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江苏省无锡市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,4,6}， = { |( 2)( 6) = 0}，则 ∩ =( )
A. B. {2} C. {6} D. {2,6}
2.命题“ ∈ ， 2 + + 2 > 0”的否定是( )
A. 不存在 ∈ ， 2 + + 2 < 0 B. ∈ ， 2 + + 2 ≤ 0
C. ∈ ， 2 + + 2 ≥ 0 D. ∈ ， 2 + + 2 ≤ 0

3.“ = ”是 = cos( + )为奇函数的( )
2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
22
4.若 = sin ， = 0.5， = log20.2，则 、 、 的大小关系为( ) 5
A. > > B. > > C. > > D. > >

5.函数 = cos (2 + )的图象经过怎样的平移可得到函数 = cos2 的图象( )
4

A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度
4 4

C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度
8 8
1
6.函数 ( ) = 2 1的零点个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5 1
7.已知角 ， 满足 = ，cos( + ) = ，则cos( + 2 )的值为( )
12 3
1 1 1 1
A. B. C. D.
12 6 4 2
8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形
的三条边长分别为 、 、 ，则三角形的面积 可由公式 = √ ( )( )( )求得，其中 为三角形
周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 = 6， + = 10，则此
三角形面积的最大值为( )
A. 6 B. 12 C. 4√ 7 D. 4√ 11
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， ， ∈ ，且 > ，则下列不等式成立的是( )
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1 1
A. 2 > 2 B. 2 < 2 C. > D.
<


10.下列关于函数 = sin(2 + ) + 1的说法正确的是( )
3
5
A. 在区间[ , ]上单调递增 B. 最小正周期是
12 12
5
C. 图象关于点( , 0)成中心对称 D. 图象关于直线 = 对称
3 12
1
11.已知实数 1， 2为函数 ( ) = ( )
|log2( 1)|的两个零点，则下列结论正确的是( ) 2
A. ( 1 2)( 2 2) ∈ ( ∞, 0) B. ( 1 1)( 2 1) ∈ (0,1)
C. ( 1 1)( 2 1) = 1 D. ( 1 1)( 2 1) ∈ (1, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 5
12.3 32 + 92 + lg + 2 2 = ．
2

13.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的图象如图所示，则
2
(0) = ______．
2 2+( +2) +2
14.已知函数 ( ) = 2 ( > 0)， ， ， > 0，以 ( )， ( )， ( )的值为边长可构成一个三角 + +1
形，则整数 的所有可能取值的和为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角 的终边经过点 ( 3,4)，

