资源简介

数 学
初中数学“三五四”课堂教学策略（实验稿）
新授课
●基本流程
　　
●流程解读
一、自主探究
1、情境设计
目的：提供学生自主学习的素材。
操作要求：问题的设计要以学生为中心，根据学生已有的知识水平和生活经验，体现现实性、层次性、趣味性，既能引发学生的思考，又能给学生留有一定的自主、合作、交流的空间。素材来源于现实生活中的实际问题，或已有的数学知识，必须包含本节课中要学习的知识和方法，形式上可以是一系列的问题、活动、实验等。
　　2、自主学习
　　目的：针对情境设计提供的问题，让学生自主学习，经历、体验并探索知识的形成过程，从而培养学生分析、归纳、解决问题的能力。
　　操作要求：教师要了解学生的问题解决情况，个别引导学习有困难的学生完成情境设计中的问题。学生要反思总结问题中所蕴含的知识与方法。
　　3、组内交流
　　目的：针对自主学习中所发现的知识点、方法、规律或疑问进行交流合作，达到知识和能力生成的目的，同时培养学生勤思、敢问、能讲、善辩的能力，张扬学生的个性。
　　操作要求：学生组内全员参与，组长组织学生积极发言，提出问题，相互释疑，组内交流。教师巡回指导，根据学生完成情况，明确完善基础知识和基本方法，若有共性问题，适当点评，规范要求。
　　二、尝试应用
自我尝试
　　目的：学生根据教师提供的问题，初步运用己生成的知识和策略分析问题、解决问题。培养学生应用意识和反思习惯。
操作要求：题目精选，题量适中，要有一定的层次性。问题完全放给学生自主解决，并让学生自我反思。
2、组内交流
目的：让学生根据自我尝试，交流总结问题解决的方法、技巧、创新思路和未能解决的问题，为成果展示奠定基础。
操作要求：学生全员参与，教师巡视、个别指导。
三、成果展示
展示交流
目的：通过成果的展示，进行思维碰撞，点燃创新火花，交流解决问题的不同方法，培养学生的成就感和自信心。
操作要求：以一组为主，其他组补充完善，内容是运用的知识、方法、规律，同时也可以展示典型问题、一题多解、一题多变(最好是学生能从不同的角度提出问题)。充分发挥学生的主动性，教师要总结、提升问题解决的深度和广度。
2、总结反思
目的：让学生全面系统地总结本节课学习的内容及收获（包括情感、态度、价值观）。
操作要求：让学生反思问题解决时所用到的知识点、方法规律、问题解决策略及易错点；反思从别人那里学到了什么；反思本人本节课的表现情况。
四、补偿提高
目的：对前几个环节学生所出现的问题，进行针对性的补偿，对学有余力的学生拓展提高。
操作要求：可在备课过程中预设部分问题，同时根据学生完成情况灵活设置问题。
复习课
●基本流程
●流程解读
一、知识回顾
1、回顾练习
目的：通过教师所出示的问题，让学生回顾所要复习的知识点、方法及规律，从而唤醒对所学知识的记忆，加深理解。
操作要求：知识点的出示要题目化，问题解决要自主化，题量适当、难度较小、重点突出。教师要充分发挥学生的主体地位，把问题解决完全放给学生。
2、反思归纳
目的：通过回顾练习，让学生总结所运用到的知识点、方法及规律，培养学生分析、总结、归纳的能力，从而奠定学生可持续发展的基础。
操作要求：根据学生的反思，进行组内交流，补充完善对问题解决的认识和方法，教师巡视并解答学生所提出的问题。
二、综合运用
1、自主研究
目的：提升学生综合运用知识点解决问题的能力，培养学生自主分析、探究的习惯。
操作要求：题目设计时，一是要注意知识点和方法规律的运用，二是其中个别问题要有较高的综合性。每个问题处理之后，要对问题解决留给学生进行反思。
2、组内交流
目的：让学生根据问题解决的思路和自我反思所呈现的问题，通过交流进而归纳出方法规律、技巧和有待进一步解决的问题，为下一步成果展示奠定基础，从而培养学生搜集信息、处理信息及交流合作的能力，发展学生的优秀的思维品质。
操作要求：学生全员参与，教师巡视、个别指导。
3、成果展示
目的：通过对问题处理的展示，揭示问题处理的共性和发散性，从而对所复习问题的处理进行提升和拓展，张扬学生的个性，发挥群体作用。
操作要求：以一个学习组为主，其他组补充完善。展示内容是以运用的知识、方法、规律、一题多解、开放性问题等为主，同时也可以展示出现的典型或共性的问题，以充分发挥学生的主动性为主，教师的调整为辅，同时教师要注意总结提升问题解决的深度和广度。
三、矫正补偿
目的：针对前面几个环节学生所出现的易错点和共性问题，通过针对性问题的出示进行矫正补偿，以达复习巩固的目的。
操作要求：通过备课中教师预设的问题，或根据课内所出现的问题灵活提供相应的题目，让学生有针对性的完成。
四、完善整合
目的：通过学生对以上各个环节的完成，让学生进一步完善整合所复习的知识、方法、规律，从而培养学生分析、归纳、综合的能力。
操作要求：要求学生当堂自主或合作完成，形成知识方法体系。　
讲评课
●基本流程：　
　　
●流程解读
一、剖析自查
1、自我纠错
目的：通过对本份试卷的完成情况，认真分析错误的原因，检查自己的错误之处并进行改正。
操作要求：学生根据自己的失分点，认真反思并通过查阅课本自行解决末能解决的问题。教师要了解学生的问题解决情况，特别关注中下等生的完成情况。
2、自我反思
目的：针对本份试卷的完成情况，让学生总结本章（节）问题解决时所用到的知识点、方法规律、问题解决策略及易错点，并检查自己对本章（节）内容的掌握情况。
操作要求：要求学生自主思考，并写出自己所反思的内容及问题中所蕴含的知识与方法。教师巡回指导。
二、组内互助
1、帮助纠错
目的：对于自己解决不了的问题，通过组内同学的讲解和研讨，尽量解决所有问题。
