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3线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质与判定
线段垂直平分线的性质
1.(2024张家口桥西区期末)如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,若EC=
7 cm,则ED的长为 (　　)
A.4 cm B.5 cm C.7 cm D.2.5 cm
2.如图,DE是△ABC的边BC的垂直平分线,分别交边AB,BC于点D,E,且AB=9,AC=6,则△ACD的周长是(　　)
A.10.5 B.12 C.15 D.18
3.(教材变式)如图,AD垂直平分BC于点D,点E在AC上,EF垂直平分AB于点F,BE+CE=20 cm,则AB=　　　　 cm.
4.如图,在△ABC中,AD是BC的垂直平分线,垂足为D,延长BC至点E,使得CE=CA.连接AE.
(1)求证:∠B=∠ACB.
(2)若AB=5, AD=4,求△ABE的周长和面积.
线段垂直平分线的判定
5.如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在 (　　)
A.AC的垂直平分线上 B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点处 D.AB的垂直平分线上
6.如图,AC=BC,AD=BD,可以判断　　　是　　　　的垂直平分线.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E.
求证:BE垂直平分CD.
1.如图,直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l外,且与点A在直线l的同一侧,P是直线l上的任意点,连接AP,BC,CP,则BC与AP+PC的大小关系是(　　)
A.BC>AP+PC B.BCC.BC≥AP+PC D.BC≤AP+PC
2.如图,∠BAC=105°,AB=AC.若MP和NQ分别垂直平分边AB和AC,则∠PAQ的度数是 (　　)
A.10° B.20° C.30° D. 45°
3.(易错题)已知C,D两点在线段AB的垂直平分线上,且∠ACB=50°,∠ADB=86°,则∠CAD的度数是　　　　.
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是　　　　.
5.如图,在四边形ABCD中,AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P,且PA=PD.
求证:点P一定在BC的垂直平分线上.
6.(2024沈阳期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,点P在AC上运动,点D在AB上,PD始终保持与PA相等,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.
(1)判断DE与DP的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE的长.
7.(几何直观)如图,在△ABC中,AB=AC,边AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M.
(1)若∠A=40°,则∠NMB=　　　　.
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其他条件不变,则∠NMB=　　　　.
(3)通过对(1)中和(2)中结果的分析,猜想∠NMB的度数与∠A的度数有怎样的数量关系 并证明你的结论.
【详解答案】
课堂达标
1.C　2.C　3.20
4.解:(1)证明:∵AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,BD=CD.
∴∠B=∠ACB.
(2)在Rt△ADB中,BD==3,
∴BD=CD=3,AC=AB=CE=5.
∴BE=2BD+CE=11,DE=CD+CE=8.
在Rt△ADE中,AE==4,
∴C△ABE=AB+BE+AE=5+11+4=16+4,
S△ABE=×BE×AD=×11×4=22.
5.A　6.直线CD　线段AB
7.证明:∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,BD=BC,BE=BE,
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).
∴ED=EC.
∵ED=EC,BD=BC,
∴BE垂直平分CD.
课后提升
1.D　解析:如图,连接BP,∵直线l是线段AB的垂直平分线,∴AP=BP.∴AP+PC=BP+PC,当点P在BC与l的交点处时,AP+PC=CB;当点P不在BC与l的交点处时,AP+PC=BP+PC>BC,∴BC≤AP+PC.故选D.
2.C　解析:∵AB=AC,∠BAC=105°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°.∵MP,NQ分别垂直平分边AB,AC,
∴AP=BP.AQ=CQ.∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C.∴∠BAP+∠CAQ=75°.∴∠PAQ=
∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=30°.故选C.
3.18°或112°　解析:如图,∵C,D两点在线段AB的垂直平分线上,∴CA=CB,DA=DB.又∵CD=CD,∴△ACD≌
△BCD(SSS).∴∠ACO=∠ACB=×50°=25°,∠ADO=∠ADB=×86°=43°.当点C与点D在线段AB两侧时,
∠CAD=180°-∠ACO-∠ADO=180°-25°-43°=112°;当点C与点D'在线段AB同侧时,∠CAD'=∠AD'O-∠ACO=
43°-25°=18°.故∠CAD的度数是18°或112°.
4.4　解析:∵∠B=∠ADB,AB=4,∴AD=AB=4.∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC.∴DC=4.
5.证明:如图,连接PB,PC.
∵点P是AB,CD的垂直平分线的交点,
∴PA=PB,PC=PD.
又∵PA=PD,∴PB=PC.
∴点P一定在BC的垂直平分线上.
6.解:(1)DE⊥DP.理由如下:
∵PD=PA,∴∠A=∠PDA.
∵EF是BD的垂直平分线,
∴EB=ED.∴∠B=∠EDB.
∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.
∴∠PDA+∠EDB=90°.
∴∠PDE=180°-90°=90°.∴DE⊥DP.
(2)如图,连接PE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8-x.
∵∠C=∠PDE=90°,
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2.
∴(6-2)2+(8-x)2=22+x2.
解得x=4.75,∴DE=4.75.
7.解:(1)20°　(2)35°
(3)∠NMB=∠A.证明如下:
设∠A=α.∵AB=AC,MN垂直平分边AB,
∴∠B=∠ACB,∠BNM=90°.
又∵∠A=α,∴∠B=(180°-∠A)=(180°-α).
