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2024新人教版数学七年级数学上册期末数轴上动点问题专题练习题
1．如图，数轴上原点为O，A、B是数轴上的两点，点A对应的数是1，点B对应的数是，动点M、N同时从A、B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
(1)A、B两点间的距离是 ；动点M对应的数是 （用含t的代数式表示）；动点N对应的数是 （用含t的代数式表示）；
(2)几秒后，点N与点M恰好重合在一起？
(3)几秒后，线段与线段恰好满足“”？
2．已知有理数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，且a，b满足．
(1)填空：______，______，______；
(2)若数轴上有P，Q两个动点，分别从A，B两点沿数轴同时相向而行，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度是点P速度的1.5倍．当点Q运动至A点处，P，Q两点同时停止运动．取线段的中点C，设运动时间为t秒．
①当t为何值时，线段的长度与的长度相等；
②定义：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点．请问是否存在t值，使得A，P，Q三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点？
3．【积累经验】
（1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，点A、B在数轴上分别表示有理数，7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P运动t秒后，此时，求t的值．
①小明同学从点P到达点B前、后进行分类讨论，用含t的式子表示点P的坐标，再用两点之间的距离表示出与的长度，进而求解．
②小红同学在学习了《直线、射线、线段》后，给出了另一种解题思路：从点P在射线上的位置进行分类讨论，用含t的式子表示点P走的路程，再用线段的和差关系，求出t的值．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程。
【类比迁移】
（2）王老师发现两名同学都运用了分类讨论和数形结合的数学思想解决了问题；为了帮助学生更好地感悟数学思想，王老师将（1）进行了变式并提出了下面的问题，请你解答。
如图2，点A、B在数轴上分别表示有理数，7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当点P运动t秒后，的长度恰好是的一半，求t的值．
4．在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．
(1)求线段的长；
(2)，两点分别从，两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点前，，两点的运动速度分别为个单位长度/秒和个单位长度/秒．当点经过点后，它的速度变为原速度的一半；点经过点后，它的速度变为原速度的倍．设运动时间为秒．
①当点为线段的中点时，求线段的长；
②数轴上点表示的数为且P，Q两点运动到点M即停止，当时，求的值．
5．问题情景：“综合与实践”课上，老师提出如下问题，如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)发现问题：直接写出数轴上点B表示数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）；
(2)拓展延伸：动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度？
6．如图已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧的一点，且点、之间的距离为19，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
(1)数轴上点表示的数是______；
(2)若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点先出发1秒后，点再出发，点出发多长时间，两点相遇？并求相遇点对应数轴上的数字；
(3)若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多长时间两点相距5个单位长度．
7．如图1，已知数轴上有三点、、，，点对应的数是40．

(1)若，求点C到原点的距离；
(2)如图2，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
(3)如图3，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点，证明的值不变．若其它条件不变，将R的速度改为3个单位长度/秒，10秒后的值为 ．
8．【问题背景】
如图，点A、B、C是数轴上的三个点，点A在点B的左侧，点B在数轴的负半轴上，且到点A和原点O的距离均为2，点C在数轴的正半轴上，A、C两点间的距离为7．
【初步探究】
（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______；
【拓展延伸】
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①用含a、t的代数式分别表示点A、B、C表示的数；
②若点A与点B之间的距离表示为m，点B与点C之间的距离表示为n，当时，判断的值是否为定值，若是，请求出的值，若不是，并说明理由．
9．数轴上有、、三点，其中、对应的数分别为6，0，的长为41个单位长度，甲乙两人分别从、两点同时出发，沿数轴负方向同向而行，两人当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，已知甲的速度为3个单位/秒，乙的速度为1个单位/秒，甲到达点后以当时速度立即返回，当甲回到点时，甲、乙同时停止运动．
备用图