　　操作要求：学生组内全员参与，组长督促学生积极发言，提出问题，讨论解决。
　　2、方法交流
　　目的：让学生根据前面几个环节，交流总结问题解决的方法、技巧、创新思路。从而进行思维碰撞，点燃创新火花，培养学生的成就感和解决问题的能力。并找出共性问题，为下一环节奠定基础。
　　操作要求：学生全员参与，教师巡视、个别指导。
　　三、共性问题解决
目的：通过学生对问题的处理，提出典型或共性的问题，以运用的知识、方法、规律、
一题多解、开放性问题等为主，揭示问题处理的共性和发散性，教师要注意总结提升问题解决的深度和广度。
操作要求：以充分发挥学生的主动性为主，教师的精讲为辅。
四、补偿深化
　　目的：对本章（节）学生所出现的问题，进行针对性的补偿深化，对学有余力的学生拓展提高。
操作要求：教师可在试卷分析中预设部分问题，同时根据学生出现的情况灵活设置问题。
临沂市初中数学课堂教学评价标准（实验稿）
评价项目
评价内容
评价等级
项目得分
优
良
般
差
教师
教学
行为
35分
教学目标
体现课程标准的基本理念，切合教材要求和学生实际，知识、能力、情感目标科学、准确、具体。
6
5
4
3
教学内容
知识容量和密度适中，重点突出，难点突破；密切联系社会、生产、生活实际；具有科学性和系统性，注重渗透数学思想方法，体现应用与创新意识；教学环节安排合理，知识衔接自然；学案的情境创设恰当、有效，问题设计严谨、合理，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等教学活动。
12
10
8
6
教学方法
教法灵活，能营造民主、开放的学习氛围，体现学生的能力培养，情感的激发；能调动学生的学习积极性和主动性，重视知识的运用和技能训练，注重能力培养；能恰当运用实验、图表、模型或现代技术手段进行辅助教学；注重知识的发生发展和应用过程，组织学生充分展示交流，课堂信息反馈及时，评价中肯且有激励作用。
12
10
8
6
学法指导
教学过程中能恰到好处地融入学法指导，有学法指导方案，学生能采用适宜的学习方法进行学习。
5
4
3
2
学生学习表现
25分
自主学习
学生积极学习，善于观察，勤于操作，主动探究，时空安排合理，学会学习；学生在学习时间、内容、方式等方面拥有较大的自主性，有自我评价的机会。
13
10
7
5
合作学习
各层次的学生都能积极主动地和其他同学开展合作学习，能相互协作、互相帮助，能通过合作交流共同提高；大胆展示，敢于质疑问难。
12
10
8
6
学习
效果
25分
知识技能
学生对有关知识、技能的学习符合课程标准的要求，学生经历数学化过程，并获得经验，知识与技能训练到位。
10
8
6
4
能力
培养
学生通过参与学习活动，发现并提出问题，对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的思想方法、能力、经验；学生通过有关的活动能够解决一些有难度的深层次的问题；通过猜想、尝试、分组交流、反思，带着新的更高层次的问题走出教室；各类学生均能得到最大限度的发展。
10
8
6
4
情感态度
各层次的学生都能积极地参与到课堂教学的每一个环节中来；学生的学习兴趣浓厚，积极参与各种活动，学习的信心增强，逐步形成良好的学习习惯和科学的价值观。
5
4
3
2
教师基本素质
15分
观念
态度
能运用新的教育教学理论指导教育教学，能较好地体现课程理念。
能尊重和平等对待每一个学生，对教学过程中的每一个环节都认真负责。
5
4
3
2
基本技能
能为学生营造积极的心理氛围，善于创设情境，充分展现新旧知识联系，让学生自主探索、动手操作和合作交流；教态自然，语言表述清楚，富有激情和感染力，仪表端装大方，板书布局合理，书写规范。
10
8
6
4
评课人
总分
初中数学新授课课堂教学实录
一、对新授课课型的认识
如何优化课堂教学，让学生学会学习，是我们教育工作者追求的永恒的课题。“自主探究、合作交流”正是新一轮数学课程改革所倡导的学习方式．临沂市课题组就是本着这一教学理念，承担了新教学策略这一课题的研究，按照这一策略进行授课，有效地开展了自主学习，探究学习和合作学习，充分地展示了学生的思路、成果、疑惑，尽情的享受学习带来的满足感、成就感，极大地调动了学生学习的主动性和积极性，学生真正成了学习的主人。
本文整理了人教版七年级下册第七章 “三角形的边”这节新授课的实录并加以点评，作为新课程改革试验研究中的一个素材，以“促进学生全员发展、和谐发展、可持续发展和自主发展，全面提高课堂教学的水平与效率”为宗旨，以“学会学习”为主题，以“自主探究—尝试应用—成果展示—补偿提高”为基本教学流程，以“新教学策略”为载体进行试验和实施的。
当然，研究永无止境，改革需有待于进一步深化和优化，任何改革都须经历一个过程，本策略的试验有待于大家共同研究、完善和深化。
二、教材分析
1．地位与作用：
三角形是一种常见的几何图形，本节内容是学习三角形的基础和准备。其中三边关系体现了数学源于生活，反过来服务于生活的数学理念，是对学生现有生活经验的一种概括提升，同时又是后继学习的基础.
2．教学目标：
①知识与技能：
了解三角形有关的概念，会把三角形分别按边、角分类。能运用三角形的三边关系解决实际问题。
②过程与方法：
在将三角形分类的过程中，进一步体会分类的原则及类比的数学思想方法；在参与操作、探索的学习过程中，掌握归纳、概括、反思、展示与交流和语言表达的方法与要领；在运用三角形的三边关系解决实际问题的过程中，进一步理解分类讨论的数学思想.
③情感态度与价值观：
体会数学与生活的密切联系，培养学生的数学应用意识，提高学生学数学的兴趣.
