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2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则与的关系是( )
A. B. C. D. 与的值有关
3.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若：：：：，则扇环的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，为正实数且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长弦与弧之和为( )
A.
B.
C.
D.
8.函数的部分图象如图所示，若，且，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，不正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.下列命题是真命题的有( )
A. 函数的值域为
B. 的定义域为
C. 函数的零点所在的区间是
D. 对于命题：，使得，则：，均有
11.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为______．
14.已知函数，且，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的最大值为．
求常数的值；
求函数的单调递减区间；
求使成立的的取值集合．
17.本小题分
某地区上年度电价为元，年用电量为，本年度计划将电价下降到元至元之间，而用户期望电价为元经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为该地区的电力成本价为元．
Ⅰ下调后的实际电价为单位：元，写出新增用电量关于的函数解析式；
Ⅱ写出本年度电价下调后电力部门的收益单位：元关于实际电价单位：元的函数解析式；注：收益实际电量实际电价成本价
Ⅲ设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求和的值；
判断在上的单调性，并用定义证明；
设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“速增函数”．
试判断函数与是否是“速增函数”；
若函数为“速增函数”，求的取值范围；
若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有．
参考答案
1.
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14.
15.解：当时，集合，
则；
由已知可得集合，
当时，只需，
即实数的范围为；
由题意可得，又，
则只需，即实数的范围为．
16.解：由题意：函数，
化简得：
，
的最大值为，
，解得：．
由可知．
根据三角函数的性质可得：．
即，
解得：，，
的单调递减区间为；
由题意：，即，
可得：．
，．
解得：，．
成立的的取值范围是，．
17.解：Ⅰ下调后的电价为元，
依题意知用电量关于的函数表达式为，；
Ⅱ电力部门的收益为；
Ⅲ依题意有，整理得，
解此不等式组得．
所以当电价最低定为元，可保证电力部门的收益比上年至少增长．
18.解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以满足，
解得，
所以，
又，可得，
解得，
经检验，满足题意，
所以，；
，在上单调递增，证明如下：
设任意，，且，
则
，
由，可得，
又，，，
则，
即，
则，
则在上单调递增；
对任意的，由在上单调递增，
可得，即，
则在上的值域为，
的对称轴为，开口向上，
当时，在上为增函数，
值域为，
由题意可得，
则，解得，
综上，实数的取值范围为．
19.解：对于函数，当，时，，，
又，故，
函数是“速增函数”；
对于函数，当，时，，，
又，即，
函数不是“速增函数”；
由题意可得，，即对一切正数都成立，
又，可得对一切正数都成立，，
由可得，
又，故，
，即，
综上，实数的取值范围为；
证明：由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，，都有，，且，
令，可知，，即，
故对于正整数与正数，都有，
对任意，可得，又，
，
同理，，
．
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