(1)求 值；
sin( ) cos( + )
2
(2)求sin2 + + 2 2 的值．
16.(本小题15分)
1
( ) 2, < 0
已知函数 ( ) = { 2 ．
2( + 1), ≥ 0
(1)求 [ ( 1)]；
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(2)解关于 的不等式 ( ) > 2；
(3)若存在 1， 2，使得 ( 1) = ( 2)，且 1 ≠ 2，求| 1 2|的最小值．
17.(本小题15分)
某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦
开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦
起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为 2，二月底测得该
水生植物的面积为24 2，三月底测得该水生植物的面积为40 2，该水生植物的面积 (单位： 2)与时间 (
单位月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的 = ( > 0, > 1)，另一个是同学乙提
1
出的 = 3 + ( > 0, > 0)，记2021年元旦最初测量时间的值为0．
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？
(参考数据：lg2 ≈ 0.3010，lg3 ≈ 0.4771)
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 2 ( ) ．
6 2
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)求函数 ( )在区间[0, ]上的单调递增区间；
(3)函数 ( )在区间[0, ]( > 0)上恰好有18个零点，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
+
已知函数 ( ) = 叫做双曲正弦函数，函数 ( ) = 叫做双曲余弦函数，其中 ≈ 2.71828 …是自
2 2
然对数的底数．
(1)类比等式 2 = cos2 sin2 ，请探究 (2 )与 ( )， ( )之间的等量关系，并给出证明过程；
17
(2)求函数 ( ) = (2 ) ( )的零点．
10
(3)解关于 的不等式： (2 ) + (2 ) 2 ( ) > 1( ∈ )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6
√ 3
13.【答案】
2
14.【答案】15
15.【答案】解：因为角 的终边经过点 ( 3,4)，
4 3
所以 = ， = ，
3 5
1 5
(1) = = = ；
sin( ) cos( + ) sin +sin 2 6
2
(2)sin2 + + 2 2
2 16 4sin + +2 2 tan2 + +2 +2 22
= 2 = =
9 3 = ．
sin +cos2 1+tan2 161+ 25
9
1
16.【答案】解：(1)因为 ( 1) = ( ) 1 2 = 0，
2
所以 [ ( 1)] = (0) = log21 = 0．
1
(2)当 < 0时， ( ) = ( ) 2 > 2，
2
即2 > 4，解得 < 2，
当 ≥ 0时， ( ) = log2( + 1) > 2 = log24，
所以 + 1 > 4，得 > 3，
故原不等式解集为( ∞, 2) ∪ (3, +∞)；
(3)设 ( 1) = ( 2) = ，
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由题意可知 ( )在( ∞, 0)上单调递减且 ( ) ∈ ( ∞, 1)，
在[0, +∞)上单调递增且 ( ) ∈ [0, +∞)，
所以 ≥ 0，
不妨设 1 < 0 < 2，
1
由( )
1 2 = , 1 = 1( + 2)2 ，
2
2( 2 + 1) = , 2 = 2
1；
所以| 1 2| = 2
1 + 2( + 2)( ≥ 0)，
易知 ( ) = 2 + log2( + 2) 1在[0, +∞)上单调调递增，
所以 ( ) = (0) = 1，
所以 ( ) ∈ [1, +∞)．
所以 ( )最小值为1．
17.【答案】解：(1)由三月底面积增量几乎是二月的一倍，
根据幂函数，指数函数，对数函数增长快慢的比较，选择 = ( > 0, > 1)比较合适，
5
2 =
由题意可得{24 = ，解得{ 33 ， 40 = 216 =
25
216 5
∴ = × ( ) ；
25 3
216 5
(2)由(1)可知 = × ( ) ，
25 3
216 216
令 = 0得， = ，即元旦开始研究探讨时该水生植物面积为 ，
25 25
216 5 216 5由 × ( ) > 10 × ，得( ) > 10，
25 3 25 3
解得 > 510，
3
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10 1 1 1
510 = 5 = = ≈ ≈ 4.5，
lg 5 3 1 2 3 1 0.3010 0.47713 3
故 ≥ 5，
所以池塘中该水生植物面积应该在5月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．
1
18.【答案】解： ( ) = 2 ( ) ．
6 2
√ 3 1 1
(1) ( ) = 2 ( + )
2 2 2
√ 3 1 2 1
= 2 +
2 2 2
√ 3 1
= 2 2 = sin(2 )，
2 2 6
2
所以 ( )的最小正周期 = = ．
2
11
(2)令 = ∈ [0, ]，则 ∈ [ , ]，
6 6
11 3 11
因为 = ， ∈ [ , ]的单调增区间是[ , ], [ , ]
6 6 6 2 2 6
3 11
由 ≤ 2 ≤ 选 ≤ 2 ≤ ，
6 6 2 2 6 6
5
得0 ≤ ≤ 或 ≤ ≤ ，
3 6
5
所以 ( )在[0, ]内的单调递增区间为[0, ], [ , ]；
3 6

(3)令 = 2 ∈ [ , 2 ]，
6 6 6

由题意得2 ∈ [17 , 18 ),
6
103 109
所以 ∈ [ , )．
12 12
19.【答案】解：(1)由条件类比得到 (2 ) = [ ( )]2 + [ ( )]2，
2 + 2
证明如下：因为 (2 ) = ，
2
2 2 2 2 2 2
[ ( )]2 + [ ( )]2
+ 2+ +2+ +
= ( )2 + ( )2 = + = ，
2 2 4 4 2
所以 (2 ) = [ ( )]2 + [ ( )]2，
2 + 2 (
2 2
+ ) 2 [2 ( )] 2
(2)因为 (2 ) = = = = 2[ ( )]2 1，
2 2 2
17
若函数 ( ) = (2 ) ( )的零点，
10
17
令 ( ) = 0，则2 2( ) 1 ( ) = 0，
10
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即20 2( ) 17 ( ) 10 = 0，
即[4 ( ) 5][5 ( ) + 2] = 0，
5 2
解得 ( ) = 或 ( ) = (舍)，
4 5
5所以 + = ，
2
1 5
即 + = ， 2
即2( )2 5 + 2 = 0，
1
解得 = 2或 = ，
2
所以 = ± 2，
即函数 ( )的零点为 2， 2；
2 2 +
(3)因为 (2 ) = = 2 × × = 2 ( ) ( )，
2 2 2
2 + 2 2 2+ 2
(2 ) 1 = 1 = = 2[ ( )]2
2 2
所以原不等式可化为 ( )(2 ( ) + 2 ( ) 2 ) > 0，
也即( 2 1)( ) > 0， ( 1)( ) > 0，
当 ≤ 0时，原不等式的解集为(0, +∞)；
当 = 1时，原不等式的解集为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，
当0 < < 1时，
令( 1)( )可得 = 0或 = < 0，
原不等式的解集为( ∞, ) ∪ (0, +∞)；
当 > 1时，
原不等式的解集为( ∞, 0) ∪ ( , +∞)；
综上所述不等式的解集是：
当 ≤ 0时，原不等式的解集为(0, +∞)；
当0 < ≤ 1时，原不等式的解集为( ∞, ) ∪ (0, +∞)；
当 > 1时，原不等式的解集为( ∞, 0) ∪ ( , +∞)．
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