重难点：
本节内容重点是三角形三边关系定理，它不仅给出了三角形的三边间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准；熟练的运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的体现，同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力，它在解决等腰三角形的周长与边长问题时又是给学生渗透分类思想的重要素材。
本节的难点一是三角形按边分类，很多学生常把等腰三角形与等边三角形看成独立的两类，而在解题时产生错误；二是利用三边关系定理解题时，求出三条线段后，学生常常忽视检验它们是否能构成三角形，分类讨论思想在解题中也是学生感到困难的一个地方。
4．学前准备：每人准备长短不同的三条细木棒。
三、课堂实录及简析
第七章三角形 7.1.1 三角形的边
临沭县第一初级中学 王玉锐
一、自主探究
1．情景引入
教师：展示多媒体课件：金字塔、飞机、香港中银大厦、分子结构等。从课件中你发现了什么？
学生：观察、欣赏课件中的图形，引起了强烈的求知欲。
教师：同学们，三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，到处都有三角形的形象。那么你知道为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构吗？下面就让我们一起来走进三角形的世界，探讨7.1.1 三角形的边。
学生：领会新课意图，情绪高昂地投入到学习中。
[评析] 创设富有新意，联系生活实际的问题情境，让学生体会到数学就在我们身边，从而激起强烈的好奇心和求知欲，为下一步的自主学习奠定了基础。
2．自主学习
教师：同学们，三角形是我们生活中最常见，用途最广的几何图形，它是学习其它一切图形的基础，请你通过阅读课本，自主完成学案中的自主探究题组。
学生：阅读课本，边看课本边完成学案中的自主探究题组。
教师：教师巡视,帮助做题有困难的学生，了解各小组的自主学习进展情况。
[评析] “一切天赋和诺言都不如习惯更有力量”，自主学习习惯是新课标的基本要求。为学生创新、发现、表现提供相应的平台、空间，使主动参与到自主探究的学习活动中去，这样不仅能开发出学生潜在的能力，而且又激活了学生学习的积极性.养成良好的学习习惯。
3．组内交流
教师：巡视、了解各小组的题组完成情况，及时搜集信息。
学生：完成题组后，各学习小组的同学自发地交流。
第1题各小组通过拼接，各种不同的见解在小组内产生了激烈的讨论，但最终达成了共识，对三角形有了新的认识。
学生1：第2题：对错误的叙述举出了反例，并归纳出理解三角形的概念应注意的三个条件：①不共线；②首尾顺次相接；③三条线段。
学生2：第3题：回答了如何数三角形的个数：①先数单个的三角形的个数；②再数相邻两个三角形能构成的三角形的个数；③然后数相邻三个三角形能构成的三角形的个数；④以此类推.并类比以前数线段的条数，角的个数。
教师：同学们，通过以上两位同学的发言，你有何感想？
学生3：通过以上两题的学习，我得到的启示：①学习新知识可以类比以前学过的方法进行学习，譬如数三角形的个数可以类比数线段的条数，角的个数等；②对较复杂的图形数个数时应按一定的顺序（标准）来数。
学生4：第4题：按边和角分别将三角形分类，并类比以前学习的有理数分类，体会分类时应注意：①分类应先选一标准；②分类时应做到不重不漏。
教师：还有其它想法吗？可以起来说说。
学生5：对于第5题，通过作图，我体会到怎样的三条线段可以构成三角形？
方法1：看其中任两条线段之和是否大于第三条。
方法2：看较短的两条线段之和是否大于第三条。
教师：很好！同学们都有了自己的见解，通过自主探究，你们可以交流一下自己的感受。
学生：我们学到了很多新的知识点；各知识点应注意的问题；题目中所渗透的数学思想和方法；解决问题所用的不同方法；还存在什么疑惑等等。
4．归纳总结
学生：自主归纳出方法、规律性的东西及该注意的问题。小组间互相争辩、矫正，个别题目教师以问题的形式启发学生来总结。
教师：针对学生回答的情况，对出现的共性问题在归纳中给出及时的明晰。从而让学生选择出此类题的做法。
[评析] 因为学生的程度千差万别，学生在自主学习中，必然学到了一些新的知识点、方法和规律，同时也会产生新的疑惑，这时他们自发地在本组内充分交流，既给学生提供了展示表现的机会，又增强了学生的合作意识。当学生的归纳总结有缺陷时，教师适当的补充和提升.
二、尝试应用
教师：通过刚才的自主探究，你们已对知识有了新的认识，对方法和规律有了更深的了解，究竟对新知识学习的如何？请完成自我尝试题组。
学生：
1．自我尝试
学生根据自主探究出的知识和方法，自主完成尝试应用中的题组.问题完全由学生自主解决。
2．自我反思
根据自我尝试所完成的问题，自主思考，总结出解决问题时所用的知识点、方法规律、问题解决的策略和易错点，从不同角度提出新的问题。 并学会自我反思。
3．组内交流
教师：巡回指导，对学有困难的学生进行个别指导。
学生：全员参与。根据自我尝试，交流总结问题解决的方法、技巧、创新思路和未能解决的问题，为成果展示奠定基础。
[评析] 自主探究的效果如何，必须通过应用才能知晓。知识是能力的基础，能力是知识的升华，升华的途径是应用和整合。所以，自主探究后，必须提供必要的问题让学生自行解决，方法是在应用中探究出来的，应用学过的知识解决新的问题是学生能力形成的根本途径，也是学生对自主学习效果的自我评价和检测。因此，尝试应用是自主探究的检测和深化。
三、成果展示
教师：同学们，通过刚才的讨论交流，你们完成的如何，想不想来展示一下你们的成果？
学生甲：我们小组在做第2题时，一开始是相信的，但在别的同学说明理由时，就马上感觉不太可能了。
学生乙：我们小组是通过量出靖宏伟（身高190cm）的腿长（84cm）后，才知道即使是姚明也不可能一步走两米多。
进而有学生谈了自己的感想：有些问题凭感觉，凭猜测是不准确的，而应该根据所学的知识说出理由才能确定。
学生丙：我们组在做第4题时，有些同学只考虑了一种情况，其他同学给予补充.通过第3题和第4题的解决，很多同学受到了启发：
①解决此类问题时要注意分类讨论（分类思想）。
②求出三条线段的长度后要注意检验是否能构成三角形。
[评析] 学会分享与合作是研究性学习的目标之一，也是现代人必备的重要素质。学生在探究学习过程中形成的观点和看法，往往都还有很大的完善空间，这些空间的完善不能仅靠教师的讲解补充（甚至纠正）来实现，而应通过学生之间成果的交流，进行互动争辩，以实现自我完善。这样教师就要给学生提供充分展示自己的机会，创设一个交流争辩的平台，以增进相互之间的交流，使学生在展示中得到互补，在争辩中得到提高。通过成果展示，进行思维碰撞，点燃创新火花，从而培养了学生的成就感和自信心。
四、补偿提高
教师：同学们，通过本节课的学习，谈谈你们的收获。
学生甲：归纳总结本节学到的知识点、思想方法、易错点。
学生乙：首先受自主探究第3题的启发，以后如果遇到没做过，不会的题，可以借鉴以前学过的类似问题的解决思路和方法（类比思想）；其次通过情景引入和尝试运用的第2题的学习，我觉得只有努力学习，掌握了足够的文化知识，才能解决现实生活中的一些实际问题，才能提高自己的本事，为以后的工作和生活打下坚实的基础。
[评析] 通过这一环节，既对前几个环节中出现的问题进行了针对性的补偿，又对学有余力的学生进行了拓展提高.特别是通过谈收获，学生又对本节进行了深度反思，对本节所涉及的方法规律、数学思想、易错内容等又进行了一轮回顾与理解。尤其是学生对学习方法和数学意识的总结，更体现出学生反思的深度和广度。
附录：
7.1.1 三角形的边（学案）
一、自主探究（享受探究的快乐！）
1．拿出课前准备好的三条细木棒，以小组为单位进行拼接，它们能构成三角形吗？
2．判断正误：
（1）由不在同一直线上的三条线段顺次相接组成的图形叫做三角形( )。
（2）由三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（ ）。
（3）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（ ）。
3．如图所示，三角形ABD可记作 ，
它的三个顶点是 ，
三个内角 ，图中共有 个三角形.。
4．下列关于三角形的分类正确的有（ ）个
（1）三角形按边可以分为三边不等的三角形，等腰三角形和等边三角形三类.
（2）三角形可分为三边不等的三角形，腰和底不等的等腰三角形和等边三角形三类.
（3）三角形按边可以分为三边不等的三角形，等腰三角形两类.
