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浙江省杭州市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 1}， = { || | < 2}，则 ∪ =( )
A. { | 3 < < 2} B. { 2, 1,0,1} C. { | 2 < < 1} D. { 1,0}
2 2
2.已知椭圆 : + = 1，则椭圆 的焦距为( )
25 16
A. 2√ 41 B. 10 C. 3 D. 6
3.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4.“ = 3”是“直线2 + ( + 1) 2 = 0与直线 + 3 2 = 0平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3
5.已知cos( ) = ，则sin(2 + ) =( )
12 4 3
7 1 1 7
A. B. C. D.
16 8 8 16
2
6.在平行六面体 1 1 1 1中， = 1， 1 = 3， 1 = √ 21，∠ 1 = ∠ 1 = ，∠ = ，3 3
则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2√ 3 2
7.在平面直角坐标系中，点 (4,6)，直线 : + + 1 = 0，圆 : ( 1)2 + ( 1)2 = 1，点 为直线 上一点，
点 为圆 上一点，则| | + | |的最小值为( )
A. √ 7 1 B. √ 7 C. 9 D. 10
2 2
8.设 是双曲线 : 2 2 = 1( , > 0)的右焦点， 为坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，
1
若△ 的内切圆的半径 = ，则双曲线 的离心率为( )
4
5 4 5 3
A. B. C. D.
3 3 4 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点 (1,1,0)， (1,0,2)， (2, 1,5)， (1, 2,4)，则下列结论正确的是( )
A. = (0, 1,2) B. ， ， 三点共线
7 7
C. ⊥ D. 在 上的投影向量为(0, , )
2 2
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10.已知圆 1:
2 + 2 2 4 = 0，圆 2 22: + + + = 0，则下列说法正确的是( )
A. 圆 1， 2恒有公共点
B. 圆 1， 2至多有三条公切线
C. 若圆 2平分圆 1的周长，则 + 2 = 10
D. 若圆 2平分圆 1的周长，则
2 的最小值为9
2 2 √ 3
11.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 (0,1)，离心率为 ， ， 为 2
上关于原点对称的两点(与 的顶点不重合)，则下列说法正确的是( )
2 1 9
A. 椭圆 的方程为 + 2 = 1 B. + ≥ 5
4 | 1| | 1|
1
C. 直线 与 的斜率乘积为 D. △
4 2
的面积随周长变大而变大
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线2√ 3 + 2 + 3 = 0的倾斜角为
13.在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ⊥平面 .若 = ，则直线 与平面
所成的角的大小为
14.设 ( 1, 1)， ( 2, 2)是平面直角坐标系 上的两点， 为坐标原点，定义点 到点 的一种折线距离
2
( , ) = | 1 2| + | 1 2|.已知 (0,2)， 是曲线
2 = 1( > 0)上一点，则 ( , )的最小值
2
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)

在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 sin = cos( ).
6
(1)求角 的大小;
2√ 3
(2)若 = 2 ，△ 的面积为 ，求△ 的周长．
3
16.(本小题12分)
已知定义在 上的函数 ( ) = 2 + 2 是偶函数．
(1)求 的值;
(2)当 ∈ [ 1,1]时，函数 ( ) = (2 ) ( )的最小值为 2，求 的值．
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17.(本小题12分)

在三棱锥 中， ⊥平面 ， = 2， = 4，∠ = ．
6
(1)求证：平面 ⊥平面 ;
√ 6
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的长度．
4
18.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的准线方程为 = 1，直线 : = + 3交抛物线 于 ， 两点．
(1)求抛物线 的方程;
(2)若| | = 4√ 15，求 的值;
(3)若抛物线 上存在两点 ， 关于直线 对称，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之
积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知两
定点 1( 1,0)， 2(1,0)，动点 ( , )满足| 1| | 2| = 3，动点 的轨迹为曲线 ，直线 = + 与曲线
相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 的斜率为 0．
(1)求曲线 的方程;
(2)求| |的取值范围;
3 1
(3)求证： < < ．
5 0 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】
3

13.【答案】
6
14.【答案】3

15.【答案】解：(1)由正弦定理 = 得 sin = sin ，
sin sin

所以 sin = cos( )，
6
√ 3 1
所以sin = cos( ) = cos + sin ，
6 2 2
整理得sin = √ 3cos ，
因为 ∈ (0, )，所以sin > 0，因此cos > 0，
sin
所以tan = = √ 3，所以 = ;
cos 3
2√ 3
(2)由△ 的面积为 ，
3
1 2√ 3 8
得 sin = ，解得 = ，
2 3 3
2 4
又 = 2 ，则 = √ 3， = √ 3，
3 3
由余弦定理得 2 2
16 4 8
= + 2 2 cos = + = 4，
3 3 3
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解得 = 2， + = 2√ 3，
所以△ 的周长为2√ 3 + 2．
16.【答案】解：
(1) ∵ ( ) = 2 + 2 是偶函数，∴ ( ) = ( )，
即2 + 2 = 2 + 2 ，即( 1)(2 2 ) = 0，∴ = 1；
(2)由(1)可知， ( ) = 2 + 2 ，
∴ ( ) = 22 + 2 2 (2 + 2 ) = (2 + 2 )2 (2 + 2 ) 2，
令 = 2 + 2
5
，由 1 ≤ ≤ 1，可得 ∈ [2, ]，
2
5
∴上述函数转化为 = 2 2( ∈ [2, ])，
2
5
当 ≤ 4时， = 2 2在[ 2, ]上单调递增，
2
当 = 2时， min = 2 2 = 2，∴ = 2 ≤ 4， = 2满足题意；
5
当 ≥ 5时， = 2 2在[2, ]上单调递减，
2
5 17 10 5
当 = 时， min = = 2，∴ = < 5不合题意； 2 4 2
5
当4 < < 5时， = 2 2在[2, ]上单调递减，在( , ]上单调递增，
2 2 2
2

