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江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学试题（南通一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.某正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面的夹角为，则该正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长若增长为原来的倍经过了天，则增长为原来的倍需要经过的天数约为参考数据：
A. B. C. D.
6.定义在上的奇函数满足，且在上单调递增设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的左支上一点，与的一条渐近线平行若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若为实数，则是实数 B. 若为虚数，则是虚数
C. 若，则是实数 D. 若，则
10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的个球从口袋内无放回地依次抽取个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则( )
A. B. C. 与为互斥事件 D. 与相互独立
11.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，则( )
A. 平面
B. 向量，，不共面
C. 平面与平面的夹角的正切值为
D. 平面截该正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则 ．
13.已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ．
14.将，，，，，随机排成一行，前个数字构成三位数，后三个数字构成三位数记，则的最小值为 ，小于的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
女 男
未参加跳绳比赛
参加跳绳比赛
能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．
附：，其中．
16.本小题分
在中，已知，．
求
若为的平分线，的面积为，求．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，．
证明：三棱柱是正三棱柱
证明：
设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积．
18.本小题分
已知函数的图象与轴的三个交点为，，为坐标原点．
讨论的单调性
若函数有三个零点，求的取值范围
若，点在的图象上，且异于，，，点满足，，求的最小值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点定义第次操作为：经过上点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止否则一直继续下去．
求的方程
若为的左顶点，经过次操作后停止，求的值
若，是在第一象限与不重合的一点，证明：的面积为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关，
则，
所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．
利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，
则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人．
老师甲从这人中随机选取人，
记“至少有人参加跳绳比赛”为事件，
则，
所以至少有人参加跳绳比赛的概率是．
16.解：在中，，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
所以，
所以，
所以．
由，，所以，，
所以．
由正弦定理可得，，所以，
所以，解得，所以．
又由，得，
由，即，
所以，
解得．
17.证明：在直三棱柱中，，，
又因为，
所以，
所以，
所以三棱柱为正三棱柱．
证明：取，的中点，，连接，，则．
因为，平面，
所以平面．
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，，
则，，，，，，
所以，，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，
所以，即，
解：因为平面，平面，又因为，，
所以不妨取平面的法向量，
因为直线与平面的距离为，所以点到平面的距离为，
因为，
所以点到平面的距离，
所以．
所以正三角形的外接圆半径，
所以正三棱柱的外接球的半径，
所以三棱柱外接球的表面积为．
18.解：由已知得，有三个根，
令，得或，
所以有两个不同的解，所以．
令，得或令，得，
所以当时，在和上单调递增
在上单调递减．
令，得．
令，
因为，
所以为奇函数．
因为，所以是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在有且仅有一个零点．
在上单调递增，．
当，即时，，所以在上单调递增，
由，得在上无零点，不合题意，舍去．
当，即时，，
所以存在，使得．
当时，，所以在上递减
当时，，所以在上递增．
当时，，且．
当时，，
令，解得，所以，
所以在上存在唯一的零点．
综上．
设，，且，，，
因为点异于，，，所以，．
由，，得解得，．
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
19.解：由条件得，，，解得，，
所以椭圆的方程为．
设，则直线的方程为，
与的方程联立，消去得，．
因为，
所以．
因为是它的一根，
所以，，
即，
若，经过次操作后停止，即为．
将代入式得，，
因为，关于原点对称，，
所以与关于原点对称，
因为与关于轴对称，与关于轴对称，
所以与关于原点对称．
所以，解得．
综上，当时，．
当时，由式得，
类似可得，所以与关于原点对称．
如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合，
所以是以为周期的周期点列，
所以的面积等于的面积．
因为直线的方程为，，
点到直线的距离，
所以．
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