（4）三角形可分为一般三角形，直角三角形，等腰三角形三类.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）。
A．.1cm、2cm、3cm B．1cm、4cm、2cm
C．2cm、4cm、3cm D．6cm、2cm、3cm
组内交流：通过自主探究，你学习了哪些知识？学习这些知识点时应该注意什么问题？
二、尝试应用：（试一试，你一定能行！）
1．填空：指出图中一共有 个三角形。
2．有人说自己的步子大，一步能走两米多，你相信吗？为什么？
3．已知等腰三角形两边的长为4、9，则这个三角形的周长为（ ）。
A．17 B．22 C．17或22 D．不能确定
4．已知等腰三角形的周长为70cm，一边长是30cm,求其余两条边长.
组内交流：通过3、4题的解决，对你有何启发？
三、补偿提高（更上一层楼！）
1．四条线段长分别为2、3、4、5，以其中三条线段为边长，可以组成（ ）个三角形。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知等腰三角形的两边为3、7，则此等腰三角形的周长为（ ）。
A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定
3．谈谈自己在本节课的收获： 。
点评
本实录反映的教学内容尽管简单，教学过程也不复杂，但确能给人以启发和思考。
1.从实录中反映出七年级的学生已经具有了较好的反思意识。多数学生不仅注重了题目的解法，更能注意到为何这样解，还能通过自己或别人的失误总结出该注意的问题。更可喜的是有些同学还能从中摸索出学习方法，从中受到情感态度价值观等方面的教育.这些都说明了学生思考的深度和广度.我们说：学会学习的方法是最重要的方法，学会反思是最重要的能力，所以，作为教师更要认真地注意加以保护和引导。
2.从实录中看出了教师如何理解教学内容，挖掘并拓展教学内容，在具体的教学中教师又如何引导学生进行自主学习，如何进行思想方法上的熏陶等教学中的最基本的问题.对这些问题的处理能够看出教师的教学理念是倾向于知识的传授还是侧重于培养能力，是重结果还是重过程，这些也是我们教学中要深刻思考的。
3. 从实录中可以发现教师真正地把课堂还给了学生 ，使学生真正地变为课堂学习的主人.知识点的探索，方法规律的总结，疑惑的解决等等无一不是通过学生自主探索、合作交流来完成的，学生在学会学习的过程中，学会了探索、合作、交流、共享，学会了发现自我，发展自我，展示自我，超越自我，实现自我价值。
4. 从实录中我们不难注意到展示交流贯穿始终。教师能够给学生提供展示交流的时间和舞台，让学生充分展现自己的观点、方法、成果、疑惑，充分地与同学、老师进行交流，在展示和交流的过程中进行思维碰撞，迸发出创新的火花，发展了创新思维，增强了合作意识，体现了自我价值.不过展示的方式方法和过程还应进一步探究。
临沭县教研室 卓卫华
复习课课堂教学实录
一元二次方程
临沂第三中学 崔伟
一、对这一课型的认识以及使用情况
如何激发和调动起学生学习的积极性，让学生自觉主动地进行复习，在数学复习课中提高教与学的实效，必须改变传统的教师上面讲个没完、学生下面记个不停，然后就是大量的题海练习的学习方式，而“自主探究、合作交流”正是新一轮数学课程改革提倡的数学学习方式．那么怎样在数学复习课怎样运用这一学习方式，其效果如何呢？
带着这个问题，并结合我市数学复习课课堂教学策略中“知识回顾——综合运用——矫正补偿——完善整合” 这一基本流程，按照这一复习课课堂教学模式进行授课，发现在数学复习课中让学生在自主探索与合作交流中进行复习，可充分激发和调动起学生学习的积极性和主动性，可提高数学复习课的教学效率，教学效果较好．本文整理了“一元二次方程”回顾与思考一节课的实录并加以点评，作为新课程改革试验研究中的一个素材，供大家共同研究．
二、教材分析
一元二次方程这一章内容看起来不算多，也不难．但它与其他知识的综合较多，是前面所学知识的继续和发展，尤其是一元一次方程、二元一次方程（组）等内容的深入和发展，也是今后学习方程以及其他数学知识的基础．与整式、分式、不等式、二次函数以及几何等知识都有综合题出现．
在进行本章的复习时，首先应以问题串的方式帮助学生总结本章的内容，在学生充分思考、交流的基础上，让学生去罗列、梳理主要知识点、方法及规律，形成知识框架．
对于一元二次方程的解法，本章介绍了配方法、公式法和分解因式法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法．但是在解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．教学中可以根据具体情况，精选一些实例或让学生自己举例说明．
解一元二次方程的基本思想是“转化”，教学中可以引导学生回顾本章中体现“转化”思想的内容，也可举一些实例，使学生对解方程的基本思想方法了解得具体一些．
对于利用方程解决实际问题，可以让学生对所学过的方程（组）进行整体的回顾，找出解决问题的关键．
教师可以鼓励学生在课外独立完成一份小结，谈谈到目前为止对方程学习的感受以及困惑．
三、教学实录与简析
I．知识回顾
师：前面我们已经学习了一元二次方程的有关知识，并用它来解决了一些简单的实际问题，今天我们来下面的几道题为基础对本章进行复习．
我们先一起来看两个问题，做完的请示意：
问题1．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
2．（05·浙江）根据下列表格的对应值：
x
3．23
3．24
3．25
3．26
ax2+bx+c
－0．06
－0．02
0．03
0．09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
A． 3（学生积极演算，2分钟后大都示意完成）
师：我们请生1说一下第1题．
生1：一元二次方程可整理为，所以这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别为5，8，-2．
师：好，请坐．答案是这个的请举手！（全都举手）
师：很好．我们再请生2说一下第2题．
生2：第2题选C．因为根据图标发现，在这个区域，ax2+bx+c随着x的增大而增大．
师：好，请坐．答案是这个的请举手！（全都举手）
师：非常好，看来同学们对基础知识掌握不错．我们接下来再看三个题目，时间6分钟．
问题3．用适当方法解下列方程．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
4．一个直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度．
5．某电脑公司2005年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％，该公司预计2007年经营总收入要达到2160万元，且计划从2005年到2007年，每年经营总收入的增长率相同．问2006年经营总收入为多少万元？
（学生独立思考并解决学案中问题3～5，其中生3板演第3（1）、（2）题，生4板演第3（3）、（4）题，生5板演4题，生6板演第5题．6分钟后大部分学生示意完成．）
师：我们请板演的同学依次把解决问题的思路讲一讲．
（生3～生6依次讲解）
生3：对于第（1）题我们可以直接得到或，从而得到．第（2）题我是利用了求根公式得，从而得到．当然这道题也可以利用配方法来解．
生4：第（3）题我是移项后化成一般形式后，利用了求根公式得，第（3）题我是移项后分解因式得到，所以．
生5：设两条直角边中较短的为cm，则由题意得，解得（舍去），．
所以，所以两直角边分别为3cm、4cm．
生6：我们要用一元二次方程来解决这个问题，首先我们要根据题意把这个实际问题转化成数学模型——一元二次方程．（很自信的）我认为在这个问题上应明白：年收入增长的百分率＝年增加的收入/年收入．设每年的增长率为x，则
年
年增加的收入(万元)
年总收入(万元)
2005年
600÷40％＝1500
2006年
1500x
2007年
1500(1＋x)x
这样，我们就得到了满足题意的等量关系．
．解得（舍去），．