(1)求点对应的数及甲第一次与乙相遇的时间．
(2)当甲到达点立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？
(3)甲乙同时出发多少秒后，二者相距5个单位长度？（直接写出答案）
10．如图，点A、点B是数轴上两点，分别表示数a、数b，且a、b满足．
(1)直接写出a、b的值，______，______；
(2)点P、点Q分别从点A、点B同时出发，沿数轴向左运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，经过几秒，点P、点Q所表示的数互为相反数？此时点P、Q相距多少个单位长度？
(3)在（2）的条件下，当点P、点Q所表示的数互为相反数时，另一点C从原点出发向点P运动．在点P、Q、C运动的过程中，当点C遇到点P后，立即返回向点Q运动，遇到点Q后又立即返回向点P运动，如此往返．若点C一直以每秒5个单位长度的速度匀速运动，那么当点P与点Q相距3个单位长度时，点C运动了多少个单位长度？
11．已知，如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为180．
(1)请写出的中点对应的数及其、两点间的距离；
(2)现在有一动点从点出发，以每秒6个单位的速度向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，设两动点在数轴上的点相遇，求点对应的数是多少；
(3)若动点从点出发时，以每秒6个单位的速度向左运动，同时动点恰好从点出发，以每秒4个单位的速度向右运动，直接写出两点在数轴上相距70个单位长度时，点表示的数．
12．已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A在原点左侧，到原点距离为22个单位长度．点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．
(1)点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，点C表示的数为_______；
(2)用含t的代数式表示点P到点A和点C的距离：_____，______；
(3)当点P运动到点B时，点Q从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．
①在点Q向点C运动过程中，能否追上点P？若能，请求出此时点P表示的数．
②在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时t的值；如果不能，请说明理由．
13．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足．
(1)______，______；
(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则
①由此可得到木棒长为______；
②图中点表示的数是______，点表示的数是______；
(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁．
14．如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒．

(1)求时点P表示的有理数；
(2)在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）
(3)当点P表示的有理数与原点的距离是4个单位长度时，求出所有满足条件的t值．
15．【问题背景】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．
(1)【探索新知】一条线段的中点______这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
(2)【深入研究】如图2，点表示数，点表示数20，点在线段上，O表示原点．若点从点出发，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，设运动的时间为秒．
①求为何值时，点是线段的“二倍点”；
②点开始运动的同时，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请求出点是线段的“二倍点”时的值．
16．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若点到点的距离刚好是，则点叫做点的“幸福点”，若在之间的一点到点和点的距离之和为，则点叫做点和点的“幸福中心”．
(1)若点表示的数是，则点的幸福点所表示的数应该是________；
(2)若点是数轴上的两点，点所表示的数是，点表示的数是：则点是点和点的幸福中心，则点所示的数是_________；
(3)如图，为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，设运动时间为秒，当为何值时点和点存在幸福中心？
17．阅读理解：
定义：在数轴上表示x和y的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即；
(1)若在数轴上有A、B、C三点，A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6，C为的中点，则点C所对应的数是______．
(2)直接写出的最小值，并求相应的x的值或取值范围；
(3)若数轴上点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点P到点M的距离是到点N距离的2倍？
18．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点表示10，点表示20，我们称点A和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到终点时停止运动：点出发同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点A时停止运动．设运动的时间为秒，问：