当 = 时， min = 2 = 2，∴ = 0，显然不合题意， 2 4
综上所述： = 2．
17.【答案】【解答】

(1)证明：∵在△ 中， = 2， = 4，∠ = ，
6

∴ =
sin∠ sin ，可得sin∠ = 1，∴ ∠ = ，∴ ⊥ ，
6 2
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，∵ ∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；
(2)解：以 ， 所在的直线为 ， 轴， 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
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∵ = 2， = 4，∴ (0,2,0)， (0,0,0)， (2√ 3, 0,0)，设 = ，则 (0,2, )，
∴ = (0,0, )， = (2√ 3, 2, )， = (2√ 3, 0,0)，
= 0
设平面 和平面 的法向量分别为 11 = ( 1, 1, 1)， 2 = ( 2, 2, 2)，则{ 即
1 = 0
1 = 0
{ ，令 = 1，可得 = (1,√ 3, 0)，
2√ 3 1 2 1 = 0
1 1
1
2 = 0 2√ 3 同理{ 即{ 2
= 0
，令 2 = ，可得 2 = (0, , 2)，
2 = 0 2√ 3 2 2 2 2 = 0
| 1 | √ 3 √ 6显然二面角 的平面角为锐角，记为 ，∴ cos = 2 = = ，即 2 = 4，
| 1 || 2 | 2√ 2+4 4
∴ = 2或 = 2(舍去)，故 = 2．

18.【答案】解：(1)由题意 = = 1，∴ = 2，抛物线 的方程为 2 = 4 ；
2
2 = 4
(2)由题意：{ ，
= + 3
整理得 2 4 12 = 0，△= 16 2 + 48 > 0， 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 12，
∴ | | = √ 1 + 2√ 16 2 + 48 = 4√ 15，整理可得 4 + 4 2 12 = 0，
∴ ( 2 + 6)( 2 2) = 0，∴ = ±√ 2；
2
2

(3)设 ( , )， ( , )， 若 = 0，则 : = 3，易得此时不合题意;
4 4
4 4
若 ≠ 0，由于 ， 关于直线 对称，故 = 2 = = ，可得 + = ，
2 +
4
2
∴ 中点的纵坐标为 ，

将其代入 = + 3中，可得 = 1，
2 2
+ 2
2
4 4 + 又 = = 1，化简可得 2 + 2 = 8，
2 8
2 + 2 = 8
∴ { 4，且 2 ≠ 2，
+ =

2 4 8化简可得 + + 2 4 = 0，要使得上述关于 的方程有实根，
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当 = 0时 = 不合题意，
16 8
则 = 2 4( 4) > 0，故
2 > 1，∴ > 1或 < 1．
2
19.【答案】解：(1)由题意√ ( 1)2 + 2 √ ( + 1)2 + 2 = 3，
整理可得( 2 + 2 + 1)2 4 2 = 9，
∴曲线 的方程为 2 + 2 + 1 = √ 4 2 + 9；
(2)| |2 = 2 + 2 = √ 4 2 + 9 1，
由曲线 的方程可知 2 = √ 4 2 + 9 2 1 ≥ 0，
∴ √ 4 2 + 9 ≥ 2 + 1，即 4 2 2 8 ≤ 0，
解得 2 ≤ 2 ≤ 4，∴ ∈ [ 2,2]，
∴ | |2 = 2 + 2 = √ 4 2 + 9 1 ∈ [2,4]，
∴ | |的取值范围为[√ 2, 2]；
(3)设 ( 1, 1)， ( 1, 1)， ( 0, 0)，
21 +
2
1 + 1 = √ 4
2
1 + 9由题意可知{ ,
2 2 22 + 2 + 1 = √ 4 2 + 9
则 2 2 2 2 2 22 + 2 ( 1 + 1 ) = √ 4 2 + 9 √ 4 1 + 9，
4( 2 2)
( 22
2
1 ) + (
2
2
2 2 1
1 ) = ，
√ 4 22+9+√ 4
2
1+9
由题意可知 1 ≠ ± 2，
2 2 4
∴ 1 + 2 1 = ，
22
2
1 √ 4 22+9+√ 4
2
1+9

2
+ 1 +
由题意 = 2 1， = 0 = 2 = 2 10 + ， 2 1 0 2 1 2+ 1
2
4
∴ 1 + 0 = ，
√ 4 22+9+√ 4
2
1+9
由(2)可知 1， 2 ∈ [ 2,2]，
则3 ≤ √ 4 21 + 9 ≤ 5，3 ≤ √ 4
2
2 + 9 ≤ 5，
2 4 2
∴ < < ，
5 3
√ 4 22+9+√ 4
2
1+9
2 2 3 1
∴ < 1 + 0 < ，∴ < < ． 5 3 5 0 3
第 7 页，共 7 页

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