资源简介

江苏省扬州市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 0”的否定是( )．
A. ∈ ， 2 < 0 B. 不存在 ∈ ， 2 < 0
C. ∈ ， 20 0 0 D. ∈ ，
2
0 0 < 0
2.集合{ , }的真子集个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
+1
3.不等式 ≤ 0的解集为( )
1
A. ( 1,1) B. ( 1,1] C. [ 1,1) D. [ 1,1]
4.若 > 0， > 0，则下列式子一定正确的是( )
3
6
A. √ √ = 4 B. √( )6 =
C. lg( + ) = lg + lg D. lg(2 ) = 2lg
5.函数 ( ) = sin 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
1
6.若幂函数 ( )的图象经过点(4, )，则下列说法正确的是( )
8
1
A. ( )为偶函数 B. 方程 ( ) = 27的实数根为
9
C. ( )在(0, +∞)上为增函数 D. ( )的值域为
7.已知3 = 2，5
2
= 3， = ，则 ， ， 的大小关系为( )
3
第 1 页，共 9 页
A. < < B. < < C. < < D. < <

8.在平面直角坐标系 中，单位圆上的动点 、 同时从点 (1,0)出发，点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，
8
7 √ 2 √ 2
点 按顺时针方向每秒钟转 弧度.若两点相遇时的坐标是( , )，则此时它们可能是第( )次相遇．
8 2 2
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列三角函数值的符号为负的有( )
4 A. sin( 40 ) B. sin100 C. cos2 D. tan( )
5
10.已知实数 满足 > 0， > 0且 + 2 = 1，则下列说法正确的有( )
+1
A. 若 > ，则对任意实数 ， 2 > 2 B. 若 > ，则 >
+1
1 1 2 2 1C. + 的最小值是3 + 2√ 2 D. + 4 的最小值是
2
1
11.已知函数 ( ) = ( )| | 的图象过坐标原点，且值域为( 3,0]，则下列说法正确的有( )
3
A. = 3
B. ( 3) > (2)
+ ( )+ ( )
C. 若0 < 1 2 1 21 < 2，则 ( ) < 2 2
3
D. 若关于 的方程 (2 ) ( ) = 有实数根，则实数 的取值范围为[ , 0]
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.求值： ln2 + lg2 + lg5 = ．

13.已知函数 ( )满足下列三个条件： ①对任意 ∈ ， ( + ) = ( ); ②对任意 ∈ ， ( + ) = (
2 2
); ③ ( )的值域为[0,2]，则 ( ) = . (写出满足要求的一个函数即可)
+ 3, < ,
14.已知函数 ( ) = {
( 2)2
若对任意 ∈ ， ∈ ，不等式 ( + ) > ( )成立，则实数 的
1, ≥ ,
取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 6 + 5 ≤ 0}， = { | 2 ≤ ≤ + 1}．
(1)若 = 1，求 ∩ ， ∪ ;
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，求实数 的取值范围．
第 2 页，共 9 页
16.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，角 以 轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点 ( 0, 0).
√ 5
(1)若 = ，求sin20 ( ) sin( + )cos( ) 2cos
2( )的值;
5
1 1
(2)若sin + cos = ，求tan + 的值及点 的坐标．
5 tan
17.(本小题12分)

已知定义在 上函数 ( ) = 1的图象关于坐标原点对称． 5 +1
(1)求实数 的值;
(2)判定 ( )的单调性并证明;
2(3)若实数 满足 (2 2
2
) > ，求 的取值范围．
3
18.(本小题12分)

已知用“五点法”画函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < )在一个周期上的图象时，列表如下：
2
7 5

6 12 3 12 6
3
+ 0 2 2 2
1 1
( ) 0 0 0
2 2
(1)求 ( )的解析式;