所以 1500(1＋x)＝1500×1．2＝1800(万元)．因此，2003年经营的总收入为1800万元．
师：下面以组为单位，一起交流总结解决以上问题时所运用的主要知识点、方法及规律，对本题（章）问题解决的认识和方法，比一比哪个小组总结的快、总结的完整．
生7：我们小组通过交流，认为从一元二次方程的整体结构看，本章的主要知识点有三部分：
（1）一元二次方程的定义：包括①定义：含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的方程叫做一元二次方程．②一般形式：．第1题即是考查这一知识点；
（2）一元二次方程的解法：①近似解：对于一元二次方程，如果当时，的值大于0，当时，的值小于0，那么方程的根在与之间；②精确解：求一元二次方程的解的常用方法有：配方法、公式法、分解因式法．第2、第3题是对这一知识点的考查；
（3）一元二次方程的应用．显然第4、第5题就是对这一知识点的考查．
生8：我们小组经过讨论交流，认为（1）在应用一元二次方程的概念解题时，首先要充分理解概念，记住构成一元二次方程的三个条件：①整式方程；②一个未知数；③未知数的最高次数是2次，特别要注意这个条件；
（2）在解一元二次方程时，首先要熟练掌握配方法、公式法、分解因式法解方程的方法和步骤，能够根据题目特点，灵活选用适当的方法解方程．
（3）在应用一元二次方程解决实际问题时，首先要认真读题，只有理解了题意，才能从情景中获取必要的信息，然后通过分析、处理从而转化为数学问题，列出方程求解，最后要检验其解是否符合实际意义．
生9：我们组给出的本章的知识结构：
师：每个小组说的都太棒了，生8的整理把握住了这章知识的整体结构，对每一种情况还结合我们的题目举例给予了说明，理解得更加深刻．大家以后再进行整理总结时要向她们学习．这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看．（用多媒体展示，结果与同学的比较，还不如生8总结的好）．同学们可以看出，老师整理的还不如你们整理的好，同学们比老师还聪明．其实只要大家勤于思考，多动脑、动手，一定会有重要的发现和收获的．
（学生情不自禁的鼓起掌来）
【评析】通过提供问题串，先由学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，从而帮助学生建立整体性的认知框架，完善认知机构．学生的主动性和积极性得到了充分的发挥，比只由教师讲解学得主动、理解深刻．
精选题目是组织有效教学活动的基础．本环节设计的题目较为基础的题目或是生活中涉及的一些实际问题，这对达成本课的阶段目标（基本目标）有着重要意义，这充分体现了教师对全体学生的尊重，不难看出教师的一番匠心．
此外，学生心理的安全和自由是学生主动探究的必要条件．教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，融造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境．
II.综合运用
师：（点评，肯定上一环节各组学生的表现，予以鼓励）刚才每位同学、各个小组表现得都非常棒，我相信，下面的问题大家一定会表现的更出色的！
问题1：解方程，你想到了哪些方法？
（生独立思考完成后，组内进行交流，然后小组代表发言）
生10：我是用的配方法，，，即：，所以，解得．
生11：我是设，得到，利用公式法求得，所以或，所以．
生12：我把方程左边展开，得到，即，解得．
【评析】“解题千万道，解后抛云霄”，这是难以提高解题能力和发展思维的，而引导学生进行解后反思，则有助于学生能力的提高．
师：问题2．（1）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握手66次，这次会议到会的人数是多少？
（2）如今，E-mail已经成为我们联系的一种工具，我班同学假期中部分同学相互通信一次，经统计，一共通信132次，假期中相互通信的同学人数有多少？
（生独立思考完成后，组内进行交流，然后小组代表发言）
生13：这两道题是一种类型，由于其中均有重复计算，所以都要除以2.以第一题为例：设这次会议到会的有x人，则，解得（舍去），.所以这次会议到会的有12人.
生14：我们组不同意这一说法.这两题并非一种类型，第（1）题有重复计算，但是写信并无重复计算，所以不应除以2.设假期中相互通信的同学人数有x人，则，解得（舍去），.所以假期中相互通信的同学人数有12人.
（课堂中出现许多顿悟的声音，至此，课堂气氛掀起了一个小高潮.）
师：（针对以上两题引导学生进行解题后的反思.）
生15：通过解第1题，我们可以看到很多题目有多种解法，一题多解可以提高我们的解题能力.
生16：在第1题中，我是和我们组的其他同学交流后才知道有多种方法的，所以我觉得要经常与别人合作.
生17：通过第2题我们感觉到生活中处处都有数学，无处不用数学.
师：一题多解，更要优解.多解可以发散我们的思维，而优解可以提高我们的思维品质.同时我们还要注意“生活数学化，数学生活化”，这有利我们的解题，让我们享受成功的体验.
【评析】真理只有在尝试与实践中方可逐渐形成，学生通过交流，用自己的语言将思路描述，虽然其中亦有不完善甚至错误之处，但这是学生的认知水平的真实反应.正如弗莱登塔尔所说：“对知识的感觉和体验，有着很大的解释余地，以至于教师无法再垄断对它的解释.”
师：问题3．填空：
（1）方程的根为x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1·x2= ；
（2）方程的根为x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1·x2= ；
（3）方程的根为x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1·x2= ．
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？
4．利用上题你的猜想，解决问题：
已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值．
生18：第3（1）：，-1，-1，-2，1；（2）：，，3，-1；（3）；
生19：我们经过小组讨论交流得到的猜想是：如果方程的根分别为，那么.（板演证明过程．）
生20：设另一根为，利用第3题的结论可知，，所以，.
（师引导学生反思交流：1．题目解决所使用的知识点及解决问题的策略；2．用本章知识点解决问题时容易出错的问题；3．从本组、其他组同学那里你学到了什么？自己的表现如何？）
【评析】教师将老教材中的根与系数关系问题通过小组合作探究的形式进行教学，增强了师生之间、生生之间的相互交流，相互沟通，相互启发，相互补充，小组合作学习的这一数学学习活动的有效性得以凸现.
III.矫正补偿：
1．判定下列方程是不是一元二次方程：
（1）=0；（2）；（3）；（4）．
2．用估算的方法解决以下问题：为进一步美化临沂城，要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4m的绿化带，使余下的部分面积为100m2，求原正方形广场的边长（精确到1m）．
3．用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
4．某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？
5．某商场第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利为m万元，则第一年年终总资金可用代数式表示为 万元；
（2）如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
（说明：第4、5题任选一题完成即可）
（生独立完成以上题目，当堂批改）
【评析】学生在学生的认知过程中，就是由“不知到知”的过程.本环节针对前面几个环节中学生的易错点和共性问题，以针对性的题目尽心矫正补偿，以求达到复习巩固的目的.让前面学生暴露的问题得以弥补.
