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9.3 二元一次方程组与实际问题
第9章二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
列二元一次方程组解应用题的
一般过程
列方程组解应用题的常见题型
知识点
列二元一次方程组解应用题的一般过程
知1－讲
1
1. 基本思想方法
(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程，它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组。
(2) 所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
知1－讲
2. 列二元一次方程组解决实际问题的一般过程
实际问题
实际问题的解
二元一次方程组
二元一次方程组的解
设未知数
寻找等量关系
解
方
程
组
解
释
知1－讲
特别解读
1. 一般设几个未知数就列几个方程；
2. 在设未知数和写答案时，都要写清单位名称。
知1－练
例 1
某船的载重量为300 t，容积为1 200 m3，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 m3，乙种货物每吨体积为2 m3，要充分利用这艘船的载重量和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
知1－练
解题秘方：分析题目中的已知量和未知量，找准题目中的等量关系，列出方程组解决问题。
已知量：(1)甲种货物每吨体积为6 m3；(2)乙种货物每吨体积为2 m3；(3)船的载重量为300 t；(4)船的容积为1 200 m3。
未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨。若以x，y 分别表示甲、乙两种货物应装的吨数，则甲种货物的体积为6x m3，乙种货物的体积为2y m3。
知1－练
等量关系：“要充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的总体积等于船的容积”，即：
甲种货物质量+ 乙种货物质量= 船的载重量；
↓ ↓ ↓
x(t) y(t) 300(t)
甲种货物的体积+ 乙种货物的体积= 船的容积
↓ ↓ ↓
6x(m3) 2y(m3) 1 200(m3)
知1－练
解：设甲种货物应装x t，乙种货物应装y t。
由题意得 解得
所以，甲、乙两种货物应各装150 t。
x+y= 300 ，
6x+2y=1200 。
x= 150 ，
y= 150 。
知1－练
方法点拨
1. 列方程组解应用题的关键是找准题目中的等量关系，正确地列出方程组。
2. 找等量关系要注意以下几点：
(1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有“比”“是”“等于”等；
知1－练
(2)根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
(3)挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
(4)借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系。
知2－讲
知识点
列方程组解应用题的常见题型
2
根据在实际问题中等量关系的不同类型，归纳出应用题的几种常见题型： (1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；
(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；(6)百分比问题；(7)古代算术问题；(8)图形面积问题。
知2－讲
特别提醒
不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等。
知2－练
某中学七年级甲、乙两班共有93 人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27 人，已知甲班有的人、乙班有的人参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人。
例 2
解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系。
知2－练
解：设甲班有x 人，乙班有y 人。
根据题意，得 解得
所以，甲班有48 人，乙班有45 人。
x+y= 93 ，
x+ y= 27 。
x= 48 ，
y= 45 。
知2－练
方法点拨
设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等。
解和、差、倍、分问题的应用题时，要抓住题目中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义。
知2－练
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数。
例 3
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的数量关系列出方程组。
知2－练
解：设原三位数百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y。
由题意得 解得
因为4×100+39=439，所以，原三位数为439。
9x=y-3，
10y+x= 100x+y- 45 。
x=4，
y= 39 。
知2－练
方法点拨
解决这类问题的关键在于正确地用式子表示一个多位数：如一个三位数的表示方法，当它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c时，这个三位数可表示为100a+10b+c。
知2－练
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m 的某
种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 的这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
例 4
解题秘方：紧扣配套规则列方程组，如本题衣身与衣袖的比是1∶2。
知2－练
解：设用x m 的布料做衣身，用y m 的布料做衣袖才能使
做的衣身和衣袖恰好配套。根据题意，得
解得
所以，用60 m 的布料做衣身，用72 m 的布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。
x+y= 132 ，
x×2 = y。
x= 60 ，
y= 72 。
知2－练
技巧点拨
解决配套问题的技巧：
制作的物品由若干种部件组成，如果a件甲种部件和b件乙种部件配成一套，那么甲种部件的数量∶乙种部件的数量=a∶b，即b×甲种部件的数量=a×乙种部件的数量。
知2－练
某商场购进甲、乙两种商品后，将甲商品加价50%、乙商品加价40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售。某顾客购买甲、乙两种商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少。
例 5
解题秘方：紧扣销售问题中，每个量的意义及各个量之间的数量关系列出方程组，从而解决问题。
知2－练
解：设甲商品的进价为x 元/件，乙商品的进价为y 元/件。
根据题意，得
化简，得 解得
所以，甲商品的进价为250元/件，乙商品的进价为200元/件。
x+y+88= 538 ，
(1+50%)x×80%+(1+40%)y×85%= 538 。
x+y= 450 ，
1.2x+1.19y= 538 。
