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湖南省郴州市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2}， = { ∈ | 2 < < 2}，则 ∪ ( )
A. { 1,0,1,2} B. {0,1,2} C. {1,2} D. {1}
2.已知实数 ， 满足1 < < 3， 1 < < 2，则2 的取值范围是( )
A. (0,4) B. (3,4) C. (3,7) D. (0,7)
3.已知 ∈ ，则 ∈ 是 ∈ 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 2 1
4.已知 = ( ) 3， = 85， = ln2，则 ， ， 的大小关系是( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.函数 = |lg( + 1)|的单调递增区间是( )
A. ( 1,0] B. [1, +∞) C. ( 1, +∞) D. [0, +∞)
1
6.已知sin( ) = ，则sin2 =( )
4 3
7 7 √ 7 √ 7
A. B. C. D.
9 9 3 3
2.已知函数 ( ) = { + 2 3 07 ，方程 ( ) = 恰有三个不同的实数解，则 可能的值是( )
2 + ln > 0
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

8.已知函数 ( )为 上的奇函数，且 ( ) + ( + 3) = 0，当 ∈ [0,1]时， ( ) = ，则 (2021) +
(2022)的值为( )
1 1
A. B. 0 C. D. 1

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2 B. 若 > > 0，则 2 > 2
1 1 +
C. 若 > > > 0，则 < D. 若 > > > 0，则 >
+
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“ > 0， 2 ≥ 1”的否定形式是“ ≤ 0， 2 < 1”
B. 函数 = 2log (3 ) + 1( > 0且 ≠ 1)的图象过定点(2,1)
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1 1C. 方程( ) = 2的根所在区间为( 1, )
2 2
D. 若命题“ ∈ ， 2 + 2 + + 2 ≥ 0恒成立”为假命题，则“ < 1或 > 2”
11.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, ∈ (0, ))的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )

A. =
3

B. =
3
17 23
C. 若 ( )在(0, )上恰好有三个零点，则 < ≤
2 2
D. (1) + (2) + (3) + + (2025) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 ( ) = (3 2 1) 为偶函数，则 = ．
3
13.将函数 ( ) = sin(2 + )的图象向左平移 ( > 0)个单位后，得到函数 = sin(2 + )的图象，则 的
3 4
最小值为 ．
14.已知函数 ( ) = ln( + √ 2 + 1) + 2，且 ( ) + ( + 1) > 4，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}， = { | 2 ≤ 4}．
(1)若 ，求实数 的取值范围;
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知 ( ) = 2cos2 + 2√ 3sin cos + 1．
(1)求 ( )的最小正周期与单调递增区间;
4 3
(2)已知 ( ) = √ 3， ∈ ( , )，角 的终边与单位圆交于点 ( , )，求cos( + ).
2 2 5 5
17.(本小题15分)
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某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业。老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果。经调研发现
2 2 + 18 0 3
该果树的单株产量 ( )(单位：千克)与施肥量 (单位：千克)满足函数关系： ( ) = { ，
39 3 < 8
+1
且单株果树的肥料成本投入为20 元，其他成本(如树苗费、人工费等)100 + 60 元.已知单株施肥量为7千克
时，产量为48.5千克，这种水果的市场售价为20元/千克，且都能卖完，记该果树的单株利润为 ( )(单位：
元)．
(1)求 的值及函数 ( )的解析式;
(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大 最大利润是多少
18.(本小题17分)
已知 ( ) = log2(4
+ 1) + 为偶函数．
(1)求 ;
(2)设 ( ) = 2 + 2 1，对 1 ∈ [1,3]， 2 ∈ [0,2]，都有 ( 1) ≤ ( 2) + 2成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
若函数 = ( )对定义域内的每一个值 1，在其定义域内都存在唯一的 2，使得 ( 1) ( 2) = 1成立，则称
该函数是“依赖函数”。
(1)判断 ( ) = 2 + 是否是“依赖函数”，并说明理由;

(2)若 ( ) = tan( + )( > 0)在定义域[0, ]上是“依赖函数”，求 的值;
6 3
1
(3)已知函数 ( ) = ( )2( ≤ 2)在定义域[ , 2]上是“依赖函数”，记 ( ) = ( ) ( + 1) + ，若
2
( ) < 0的解集中恰有两个整数，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】
3
5
13.【答案】
24
1
14.【答案】 >
2
15.【答案】解：(1) = { | 2 ≤ 4} = { | 2 2}．
因为 ，
当 = ，则 1 > 2 + 1，即 < 2，符合题意；
1 2 + 1
1
当 ≠ ，则{ 1 2 ，解得： 1 ．
2
2 + 1 2
1
即实数 的取值范围是( ∞, 2) ∪ [ 1, ]．
2
(2)若 ∩ = ，
当 = ，则 1 > 2 + 1，即 < 2，符合题意；
1 2 + 1 3
当 ≠ ，则{ ，解得： 2 < 或 > 3．
2 + 1 < 2 或 1 > 2 2
3
即实数 的取值范围是( ∞, ) ∪ (3, +∞)．
2
16.【答案】解： ，
2
所以 ( )的最小正周期为 = = ，
2
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令 ，
所以 ，
所以 ，
所以单调递增区间为 ， ∈ ；