IV.完善整合
师：请大家反思一下，你是否真正达到了本课时要达到的目标？
（学生回顾反思，部分学生做全班交流，教师适时补充、鼓励，以完善本章所复习的知识、方法、规律）
1、主要知识点：
2、方法：
3、知识结构：
4、课后请同学们独立完成一份小结，谈谈到目前为止对方程学习的感受以及困惑．由小组互相交流评价，与同学方案的优劣，从而取长补短．
【评析】实施有效性的评价是提高数学课堂教学活动有效性的重要措施，评价的目的是为了全面了解学生的学习状况，也是教师改进教学的有力手段.
附：
“一元二次方程”复习课学案
教学内容：
北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》 九年级上册第二章“一元二次方程”回顾与思考
教学目标：
1．知识目标
（1）通过回顾与思考，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；
（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题；
（3）进一步了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程．
2．能力目标
（1）通过回顾与思考进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；
（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；
（3）理解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；
（4）通过估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．
3．情感目标
通过师生共同的活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感．
教学重点
1．一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法；
2．列一元二次方程解决实际生活中的问题．
教学难点：
1．列一元二次方程解决实际问题；
2．转化的思想方法．
教学过程：
一、知识回顾
[回顾练习]
1．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
2．（05·浙江）根据下列表格的对应值：
x
3．23
3．24
3．25
3．26
ax2+bx+c
－0．06
－0．02
0．03
0．09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
A． 33．用适当方法解下列方程．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
4．一个直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度．
5．某电脑公司2005年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％，该公司预计2007年经营总收入要达到2160万元，且计划从2005年到2007年，每年经营总收入的增长率相同．问2006年经营总收入为多少万元？
[反思归纳]
1．主要知识点；2．方法．
（组内交流，主要交流总结以上问题时所运用的主要知识点、方法及规律，对本题（章）问题解决的认识和方法）
二、综合运用
[自主研究]
1．解方程，你想到了哪些方法？
2．（1）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握手66次，这次会议到会的人数是多少？
（2）如今，E-mail已经成为我们联系的一种工具，我班同学假期中部分同学相互通信一次，经统计，一共通信132次，假期中相互通信的同学人数有多少？
3．填空：
（1）方程的根为x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1·x2= ；
（2）方程的根为x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1·x2= ；
（3）方程的根为x1= ，x2= ，x1+ x2= ，x1·x2= ．
由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？
4．利用上题你的猜想，解决问题：
已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值．
[组内交流]
（根据问题解决的思路和自我反思呈现的问题，组内进行交流，进而归纳规律、技巧，以及有待进一步解决的问题）
[成果展示]
展示交流：展示1~4题的答案、思路，对于每一道题，都由一个组进行展示为主，其它组为辅，重点展示每题的解题思路．
反思交流：
1．题目解决所使用的知识点及解决问题的策略；
2．用本章知识点解决问题时容易出错的问题；
3．从本组、其他组同学那里你学到了什么？自己的表现如何？
三、矫正补偿：
1．判定下列方程是不是一元二次方程：
（1）=0；（2）；（3）；（4）．
2．用估算的方法解决以下问题：为进一步美化临沂城，要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4m的绿化带，使余下的部分面积为100m2，求原正方形广场的边长（精确到1m）．
3．用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
4．某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？
5．某商场第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利为m万元，则第一年年终总资金可用代数式表示为 万元；
（2）如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
（说明：第4、5题任选一题完成即可）
四、完善整合
（完善本章所复习的知识、方法、规律）
1．主要知识点：
（1）一元二次方程的定义：
①定义： 的方程叫做一元二次方程．
②一般形式： ．
（2）一元二次方程的解法
①近似解：对于一元二次方程，如果当时，的值大于0，当时，的值小于0，那么方程的根在 与 之间；
②精确解：求一元二次方程的解的常用方法有： 、 、 ．
（3）一元二次方程的应用．
2．方法：
（1）在应用一元二次方程的概念解题时，首先要充分理解概念，记住构成一元二次方程的三个条件：①整式方程；②一个未知数；③未知数的最高次数是2次，特别要注意二次项系数这个隐含条件．
（2）在解一元二次方程时，首先要熟练掌握配方法、公式法、分解因式法解方程的方法和步骤，能够根据题目特点，灵活选用适当的方法解方程．
（3）在应用一元二次方程解决实际问题时，首先要认真阅读，理解题意，从情景问题中获取必要的信息，然后通过分析、处理转化为数学问题，列出方程求解，最后要检验其解是否符合实际意义．
3．知识结构：
4、课后请同学们独立完成一份小结，谈谈到目前为止对方程学习的感受以及困惑．由小组互相交流评价，与同学方案的优劣，从而取长补短．
点评
教育的现代化，并不仅仅是教育手段的现代化、教育方法的现代化，更重要的是教育理念的现代化、教育内容的现代化．数学的学习并不是仅仅做几道数学题，而是要通过数学的学习提高学生的各种能力，促进学生的发展．数学学科的学习重在引导学生走上自主学习、合作探究之路，注重学生参与学习过程，产生学习意向，加之时时反思总结，这是提高学生数学学习效率，增强自律学习的有效策略．
本节课利用合作探究的复习课模式：“知识回顾——综合运用——矫正补偿——完善整合” ，作为教者，在认识上有提高，在观念上有变化，在手段上有进步，在形式上有创新.既注重了知识与技能的训练，又注重了的学生发散思维能力、创造思维能力和反思总结能力的培养．良好的数学学习习惯和方法的养成以及数学情感、态度和价值观的形成在学生数学学习的过程中逐渐提高！