(1)秒时，点在“折线数轴”上所对应的数是______；点到点的距离是______个单位长度：
(2)动点从点运动至A点需要______秒；
(3)当为______时，两点在数轴上相距的长度为3个单位？
(4)如果动点两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等，直接写出求出的值______．
参考答案
1．（1）解：，当运动时间为t秒时，动点M对应的数是，动点N对应的数是；
（2）解：由（1）知，点M对应的数是，点N对应的数是，
若点M与点N重合，即此时两点对应的数相等，则有，
解得：；
∴秒后，点M与点N重合．
（3）解：线段的长为，线段的长为，
，
，
解得：或，
∴秒或秒后，．
2．解：（1）已知，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
（2）解：①∵t秒后，P点表示的数为：，Q点表示的数为：，
∴，，
根据题意可得，，即，
解得，或；
②根据题意得，，，
第一种情况，当时，即，
解得，；
第二种情况，当，即，
解得，；
第三种情况，当时，即，
解得；
第四种情况，时，即，
解得，；
综上所述，三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点时，或或或．
3．解：（1）①小明方法：
点在数轴上分别表示有理数，
．
设点表示的数为，
当点到达点前，，
，
，
．
当点到达点后，，
，
，
．
的值为4秒或12秒．
②小红方法：
点在数轴上分别表示有理数，
．
当点在线段上时，，
，
，
．
当点在线段延长线上时，，
，
．
的值为4秒或12秒．
（2）①当点在线段上时，，
的长度恰好是的一半，
，
，
②当点在线段延长线上时，，
的长度恰好是的一半，
，
，
．
的值为2秒或6秒．
4．（1）解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，
∴线段的长为；
（2）解：①∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为；
②当点、都在原点的左侧时，
，，
∵，
∴，
解得：；
∵点到达原点需要：（秒），点到达原点需要（秒），
当点在原点的右侧、点在原点的左侧时，，
当点、在原点的右侧，在点的左侧时，
，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当时，的值为秒或秒．
5．（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，
∴，
则，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为；
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P运动t秒的长度为，
∴P所表示的数为：；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得，解得，
答：当点P运动秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度，
当P不超过Q，则，
解得；
当P超过Q，则，
解得；
答：当点P运动2或秒时，点P与点Q间的距离为4个单位长度．
6．（1）解：根据题意得：数轴上点B表示的数是．
（2）解：设点Q出发x秒后，点P、Q两点相遇，
由题意得，，
解得，
∴点Q出发3秒后，点P、Q两点相遇，
此时点Q表示的数为，
∴相遇点对应数轴上的数字为；
（3）解：设经过t秒后P、Q两点相距5个单位长度，
∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数为，
∵点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点Q表示的数为，
∴，
∵P、Q两点相距5个单位长度，
∴，
解得或，
∴经过7或12秒后P、Q两点相距5个单位长度．
7．（1）解：，，
，
点对应40，
点对应的数为：，即点到原点的距离为80；
（2）解：设点速度为单位长度秒，依题意有
，
解得，
．
当点运动到点右侧时，
，
解得（舍去）．
答：动点的速度为7个单位长度秒；
（3）证明：①，
，
对应的数是，
对应的数是，
，
．
∴的值不变．
②将的速度改为3个单位长度秒，
，
，
对应的数是，
对应的数是，
，
．
∴10秒后的值为2．
∴答案为：2．
8．解：（1）∵点A在点B的左侧，点B在数轴的负半轴上，且到点A和原点O的距离均为2，
∴点A表示的数为，点B表示的数为，
∵A、C两点间的距离为7，
∴点C表示的数为，
（2）①因为点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，
所以点A表示的数为：．
因为点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
所以点B表示的数为，点C表示的数为．
②的值为定值13，
理由：当时，点A表示的数为，
由图可知点A与点B之间的距离
点B与点C之间的距离．
因为，
所以的值为定值13．
9．（1）解：点对应的数为，
点对应的数为；
设甲出发秒后第一次与乙相遇，
依题意有，
解得．
∴甲出发3秒后第一次与乙相遇；
（2）解：（秒，
甲第一次与乙相遇后又经过8秒第二次与乙相遇，
．
∴相遇点在数轴上表示的数是；
（3）解：设甲出发秒后第一次相遇相距5个单位长度，
，解得，
设第一次相遇后经过秒又相距5个单位长度，
，解得，
（秒；
设第一次相遇后，第二次相遇前经过秒又相距5个单位长度，
，解得，
（秒；
设第二次相遇后经过秒又相距5个单位长度，
，
解得．
（秒；
综上，甲、乙同时出发秒或秒或秒或秒后，二者相距5个单位长度．
10．（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）设经过秒后，点P、点Q所表示的数互为相反数，
则由题意，得：，
解得：，
∴，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∴；
（3）设经过秒后，相距3个单位长度，
①当点在点左边时：，
