是 ( )
3. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是 (　　)
A
A. π×42x = π×32×(x+5) B. π×42x = π×32×(x-5)
C. π×82x = π×62×(x+5) D. π×82x = π×62×(x-5)

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