(2)将函数 = ( )图象上所有点向右平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐
12
标不变)，得到函数 ( )的图象．
①求 ( )在[0, ]上的单调增区间;
5
②若关于 的方程 ( ) = 在[0, ]上有四个不相等的实数根 1， 2， 3， 4( 1 < 2 < 3 < 4)，求tan( 1 +2
2 + 3 + 4)的值．
19.(本小题12分)
已知两个函数 = ( )， ∈ 1， = ( )， ∈ 2，若对任意的 1 ∈ 1，存在唯一的 2 ∈ 2，使得
( 1) ( 2) = 1成立，则称 ( )为 ( )的“友好函数”．
(1)判断函数 ( ) = cos ， ∈ [0, ]是否为 ( ) = sin ， ∈ [0, ]的“友好函数”，并说明理由;
(2)若函数 ( ) = log2 ， ∈ [ , ]是 ( ) = 2
， ∈ [ 2, 1]的“友好函数”，求 的最小值;
第 3 页，共 9 页
1 1
(3)已知函数 ( ) = log2( 2 + )， ∈ [0, ]， ( ) = sin( )， ∈ [ , ]，若 ( )是 ( )的“友好 +4 4 3 6
函数”，且 ( )也是 ( )的“友好函数”，求实数 的值及 的最大值．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】cos2 + 1
25
14.【答案】[ , +∞)
4
15.【答案】解：(1)因为 = { | 2 6 + 5 ≤ 0} = { |1 5}，
当 = 1时， = { | 1 ≤ ≤ 2}，
此时 ∩ = { |1 ≤ ≤ 2}，
∪ = { | 1 ≤ ≤ 5}；
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，
所以 ，
2 1
所以{ ，解得3 4，
+ 1 5
所以 的取值范围{ |3 ≤ ≤ 4}．
16.【答案】解：(1)因为角 以 轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点 ( 0, 0)，
√ 5 2 1 2√ 5若 0 = ，则 0 = √ 1 0 = √ 1 = ， 5 5 5
2√ 5 √ 5
所以sin = 00 = , cos = 0 = , tan = = 2， 5 5 0
所以sin2( ) sin( + )cos( ) 2cos2( )
= sin2 sin cos 2cos2
第 5 页，共 9 页
4 2√ 5 √ 5 1 4
= ( ) × 2 × = ；
5 5 5 5 5
1
(2)因为sin + cos = ，
5
1
两边平方，得1 + 2sin cos = ，
25
24
即2sin cos = ，
25
24 49
所以(cos sin )2 = 1 2sin cos = 1 + = ，
25 25
因为 是第四象限角，则cos > 0, sin < 0，
所以cos sin > 0，
7 1
所以cos sin = ，与sin + cos = 联立，
5 5
3 4
解得sin = , cos = ，
5 5
sin 3
则tan = = ，
cos 4
4 3
所以点 的坐标为( , )，
5 5
1 3 1 25
所以tan + = + 3 = ． tan 4 12
4

17.【答案】解：(1)由题意，定义在 上函数 ( ) = 1的图象关于坐标原点对称， 5 +1

可得 (0) =
50
1 = 0，解得 = 2，
+1
2 5 +1
当 = 2时， ( ) = 1 = ，
5 +1 5 +1
5 +1 5 +1
( ) =
5
= = ( )， +1 5 +1
5 +1
( ) = 是奇函数，
5 +1
故 = 2．
(2) ( )是 上的单调递减函数，
证明如下：
2
( ) = 1，
5 +1
任取 1、 2 ∈ 且 1 < 2，
2 2 2(5 1 5 2)
则 ( 1) ( 2) = 1 + 1 = ， 5 1+1 5 2+1 (5 1+1)(5 2+1)
由于 1、 2 ∈ 且 1 < 2,
第 6 页，共 9 页
2(5
1 5 2)
故5 1 5 2 < 0，5 1 + 1 > 0, 5 2 + 1 > 0， > 0，
(5 1+1)(5 2+1)
从而有 ( 1) ( 2) > 0， ( 1) > ( 2)，
所以函数 ( )在 上单调递减；
2 2 2 2
(3)由 (1) = ，故 (2 2 ) > = (1)，即 (2 2 ) > (1)，
3 3
由 ( )在 上单调递减，可得2
2 2 < 1，
即 2 2 < 0，解得0 < < 2，
即实数 的取值范围(0,2)．
1 5
18.【答案】解：(1)由表可知 = ， = ( ) = ，
2 6 6
2
∵ = = ，解得 = 2，

1
∴ ( ) = sin(2 + )，
2
1
∵函数图像过点( , )，
12 2
1 1
则 = sin(2 × + )，即sin( + ) = 1，
2 2 12 6

∴ + = 2 + < ∈ )，解得 = 2 + ( ∈ )，
6 2 3

又∵ | | < ，
2

∴ = ，
3
1
∴ ( ) = sin(2 + )；
2 3

(2)将函数 = ( )图象上所有点向右平移 个单位长度，
12
1 1
得到函数 = [ 2( ) + ] = ( 2 + )，
2 12 3 2 6
1
再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 ( ) = ( + )，
2 6
2
①由2 + 2 + , ∈ ，得2 2 + , ∈ ，
2 6 2 3 3

