资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年数学寒假知识巩固练习题第11章三角形角平分线模型练习题
一．双内角平分线
1．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M、N且MN∥BC，已知AB+AC＝15，则△AMN的周长为 　 　．
2．如图，是小华用数学软件GeoGebra画的图形．其画图过程是：①用线段工具画△ABC，②用角平分线工具画∠ABC的平分线i，画∠ACB的平分线j，③用交点工具画直线i，j的交点D，④用度量工具测得∠BDC＝125°．回答问题：若测量∠A的度数会是多少？请说明理由．
3．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
4．一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）
（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝　 　°．
（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．
二．一内角平分线一外角平分线
5．【基本模型】
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P∠A．
【变式应用】
（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．
三．角平分线拓展延伸
6．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．
【定理证明】
已知：△ABC如图①，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB＝180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB＝180°，所以∠ACD＝　 　，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝80°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝　 　．
（2）若∠A＝80°，则∠DBC+∠ECB＝　 　．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝80°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝　 　．
（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑤，若BM∥CN，则∠A和∠P的关系为 　 　．
（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑥，求出∠A，∠O和∠P的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．填空题（共1小题）
1．解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴MO＝MB，
同理ON＝NC，
∴OM+ON＝MB+NC，
∴MN＝MB+NC，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC＝15．
答案为：15．
二．解答题（共5小题）
2．解：测量∠A的度数会70°，理由如下：
∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠BCD∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A），
∵180°﹣∠BDC（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°∠A，
∵∠BDC＝125°，
∴∠A＝70°．
3．解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，
所以∠BAD∠BAC，
∠ABI∠ABC，
∠HCI∠ACB．
所以∠BAD+∠ABI+∠HCI
∠BAC∠ABC∠ACB
（∠BAC+∠ABC+∠ACB）
180°
＝90°．
所以∠BAD+∠ABI＝90°﹣∠HCI．
又因为∠BAD+∠ABI＝∠BID，90°﹣∠HCI＝∠CIH，
2（∠BAD+∠ABI+∠HCI）＝180°，
∠BAD+∠ABI+∠HCI＝90°，
所以∠BID＝∠CIH．
所以∠BID和∠CIH是相等的关系．
4．解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE（180°﹣∠1），∠AED（180°﹣∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴45°（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝90°；
答案为：90；
（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣∠A）
＝90°∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°∠A）
＝90°∠A
＝90°54°
＝117°．
5．解：（1）如图1所示：
∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴∠ACP，∠2∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠ACP，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，
∴，
∠，
，
∴；
（2）∠P的大小不变，理由如下：
如图2所示：
∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，
∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，
又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，
∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，
∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，
∴；
（3）∠P＝22.5°或67.5°，分两种情况：
①如图3所示：
∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，
∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，
又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，
∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，
∴；
②如图4所示：
∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，
∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，
又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，
∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，
∴．
6．【定理证明】
证明：如图，过点A作MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+C＝180°．
【定理推论】
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝∠A+∠B．
答案为：∠A+∠B．
【初步运用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°，
∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣80°＝70°；
答案为：70°；
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝80°，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB＝180°+80°＝260°．
答案为：260°．
【拓展延伸】（1）如图，连接AP，
∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，
∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC，
∵∠BAP+∠CAP＝∠A＝80°，∠APB+∠APC＝∠P＝150°，
∴∠DBP+∠ECP＝∠A+∠P＝80°+150°＝230°．
答案为：230°．
（2）如图，过点P作PQ∥BM，则PQ∥CM，
由（1）知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，
∴（∠DBP+∠ECP）（∠A+∠BPC），
∵PQ∥BM∥CM，
∴∠MBP＝∠BPQ，∠NCP＝∠CPQ，
∴∠BPQ+∠CPQ＝∠BPC＝∠MBP+∠NCP，
∵BM、CN分别是∠DBP和∠ECP，
∴（∠DBP+∠ECP）＝∠MBP+∠NCP＝∠BPC，
∴∠BPC（∠A+∠BPC），
∴∠BPC＝∠A．
答案为：∠A＝∠P．
（3）∠A+2∠O＝∠P，理由如下：
由（1）知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，
∴（∠DBP+∠ECP）（∠A+∠BPC），
∵OB、OC分别为∠DBP和∠ECP的角平分线，
∴∠OBP+∠OCP（∠DBP+∠ECP），
∴∠OBP+∠OCP（∠A+∠BPC），
∵∠OBP+∠OCP+（∠360°﹣∠BPC）+∠O＝360°，
∴（∠A+∠BPC）﹣∠BPC+∠O＝0，
∴∠A+2∠O＝∠BPC，
即∠A+2∠O＝∠P．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