这节课完全出于想象之外．课前对这一设计方案心中没有底，而课堂上学生的表现简直让人惊讶．想不到学生的思维那么活跃，能力那么强．学生真是太聪明了！
课后学生的反映更是热烈．他们说：“以前的复习课，全由老师讲，我们很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听．课后作业许多同学没有认真地独立完成，还有一些还是抄别人的，一章复习完后许多知识没有真正弄清楚，还是迷迷糊糊的” ．“今天的课，课前老师让我们自己先对这一章进行整理，而且说课堂上要展示，大家都认真的进行了复习整理．除了自己看书上的内容外，我们还翻阅了一些参考资料，与同学进行了讨论．这样老师还没有上课，我们对这一章的知识及相互之间的关系就基本上复习和了解了．课堂上再通过展示大家的整理和教师的讲解，使我们既看到了到自己的不足，又学习到了别人的方法，进一步加深了对这一章知识的理解与掌握，印象十分深刻，特别是我们解题时的积极性都很高，都在认真地进行” ．“当听（看）到别人解题很有新意时，也启发了自己的思路，产生了一些新的想法” ．“以前老师布置的各种不同类型的习题，我们只是为了完成作业，从没有认真去想一想它们之间有何联系和规律．今天通过我们自己编制并展示了各种不同的类型，使我们看到了这些不同类型习题的解题规律和相互之间的联系，我们觉得这些题简单多了” ．“老师今后的课都应该这样上．让我们先自己去做一做，做后再交流，通过交流，可以互相启发，这样我们收获要大得多”．
在复习课中如何体现新课程的教学理念？如何改变学生的学习方式，提高复习课的效率，是在新课程改革中需要认真研究的课题．在这节课的教学设计时，我们在明确复习课的目的任务的前提下，以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循复习课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终，并将评价与教师的教和学生的学有机的融为一体．实践证明，复习课中，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当的运用评价的激励与促进作用，“自主探究、合作交流”的学习方式可充分激发和调动起了学生学习的积极性和主动性，获得理想的复习效果． 兰山教研室 魏长征
《轴 对 称 复 习 检 测 题》讲评
蒙阴县第三中学 秦承农
对讲评课教学策略的认识
在教学过程中，试卷讲评课虽然不像新授课那么多，但也是教学过程中不可缺少的重要课型。它的作用，一是巩固深化所学知识；二是及时反馈教学信息，进行教学评价，发现、解决教学中存在的疑难，进行查漏补缺；三是总结吸收教与学的经验和教训，改进教师教学；四是提高教学效率，提高学生的学习质量。本教学策略力求在尊重学生主体的前提下，充分发挥讲评课的作用，改变教师以讲为主的单一低效的模式，最大限度的引导和调控学生全员参与、相互交流、自主构建，达到自主、高效、全面落实的目的。初中数学讲评课教学策略，就是根据这一作用和本市课堂教学实际情况而制定的，本策略分为剖析自查、组内互相、共性问题解决、补偿深化四个流程，其目的是及时帮助学生发现自身缺憾，纠错是目的，学会自查自纠，通过小组合作，让学生感受参与的快乐，体验成功的喜悦，培养学生的自信心、成就感和解决问题的能力，“激励和唤醒”学生学习的欲望，锻炼学生“学会学习”。本策略正在实验阶段，通过本阶段的实验收到了良好的效果。
教材分析
本节内容介绍：本章内容主要包括：轴对称及其相关概念、轴对称变换、等腰三角形及其性质。其中以对称观点观察分析问题。并通过轴对称变换解决实际问题是全章的重点和难点，也是贯穿于全章的一条主线，等腰三角形相关知识评价也应突出这根主线，同时，设计测试题及讲评时应适量配置以对称变换为主体的实际问题。
本章内容是培养学生动手能力、想象能力、创造能力、的一个良好载体，建议除普通形式检测外，还可以通过其它形式进行评价，如新创意剪纸、图案设计评比，风筝制作竞赛等。
课堂实录与简析
师：请同学们依据试卷的完成情况，认真分析出错的原因（知识点的问题、思维方法的问题、格式规范的问题等），并认真改正。
生：根据自己的失分点，解决未能解决的问题。
师：教师巡回观察，了解学生纠错情况，关注中下学生的完成情况。
师：请同学们总结本试卷所考查的知识点、方法规律、问题解决策略。找出易错点，反思对本章内容的掌握情况。
生：自主反思。
师：教师巡回指导。
（评析：通过学生的自我纠错和自我反思，充分发挥了学生的主体地位，对培养学生的纠错能力和反思习惯，起到了良好的效果 。）
师：请同学们把未能解决的问题，提交小组，进行组内交流，看哪一小组解决的好！
生：组内全员参与，积极发言，解决问题。
（点评：通过竞赛、量化小组等形式，激励全员参与，采取兵教兵的方法，不仅活跃学生思维，而且容易发现一些更加灵活的方法与技巧）
师：通过同学们的积极参与、相互交流，多数问题都已得到解决，下面请同学们根据前面几个环节的心得、问题解决的方法、技巧，提出你们组的共性问题。
生：以小组为单位，提出问题。
（点评：教师放手发动学生,小组合作,进行探索与交流,通过学生间的交流进行思维碰撞，点燃创新火花，开拓创新思路，培养学生的成就感和解决问题的能力。）
师：下面我们把收集到的共性问题进行任务分配，请各组同学认真准备。
一组：T11；二组：T3、T4；三组：T5；四组：T9；五组T10；六组：T13；七组：T14；八组：T12。
生：分组准备展示材料。
一组生：我们展示的是第十一题，该题考查的知识点有中垂线的概念，全等三角形等知识点，
方法一：利用中垂线的性质；
方法二：利用三角形全等。
另一组生补充：
方法三：还可以利用轴对称的性质。
师：可不可以从等腰三角形的性质入手？
生：由AD是BC的中垂线得AB=AC，BD=CD，从而得出∠1= ∠2，∠3=∠4，然后利用角的和，得出∠ABD=∠ACD。
师：谁能把这道题的结论条理的展示出来？
生：相等关系有：AB=AC，BD=CD，BE=CE，∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，∠1=∠2，∠3=∠4，∠ABD=∠ACD,还有面积相等，周长相等等。位置关系：AD⊥BC，ΔABD与ΔACD关于直线AD对称等。
师：很好！回答的条理清晰，这是一道结论开放性题目，解答这类问题的思路是分析、
推理、探索。
二组生：第3题是两解题，依据题意可以得到两种不同的图形，一种是顶角为60°，另一种是顶角为120°，因为三角形的高线可能在三角形内部，也有可能在外部或三角形的边上。
生：第4题：已知等腰三角形两边长为6和3，求其周长需要先确定底和腰长，应考虑两种情况：（1）6、3、3（2）6、6、3。依据三边关系应相除。所以其周长为15，这道题告诫我们考虑问题应全面，类似题目有，已知等腰三角形周长及一边长，求其它边长，也应全面考虑。
师：这两道题体现了数学中的分类思想，在分类时，要注意分类的标准。
三组生：第5题考查了等腰三角形的性质，我们可以通过列方程解决这个问题。
设∠A=x，则∠AED=∠A= x，∠EBD=∠EDB=x，∠BDC=∠BCD=x，依据三角形内角和为180°得 x+x+x=180， 解 得x=45°。
师：除了设∠A=x外，还可设什么更容易算？
生：设∠ABD=x，则∠ABD=∠EDB=x, ∠A=∠AED=2∠ABD=2x，，
∠BDC=∠BCD=3x，依据三角形内角和为180°得2x+3x+3x=180,解得x=22.5°,
所以∠A=45°。
师：很好，同学们感到简单在什么地方？
生：没有了分数，计算简便了。
师：但要注意什么？
生：x=22.5°,不是∠A=22.5°
师：很好！利用列方程的方法解决某些几何问题，更加简洁明了。本题体现了一题多解的解题思路，多解培养了我们的发散思维，但我们要注意从多解中选取优解，以培养我们的思维品质。
四组生：我们组展示的是第9题，这道是考查的知识有等腰三角形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及三角形的内角和等于180°等。
我们的解决方法是：作AC腰上的高BE，垂足为E，则∠BAE=30°，在Rt△ABC中，∠BAE=30°，所以 BE=AB=AC=a.先求腰上的高BE=a，再求面积为a2.