x= 250 ，
y= 200 。
知2－练
归纳总结
销售问题中的关系式：
利润=售价-进价，
售价=标价×折扣，
售价=进价+利润等。
知2－练
张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公
共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他。假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度。
例 6
解题秘方：分析相遇或追及问题中两者运动的路程与相隔路程之间的关系，列出方程组解决问题。
知2－练
解：设张明前进的速度是x m/min, 公共汽车的速度是y m/min。
根据题意，得 解得
所以，张明前进的速度是50 m/min，
公共汽车的速度是250 m/min。
4x+4y=1200 ，
6y-6x=1200 。
x= 50 ，
y= 250 。
知2－练
归纳总结
1. 在行程问题中，两者相遇时所行的路程之和等于他们之间最初的距离。
2. 在追及问题中，快者与慢者所行的路程之差等于他们之间最初的距离。
知2－练
某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km
的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km 的速度上坡至A 地，共用1.5 h。求A，B 两地之间的路程。
例 7
解题秘方：解决有上、下坡路程的往返问题时，虽然每段路程不变，但速度发生了改变。根据时间列出方程组解决问题。
知2－练
解：设从A 地到B 地的下坡路程为x km，平路路程为y km。
由题意得 解得
所以x+y=3+6=9。
所以，A，B 两地之间的路程为9 km。
+=，
+=1.5。
x=3，
y=6。
知2－练
思路点拨
解本题的关键是弄清从A地到B地的下坡路程，在从B地到A地时变为上坡路程。
知2－练
A，B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。
例 8
解题秘方：解题关键是找到各速度之间的关系：顺速= 静速+ 水速，逆速= 静速- 水速，再结合公式“路程= 速度×时间”列方程组求解。
知2－练
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h。
由题意得 解得
所以，这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h。
7(x+y)= 140 ，
10(x-y)= 140 。
x=17 ，
y=3。
知2－练
思路点拨
列表描述相关的量：
设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，列表如下：
路程 速度 时间
顺水 140 km (x+y) km/h 7 h
逆水 140 km (x-y) km/h 10 h
知2－练
一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长450 m，运货火车长350 m。若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需10 s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车到车尾完全超过运货火车共需100 s，试求两车速度。
例 9
知2－练
解题秘方：①两车相向而行是相遇问题，两车所走的路程总和= 两车车长之和；②载客火车从后面追赶运货火车是追及问题，追及时两车所走的路程差= 两车车长之和。
知2－练
解：设载客火车的速度为x m/s，运货火车的速度为y m/s。
由题意得 解得
所以，载客火车的速度是44 m/s，运货火车的速度是36 m/s。
10x+10y= 450 +350 ，
100x- 100y= 450 +350 。
x= 44 ，
y= 36 。
知2－练
特别提醒
行车问题属于特殊的行程问题，它与行程问题的主要区别是行程问题不考虑车身长度，而行车问题要考虑车身长度；与行车问题类似的还有过桥问题、过隧道问题等。
知2－练
在当地农业技术部门的指导下，李明家增加了种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收。如图9.3-1 是李明和他的爸爸老李、妈妈阿菊的一段对话：
例 10
知2－练
解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系求解。
请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入。（收入- 投资= 净赚）
知2－练
解：设李明家去年菠萝的收入为x 元，投资为y 元。
由题意得 解得
所以(1+35%)x=16200，
所以，李明家今年菠萝的收入为16200 元。
x-y=8000 ，
(1+35%)x-(1+10 %)y=11800。
x=12000 ，
y=4000 。
知2－练
方法点拨
在此类等量关系比较复杂的题目中，仅靠估计寻找等量关系列方程组，难免会顾此失彼，出现错误，我们可以借助表格分析来理清解题思路，列出便于解题的方程组。列表如下：
去年 今年
投资/ 元 y (1+10% ) y
收入/ 元 x (1+35% )x
净赚/ 元 8 000 11 800
知2－练
列方程组解古算题：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧？
例 11
解题秘方：此题如果直接将僧人的人数设为x，那么求解较复杂，因此需采用间接设元法。
知2－练
解：设饭碗有x 只，汤碗有y 只。
由题意得 解得
所以僧人的人数为3×208=624。
所以，寺庙内共有624 位僧人。
x+y= 364 ，
3x= 4y。
x= 208 ，
y= 156 。
知2－练
译题
题目大意是一座寺庙内不知有多少僧人，但饭碗和汤碗共有364只。如果3人共用一只饭碗吃饭，4人共用一只汤碗喝汤，正好用完所有的碗。问：寺庙内共有多少僧人？
知2－练
小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图9.3-2 ①所示。小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图9.3-2 ②所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2 cm 的小正方形，
你能算出每个小长方形
的长和宽各是多少吗？
例 12
知2－练
解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的数量关系。
知2－练
解：设每个小长方形的长为x cm ，宽为y cm 。
依题意得 整理，得
③ - ④ ×3，得y=6。将y=6 代入④，得x=10。
所以，每个小长方形的长为1 0 cm ，宽为6 cm 。
3x= 5y，①
2x+2 =x+2y。②
3x- 5y= 0 ，③
x- 2y= - 2。④
~~~~~~~
另解
由图9.3-2②可得等量关系：长+2=2×宽，即x+2=2y。
知2－练
思路点拨
在图9.3-2①中大长方形的长有两种表示形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和。
在图9.3-2②中大正方形的边长也有两种表示形式，一种是1个小长方形的长与2个小长方形的宽的和，另一种是从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解。
二元一次方程组与实际问题
二元一次
方程组的
实际应用
基本等量关系
解题过程
几种常见的
应用类型

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