与[0, ]取交集，得出 ( )在[0, ]上的单调增区间为[0, ]；
3
5 8
②当 ∈ [0, ]时，令 = + ，则 ∈ [ , ]，
2 6 6 3
5
若关于 的方程 ( ) = 在[0, ]上有四个不相等的实数根 1， 2， 3， 4( 1 < 2 < 3 < 4)， 2
则 1 + 2 = , 3 + 4 = 5 ，
第 7 页，共 9 页

即 1 + + 2 + = , 6 6 3 + + 4 + = 5 ， 6 6
2 14
所以 1 + 2 = , + = ， 3 3 4 3
2 14 16
所以 ( 1 + 2 + 3 + 4) = ( + ) = = ( 5 + ) = = √ 3． 3 3 3 3 3
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = cos ， ∈ [0, ]不是 ( ) = sin ， ∈ [0, ]的 友好函数 ，理由如下：
由 ( ) = cos ， ∈ [0, ]的值域为[ 1,1]，
1
又 ( ) = sin ， ∈ [0, ]，取 = ，则 ( ) = sin = ，
6 6 6 2
若函数 ( ) = cos ， ∈ [0, ]是 ( ) = sin ， ∈ [0, ]的 友好函数 ，

那么存在 ∈ [0, ]，使得 ( ) ( ) = 1，即 ( ) = 2在[0, ]上有解，
6
显然这是不成立的，所以函数 ( ) = cos ， ∈ [0, ]不是 ( ) = sin ， ∈ [0, ]的 友好函数 ．
> 0
(2)由函数 ( ) = log2 ， ∈ [ , ]，所以{ ,
且函数 ( ) = log2 ， ∈ [ , ]的值域为[log2 , log2 ]．
1 1
对于 ∈ [ 2, 1]， ( ) = 2 ∈ [ , ]，
4 2
设 1 ∈ [ , ]，则 ( 1) = log2 1，
1
由 ( 1) ( 2) = 1，即log2
2
1 2 = 1，可得log2 1 = ， 2 2
1 1
因为 ( )的值域为[ , ]，所以 ( )的值域满足：[2,4] [log2 , log2 ]， 4 2
log2 2 0 < 4即{ ，解得{ ，所以 的最小值为16 4 = 12．
log2 4 16
(3)由 ( )是 ( )的 友好函数 ，且 ( )也是 ( )的 友好函数 ，
则 ( )和 ( )在定义域内均为单调函数，而且0不能为两函数的值域中的元素．
1
对于函数 ( ) = sin( )， ∈ [ , ]，
3 6

所以 ∈ [ , ]，
3 2 3
1
因为函数 ( )在[ , ]上为单调函数且0不能为函数的值域中的元素，
6
1

6 1 1则{ ，解得 ，
0 6 3
3

此时函数 ( )的值域为[ 1, sin ( )]．
3
1
对于函数 ( ) = log2( 2 + )， ∈ [0, ]， +4 4
第 8 页，共 9 页
1
当 = 0时， (0) = log2 = 2， 4
1 1
当 ∈ (0, ]时， ( ) = log2( + ) = log ( + )， 2+4 4 2 4 + 4

4
由对勾函数 = + 在(0,2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，

1
若 ( ) = log2 ( 4 + )在 ∈ (0, ]上单调，
+ 4

由复合函数单调性可知， 的取值范围为0 < 2．
1
由 友好函数 的定义，取 = 时， ( ) = 1，
6
那么存在 ∈ (0, ]，使得 ( ) = 1，
1
又当 = 0时， (0) = log2 = 2， 4
若 1是 ( )值域中的元素，那么 ( )只能在 ∈ (0, ]上单调递增，
1
所以 ( )的值域为[ 2, log2 ( 2 + )]． +4 4
由 ( )是 ( )的 友好函数 ，且 ( )也是 ( )的 友好函数 ，
1 1
所以sin ( ) = , log2 ( + ) = 1， 3 2 2+4 4
1 1
解得 = , = ，
6 2+4 4
1
所以 = + ，
4
3 1
则 = ．
4
3 1
由函数 = 在(0,2]上单调递增，
4
3 1
所以当 = 2时，( )max = × 2 = 1． 4 2
1
综上，实数 的值为 ， 的最大值为1．
6
第 9 页，共 9 页

展开更多......

收起↑