五组生：第10题要求周长，需要先示出AB、AC的长，由DE是AB的中垂线可知AD=BD，
∵AB=AC=AD+DC=BD+DC=17-5=12cm
∴△ABC的周长为29cm.
师：解决这道题的关键是什么？你怎样理解转化？
生：AC=BD+DC；把AC的长转化为求BD与DC的和。
六组生：我们组展示的是第13题，首先连结BD，因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB，又
因为∠ABC=∠ADC，所以∠CBD=∠CDB，所以BC=DC.
生：连结AC。
师：卜凡椿同学谈到辅助线可不可以这样解。
生：不行，这样就变成已知两边及一边的对角，是不能证两三角形全等的。
师：通过作辅助线，把问题转化为等腰三角形的性质和判定来解决的，恰当的辅助线，
是解决问题的好帮手。同时体现了转化思想，这是数学中常用的方法。
七组生：第14题考查的是平面内两点之间直线段最短，以及轴对称的知识。我们应考虑这道题有三种情况，∠AOB可能是锐角、直角或钝角，首先当∠AOB是锐角时，分别作出点C关于直线OA、OB的对称点C’,C”,分别解出点C关于直线OA、OB的对称点C’,C”，连结C’,C”分别交直线OA、OB于点D、E，顺次连结C、D、E，则△CDE就是小明行走的路线。
第2种情况当∠AOB是直角时，解图方法与第一种相同，不过点C关于直线OA、OB的对称点的连线正好经过点O。
师：这时，小明的行走路线是什么？
生： C O C
师：好！接着讲。
生：当∠AOB是钝角时，解法类同，但对称点连线与∠AOB无交点，小明的行走路线图第2种情况。
师：这道题主要是看同学们考虑问题的周密性。下一组。
八组生：我们展示的是第12题，如图∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AD=9 cm，AC=8cm，则△ADE的周长是多少？由BF是∠ABC的平分线，可知∠1=∠F，由DE∥BC可知∠F=∠3，所以∠1=∠3，依据等角对等边可知BD=DF，同样我们也可能得到EF=EC，△ADE的周长就转化成了AB+AC的长是17cm。
师：观察图形，依据题意，你会得出什么规律？
生：平行线、角平分线，等腰三角形往往会同时出现。
师：我们在证明EF=EC时，可以用两个字简洁明了的说明。
生齐：同理。
师：回顾今天的学习，你觉的有哪些收获？小组交流总结一下，看还有哪些值的总结展示的地方。
（生交流，师巡回指导）
生：通过本节课我有四点收获，第一，必须掌握好知识点，打好基础，才能进一步拓展提高；第二，考虑问题要全面；第三，解题要灵活，比如第5题，可以通过列方程求解；第四，平时要注意及时总结。
师：同学们总结的很好，马上把你你的收获整理下来吧！
（点评：教师放手发动学生，通过各小组的展示，让学生在这一活动中去发现问题、解决问题，培养了学生互相学习，敢于发言、勇于发言的良好习惯，教师点评比较到位。）
师：老师看到同学们都整理的确不错，下面老师再出几道题考考大家，请看大屏幕。
1．已知：AD是等腰△ABC一边上的高， 且∠DAB=60°
求△ABC三个内角的度数
2．如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AC，OD⊥AB ，垂足
分别是D、 E.
（1） ∠ODE= ∠OED 相等吗？
（2） AE 和AD相等吗？
（3） AO是线段DE的垂直平分线吗？
（3）两个完全相同的多矩形铁尺随意放在桌
面上（不构成轴对称图形），你能通过轴对称
变换使得两把铁尺互相重合吗？如果能，需要
变换几次？画图举例说明书对称变换的过程；如果不能，简述其理由。
（点评：通过对本章学生的掌握情况及本套试题的完成情况，进行有针对性的补偿深
化，对学有余力的学生拓展提高，T2意在引导学生注意观察身边事物，敢于提出新的疑问，并用所学知识去解决问题。）
师：通过今天的努力，把你认为最有价值的两道题目及心得整理到成长日志中。
附试卷；
轴 对 称 复 习 检 测 题
一、选择题:（每小题5分，共25分）
1．下列四个图案中，具有一个共同性质，则下面四个数字中，满足上述性质的一个是 （ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
2．下列多边形中不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．等腰梯形 D．等边三角形
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
4．如果等腰三角形两边长是6和3 ，那么他的周长是 （ ）
A．9 B． 12 C． 12或15 D．15
5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．54°
二、填空题：（每小题5分，共25分）
6．等腰三角形最多有 条对称轴，最少有 条对称轴.
7．小明上午在理发店理发时，从镜子中看到墙上普通时钟的
时针与分针的位置如图所示，此时时间是 .
8．已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别是 .
9．等腰三角形的底角等于15°，腰长是2a ，腰上的高是 .
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5cm，作AB的垂直平分线交另一腰AC于D，连结BD，如果△BCD的周长是17cm，则△ABC的腰长为 .
第5题图 第7题图 第10题图
三、解答题：（36分）
11．（12分）如图，已知AD是BC的中垂线，所能得到的结论是：
.
你能根据现有条件，推得∠ABD=∠ACD吗？
12．（12分）如图, ∠ABC、∠ACB的平分线相交于F,过F作DE//BC，交AB于D,交AC于E,若AB=9cm, AC=8cm，则△ADE的周长是多少?
13．（12分）如图，AB＝AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC
第11题图 第12题图 第13题图
四、应用题：（14分）
14．点C是∠AOB内一点，某班举行文艺晚会，桌子沿AO、BO摆成两排，AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.（尺规作图，并写出作法）
点评
本节课设计有以下几个特点：
1．本节课例用自主、合作、交流、提高的教学策略：剖析自查——组内互助——共性问题解决——补偿深化，体现出教师是学生学习活动的组织者、引导者和合作者，学生是学习的主人。改变了教师的教学行为和学生的学习行为。
2．为学生提供独立分析问题、解决问题和组内互助的空间，引导学生投入到自主学习、合作交流的教学活动中，通过学生对问题的展示与处理，提出典型或共性的问题，以运用的知识、方法、规律为主，渗透了一题多解、分类讨论、方程与转化思想。揭示问题处理的共性和发散性。
3．教师注重了学生对问题解决后的反思和积累；注重知识的灵活性、综合性，以及知识间的迁移转化；注重方法、规律的总结提升，问题解决的深度和广度，使试卷的讲、评更具有针对性，更注重了学生学习的效果。
4．在活动过程中，不仅突出了知识性，而且更好的注重了活动的过程性，由点到面，以点带面，点面结合，达到了共同提高的目的。
（蒙阴县教研室 王法忠）

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