∴∠NMB=90°-∠B=90°-(180°-α)=α,即∠NMB=∠A.第2课时　三角形三边的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线的性质
1.如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
2.如图,在△ABC中,O是边BC,AC的垂直平分线的交点.若AB=8, OB=5,则△AOB的周长是(　　)
A.13 B.15 C.18 D.21
3.如图,∠A=80°, O是边AB,AC的垂直平分线的交点,则∠BCO的度数是 (　　)
A.40° B.30° C.20° D.10°
4.如图,△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,若△AEG的周长为8,求BC的长.
借助尺规作等腰三角形或已知直线的垂线
5.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,分别以A,B两点为圆心,以大于AB的长为半径画圆弧,两弧分别交于点E,F,直线EF与AC相交于点D,则∠A的度数是 (　　)
A.50° B.60° C.75° D.45°
6.(尺规作图)尺规作图要求:
a.过直线外一点作这条直线的垂线;
b.作线段的垂直平分线;
c.过直线上一点作这条直线的垂线;
d.作角的平分线.
① ② ③ ④
其中与a,b,c,d四个作图要求依次对应的图形是　　　　.(填序号)
7.如图,已知线段a,b,求作:以a为腰,b为底的等腰三角形.(只写作法)
1.如图,已知在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P,连接PA,PB,PC.则下列结论一定成立的有 (　　)
①PA=PB=PC;②点P在边AC的垂直平分线上;③∠BAP=∠CAP.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.(易错题)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是点A(-3,0)、点B(-1,2)、点C(3,2),则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是 (　　)
A.(0,-1) B.(0,0)
C.(1,-1) D.(1,-2)
3.如图,在△ABC中,∠B=15°,∠C=30°,MN是边AB的垂直平分线,PQ是边AC的垂直平分线,已知BC的长为6+2,则阴影部分的面积为 (　　)
A.4 B.2 C. D.6
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若O是AC的中点,则CD的长为　　　　.
5.某公司准备为三个村庄A,B,C(其位置如图)修建一口水井,要求水井到三个村庄的距离相等,水井应该修在什么地方呢,你能找到吗 (写出作法,并保留作图痕迹)
6.用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的垂线.作法如下:
①在直线l上任取两点A,B;
②以点A为圆心,AP的长为半径画弧,以点B为圆心,BP的长为半径画弧,两弧相交于Q(异于点P),如图所示;
③作直线PQ,则直线PQ就是直线l的垂线.
请你对这种作法加以证明.
7.(几何直观)在△ABC中,DE垂直平分边AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分边AC,分别交AC,BC于点M,N,连接AE,AN.
(1)如图1,若∠BAC=100°,求∠EAN的度数.
(2)如图2,若∠BAC=70°,求∠EAN的度数.
(3)若∠BAC=α(α≠90°),请直接写出∠EAN的度数(用含α的代数式表示).
图1 图2
【详解答案】
课堂达标
1.C　2.C　3.D
4.解:∵△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,
∴AE=BE,AG=CG.
∵△AEG的周长为8,
∴BC=BE+EG+CG=AE+EG+AG=8.
5.A　6.②③④①
7.解:作法:(1)作线段AB=b.
(2)分别以点A,B为圆心,以a为半径作弧.
(3)两弧在AB同侧交于点C.
(4)连接AC,BC,则△ABC为所求作的三角形.
课后提升
1.B　解析:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等,故①②一定成立,③不一定成立.故选B.
2.D　解析:如图,∵点P到△ABC三个顶点的距离相等,∴点P是线段BC,AB的垂直平分线的交点,由图可知,点P的坐标为(1,-2).故选D.
3.B　解析:∵∠B=15°,∠C=30°,∴∠BAC=180°-15°-30°=135°.∵MN是边AB的垂直平分线,PQ是边AC的垂直平分线,∴NA=NB,QA=QC.∴∠NAB=∠B=15°,∠QAC=∠C=30°.∴∠NAQ=135°-15°-30°=90°,∠ANQ=30°.
∴NQ=2AQ.∴AN==AQ.∵BC的长为6+2,∴BN+NQ+QC=6+2.∴AN+NQ+AQ=AQ+2AQ+
AQ=6+2.∴AQ=2.∴AN=AQ=2.∴阴影部分的面积为×2×2=2.故选B.
4.2　解析:如图,连接FC,由题意得:点E在线段AC的垂直平分线上.∵点O是AC的中点,∴OF是线段AC的垂直平分线,则AF=FC.∵AD∥BC,∴∠FAO=∠BCO.在△FOA与△BOC中,∠FAO=∠BCO.OA=OC,∠AOF=∠COB,∴△FOA≌△BOC(ASA),∴AF=BC=3.∴FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.在△FDC中,∵∠D=90°,∴CD2+
DF2=FC2.∴CD2+12=32.解得CD=2.
5.解:如图.作法:(1)连接AB,BC.
(2)分别作AB,BC的垂直平分线,交于点P.则点P就是水井的位置.
6.证明:如图,连接AP,AQ,PB,BQ.
由作图可知,PA=AQ,BP=BQ,
∴点A,B均在线段PQ的垂直平分线上.
∴直线AB垂直平分PQ.
∴直线PQ就是直线l的垂线.
7.解:(1)∵DE垂直平分边AB,∴AE=BE.
∴∠BAE=∠B.
同理可得∠CAN=∠C.
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=∠BAC-(∠B+∠C).
在△ABC中,∵∠BAC=100,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=80°.
∴∠EAN=100°-80°=20°.
(2)∵DE垂直平分边AB,∴AE=BE.
∴∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C.
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.
在△ABC中,∵∠BAC=70°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=110°.
∴∠EAN=110°-70°=40°.
(3)当0°<α<90°时,∠EAN=180°-2α;
当90°<α<180°时,∠EAN=2α-180°.

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