(2)因为 ( ) = √ 3，所以 ，
2
5
因为 ∈ ( , )2 ，所以 = ， 6
所以 √ 3
1
cos = ，sin = ，
2 2
4 3
因为角 的终边与单位圆交于点 ( , )，
5 5
4 3
所以cos = ，sin = ，
5 5
√ 3 4 1 3 4√ 3 3
所以cos( + ) = ( ) × ( ) × = ．
2 5 2 5 10
7
17.【答案】解：(1) ∵ (7) = 48.5，∴ 39 = 48.5，∴ = 100，
8
∴ ( ) = 20 ( ) 20 (100 + 60 )
40 2 80 + 260,0 3
= {2000 ；
80 880,3 < 8
+1
(2)当0 3时， ( ) = 40( 1)2 + 220，
∴当 = 3时， ( )max = 380；
2000
当3 < 8时， ( ) = 80 880
+1
25
= 1200 80( + 1 + )
+ 1
25
1200 80 × 2√ ( + 1) · = 400，
+1
25
当且仅当 + 1 = ，即 = 4时，等号成立，
+1
∴ 3 < 8时， ( )max = 400，
∵ 380 < 400，
∴ = 4时， ( )max = 400，
∴当单株施肥量为4千克时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是400元．
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18.【答案】解：(1)由题意得函数 ( )的定义域为 ，
∵ ( )为偶函数，∴ ( ) = ( )，
即log (4 2 + 1) = log

2(4 + 1) + 对任意 ∈ 恒成立，
∴ 2( + 1) = 0对任意 ∈ 恒成立，∴ = 1．
(2)由(1)得 ( ) = log (4 + 1) = log (2 2 2 + 2 )，
∵函数 = 2 + 2 在[0,+∞)上是增函数，∴ ( )在[0, +∞)上是增函数，
∴ ( )在[0,2]上的最小值为 (0) = log22 = 1，
∴对 1 ∈ [1,3]， 2 ∈ [0,2]，要使 ( 1) ≤ ( 2)恒成立，
只需 ( ) ≤ 1在[1,3]上恒成立，
由题意得 ( ) = 2 + 2 1，对称轴为 = ，
3
∴当 ≤ 1时， ( )在[1,3]上单调递减， ( )max = (1) = 2 2 ≤ 1，解得 ≤ ，所以 1; 2
当 ≥ 3时， ( )在[1,3]上单调递增， ( )max = (3) = 6 10 ≤ 1，无解．
当1 < < 3时， ( ) 2 2 2max = ( ) = 1，由 1 ≤ 1，即 ≤ 2，解得 √ 2 ≤ ≤ √ 2，所以1 < ≤ √ 2．
综上 的取值范围为( ∞, √ 2].
19.【答案】(1)当 1 = 0时，则 ( 1) = 0，
故不存在 2使得 ( 1) ( 2) = 1成立，
故 ( ) = 2 + 不是“依赖函数”.

(2)若 ( ) = tan( + )( > 0)在定义域[0, ]上是“依赖函数”，
6 3
1 3
则函数 ( )在[0, ]上单调递增，且 · > ，得 <
3 2 3 2

则 (0) ( ) = 1，
3

得tan · tan( + ) = 1，
6 3 6
得tan (

+ ) = √ 3，
3 6
3 1
因为 < ，所以 = ．
2 2
1
(3)函数 ( ) = ( )2( ≤ 2)在定义域[ , 2]上是“依赖函数”，
2
1 1
则 ( ) (2) = 1，且 ，
2 2
2
(1得 ) · (2 )2 = 1，
2
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1 1
因为 ，所以( ) · (2 ) = 1，
2 2
( 5得 ) = 0，
2
得 = 0，
则 ( ) = 2 ( + 1) + ，
由 2 ( + 1) + < 0，得( 1)( ) < 0，
若 ( ) < 0的解集中恰有两个整数，
当 = 1时，不合题意，
当 > 1时， ( ) < 0的解集为(1, )，则3 < 4，
当 < 1时， ( ) < 0的解集为( , 1)，则 2 < 1，
故实数 的取值范围为：[ 2, 1) ∪ (3,4]．
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