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2025年广东省两校高考数学一模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为：的定义域为集合的解集为集合，则( )
A. B. C. D.
2.设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于( )
A. B. 或 C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.在等差数列中，，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.口袋内放有大小相同的个红球和个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列为，如果为数列的前项和，那么的概率为( )
A. B.
C. D.
6.设复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
7.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台，，，从左往右若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台，，的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台，，的侧面与底面所成的角分别为，，，则( )
A. B.
C. D.
10.若，满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知圆和圆相切，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函，若，则的值为______．
13.设函数，则在上的零点个数是______．
14.如图，左边是编号为、、、的型钢板，右边是编号为甲、乙、丙的型钢板，现将两堆钢板自上而下地堆放在一起则型钢板均不相邻的放法共______种；乙号钢板上方的型钢板的编号之和与其下方的型钢板的编号之和相等的放法共______种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
若时，的最小值为，求的值．
16.本小题分
已知函数．
曲线在与直线的交点处的切线方程；
曲线过点的切线方程．
17.本小题分
如图，四边形与均为菱形，，且．
求证：平面；
若菱形边长为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
若无穷项数列满足为常数，且，则称数列为“数列”．
设，，若首项为的数列为“数列”，求；
若首项为的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和；
设，，若首项为的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值．
19.本小题分
为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于天视为“不经常整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
求图中的值；
根据图、图中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
附：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
．
由，求得，，
函数的单调递增区间为．
由时，，，
，
解得．
16.解：由，得．
，且，
曲线在点处的切线方程为，即；
设切点为，且，
在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
解得：．
曲线过点的切线方程为．
17.证明：设与相交于，连接，
四边形为菱形，，且为的中点，
，，
又，平面；
解：四边形均为菱形，且，为等边三角形，
为的中点，，且求得，
又，，平面，
，平面，平面，平面，
则到平面的距离等于到平面的距离，
又，
三棱锥的体积．
18.解：由题意有，，，，则
，，，，，，，，，，，
一般有，，，
所以．
数列是首项为的等比数列，设其公比为，
又为数列，，，
当时，，，有，
又，，，
于是得，解得，有或，
当时，，，为数列，
当时，，，为数列，
当时，则，，构成以为公差的等差数列，即，有，解得，
于是得，，，为数列，
所以当，，是大于的任意正整数，则，；
当，，，则，．
依题意，，，，数列为“数列”，
则，，，，，，，
，，，，
，，，，是公差为的等差数列，
且，
所以且，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
即，
所以，
所以，即，
化简得，代入，等式成立．
因为当时，，所以当，方程无解，
综上所述，满足成立的值为．
19.解：由题意可得，
解得；
数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，
则补全列联表如下：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于．
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