解得：，
∴此时点C运动了个单位长度；
②当点在点右边时，则：，解得：，
此时点C运动了个单位长度；
综上：点C运动了11或21个单位长度．
11．（1）解：点表示的数为；
、两点间的距离为；
（2）解：设两点运动秒后相遇，根据题意得，
，
解得，，
所以，点表示的数为；
（3）解：①相遇前相距70个单位长度，设两点运动秒后相距70个单位长度，根据题意得，
，
解得，；
∴表示的数为：；
②相遇后相距70个单位长度，设两点运动秒后相距70个单位长度，根据题意得，
，
解得，；
∴表示的数为：；
综上，表示的数为32或88．
12．（1）解：∵点A在原点的左侧，到原点的距离为22个单位长度，
∴点A表示的数为，
∵点A与点B的距离为12个单位长度，点B在点A的右侧，
∴点B表示的数为，
∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数，
∴点C表示的数为10，
（2）解：，
，
∴答案为：t，；
（3）解：①在点Q向点C运动过程中，设点Q运动x秒追上点P，根据题意得
，
解得．
答：在点Q向点C运动过程中，能追上点P，此时点P表示的数为；
②点P从点B运动到点C需：秒，
分两种情况：
当点Q从A点向点C运动时，
如果点Q在点P的左边，那么，
解得，此时；
如果点Q在点P的右边，那么，
解得，此时；
当点Q从C点返回到点A时，
如果点Q在点P的右边，那么，
解得，此时；
如果点Q在点P的左边，那么，
解得，此时；
所以在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时t的值为秒或秒或22秒或秒．
13．（1）解：因为，
所以，
解得．
（2）解：①由题知，，
又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且，
所以，
即木棒的长度为．
②因为，
所以点表示的数是14；
因为，
所以点表示的数是21；
（3）解：根据题意，建立数轴如图所示，
小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点，
则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点，
所以，
又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”，
所以，
且，
所以爷爷现在的年龄是65岁．
14．（1）解：当时，
P运动的距离为 ，
，
∴P表示的有理数是；
（2）解：当点与点重合时
P运动的距离为，
，
点沿数轴由点到点再回到点的运动过程中，点与点的距离分为两种情况：
当点到达点前时，即时，
点与点的距离是；
当点到达点再回到点的运动过程中，即时，
点与点的距离是：；
由上可知：
当时，点与点的距离是，
当时，点与点的距离是；
（3）解：当点表示的有理数与原点（设原点为）的距离是4个单位长度时，点表示的数是或4，
则有以下四种情况：
当由点到点，点P在O点左侧时：，即：，；
当由点到点，点P在O点右侧时：，即：，；
当由点B到点，点P在O点右侧时：，即：，；
当由点B到点，点P在O点左侧时：，即：，
∴的值为1秒或5秒或7秒或11秒．
15．（1）解：因为线段的中点将线段分为相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长，
符合“二倍点”的定义，
所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
（2）解：①由题意得：，
当时，，解得，；
当时，，解得，；
当时，，解得，；
答：当或5或时，点是线段的“二倍点”；
②由题意得，
当时，，解得，；
当时，，解得，；
当时，，解得，．
答：当或或时，点是线段的“二倍点”．
16．（1）解：∵，，
∴点的幸福点所表示的数应该是或，
（2）解：点到点的距离是，且在的左侧， 点是点和点的幸福中心，
∴ 点到点的距离是，在的右侧，
∴点表示的数为，
（3）解：，
当在左侧时，，
解得；
当在右侧时，，
解得；
综上，当秒或秒时，点和点存在幸福中心．
17．（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6，
∴当B点在A点的右边时，，
∴点B表示的数的为2，
∴点C表示的数为：；
当B点在A点的左边时，，
∴点B表示的数的为，
∴点C表示的数为：；
（2）解：根据题意，表示的是表示数的点与表示数的点距离，加上表示数的点与表示数的点距离，
∴当表示数的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，最小值为，
∴x的取值范围；
（3）解：点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，设运动时间为，
∴点表示的数为，
∴当点在之间时，，
解得，；
当点在点右边时，，
解得，；
综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒．
18．（1）解： 秒时，，
则P点对应的数为，Q点对应的数为，两相距为；
（2）解：动点从点运动至A点 时，所需时间：（秒 ) ，
（3）解：由题可知，设P、Q 两点相遇在线段上于M 处，设，
则，
解得 ，
此时M 所对应的数为，当两点相距3个单位时，两点均在上，
①相遇前两点相距3个单位时，
，
解得：；
②相遇后两点相距3个单位时，
解得：；
（4）解：P 、 O 两点在数轴上相距的长度与 Q 、 B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能：
①动点 Q 在 上，动点 P 在上，则：
，
解得： ；
②动点 Q 在 上，动点 P 在 上，
则：，
解得：；
③动点 Q 在 上，动点 P 在 上，则：
，
解得： ；
④动点 Q 在上，动点 P 在 上，
则：，
解得： ；
⑤动点 Q 在上，动点 P 在 上到达终点C时，
则：，
解得： ；
综上所述： t 的值为2秒或8秒或14秒或17秒或25秒，

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