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2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数 学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
一题 一号 1 2 3 4 5 6 7 8－ － － － 一
答 案 B c c A B A B D
8 . D ｛解析］f(x)= 2时ω价 2sin wxcos wx = J2s in( 2 wx牛＋ 1 '
令f（ 兀）＝0，得sin(2w价主4 ）＝－空2 ．
丁T
·．·χε ［0 ,2叫，：. 2w价. 一4 ε ［
一
4 ’ 何时
一 ］
4 ．
令 t=2w吁，由y=sin t的图象得：
4τ－主 运4τrw 主＋ 4 ＜51r＋
主
4 ’．
. _ 7 5
化简』 得－：：：三ω＜一．
8 4
在一
2
AU主 飞之＝
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
一题 一号 ω 1－
答 案 m ACD
10. ABD 解析：选项A正确；
对于选项B,C,D，设 M(4m2 ,4m),
当 m=O 时， t=1;
2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学） 第1页（共7页）
当 IMFI
2
m=rfO 时，t ＝一一一＝
4m +1
I MA I ,j ( 4m2 + 1 ) 2+ ( 4m) 2 + ( 41 ） 2 -
( 4m乒 ＋1) 乒
－ l－ >- 1 J2--
16 M 2
’EA ＋ 一
.ff
ro 1m7· 叫咽EE－－ ＋－ ＋ 00
d
当且仅当…÷时，等号成立
故B正确；
4m2-4m+3 J
因为 M(4m2 ,4m）至
J
1J 直线 y＝χ＋ 3 的距离 d= -
J2:
当 ＝m ÷时， dmi,
2
一－’ 一→ l4m +2 4
由 m MN=2NF 得 NI 一一一一 一一｜\
飞3 ’．3 I '．
当m= O 时，koN =0;
4m 41ml 4
当m=rfO 时 ，.k 11.1 ＝ 一一一－主三 一一一一＝ －－ υn 运川 ’ 4m2 +2 4m2 +2 241ml+-2 f 句
lml 2 问 lml
· 二一
lml
当且仅当m子时，等号成立
故D正确．
11. ACD 解析：对于选项A，当α→时，x ER,
1 1
·: J(-x） 吁（x) ＝一一- ＋sin（－χ）－一＋
一一＋sinx--
e .r+ 1 2 e.r + 1 2
＝－－－一e
.r
－sin －－一1 ＋－－－一1 ＋sm 1 _ χ χ－一一＝U.
1 +e.r - 2 e.r+ 1 - 2 ’
故J（χ）是奇函数，故A正确；
对于选项 B,J（τ－χ）＝＿＿＿＿＿！＿-n-.r 一 ＋sin（τ
－x) ＋α＝＿＿＿＿＿！＿一＋sinχ＋α＝J（χ）不恒成 ，
e +
立
1 e -n-.r +1
故B错误；
1 h 1
qA半
尸叶d于选项ru 当α AU 时 χ 一 ＋ － 一 fE 又’J －cδ n x ＜ AU p 俨U 正J备川 ／A飞 2 向
e＋
对于选项D, rb J(x) ＞附－α＜丁 ＋sin元，
e 1-1
2025 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学） 第 2 页（共 7 页）
令 h(x) ＝」品 →sin εe ＋l υ ［阳］
1 1
因为 －气J; τ一，sin x O.故h （χ）三兰州的＝ τ一，e + 1 e“＋l e“＋l
故－α＜＿＿＿！＿＿τ . f!p α＞－」一τ ．故D正确．e ＋r e ＋l
三、填空题（本大题共3小题，每小题 5分，共15分）
12. 2 13. 96 14 . ./58-2
A,A B,B
14.乃否－2 解析：如图（ 一）, ·: tan
3
L AMA ＝一一＝－ tanLBMB ＝一一＝一3 ．
I1 MA MA 1I ' MB MB"
又 tanLAMA,= 2tanL BMB,, :. MB = 2MA.
I)
飞
I'
.1 .,
，，
，
， ， ， 句， 、
， ，， ， ，，
\. Jgl ／ ’见－－－－L--J c n
.，， ，：‘f
－1｜
B 户A
图（ 一） 图（二）
如图（二），建立平面直角坐标系，则 A(O,O),B(3,0) ,D(0,3 ），设点 M （元， y).
.j（ 俨3) 2+y2 = 2-Jx写芦，化简得：（价1) 2+y2= 4 （元主 O,y注 O).
则圆心为 P(-1,0) ,r = 2，点D(0,3 ） 关于 BC 的对称点D ’（6,3).
:. ( MN+ND) min= .j( 6+ 1) 2+3 2- 2 ＝疗否－2.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. ( 13分）( 1）解： ·： cos2B+2sin 2A-2sin2C = l- 2sin Bsin C,
:. 1-2sin2B +2sin2A -2sin2C =1 -2sin Bsin C.
即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsin C. ………………………………………………………3分
由正弦定理得：扩＋泸叮与be,
b2+c2 －α2 1 cos Ii= ＝ ．一一
2bc 2 ’
·: A ε（0，τ）．
:. A ＝主． …·……………………………………………………………………………. . 6分
3
(2）易知C=1r-(A+B)＝
5τ
一 …· ………………………………………………………. 8分
12 ’
丁T
·: B = 4, LBAC＝ ， LADC
= 2 LBAD = B+ LBAD,
亏
2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学） 第3页（共7页）
ιBAD=B=f,
LADC=f,BD 唱 · ·· IO 分
B一一D A
一
一一D tan C丰 5τT ｛ τ 丁T \ ，·． ＝ ＝ =tan 一＝tan l 一＋一 I =2+.J. 3-
CD CD 12 飞 6 4 J
· B一D ． 的值为2+/3. …··………………………………………………………………· 13 分
CD
16. ( 15 分） ( 1）解：由题意知，J气功＝f ( 1) ex-1，……………........…...................… 2 分
令 χ＝ l ，则f ( 1) = f ( 1) e-1 , :. f ( 1)= ＿＿！.＿＿. …........….............…...............… 4 分e-1
故 ！（χ）＝ 丘 － ＝e-1卢 1次1) 与e-1
2-e 1 必
．· 所求切线方程为：y－一一＝ 一一（俨1）即 y ＝ 一一－1. ……..............…........….. 6分., e-1 e-1 ’ J e一1
ex 1 1
(2) …·: g(x )= e （ e-1) ·一一＋ ax一 一e ＝ e ＋ （χ 笋 O)'-1 χ χ
当多＞0时，g(x)>O，故函数 y=g（ 必）没有零点； …........…………........….. .. . .. . .. . 8分
In( －兀）
当多＜0时，令 g(x)= 0，得α＝ 一一一．…………………………………………………9分
-x
令 t＝ 飞则 α 午 ，t>O.
1-ln t
令 h(t)= (t>O) ,: ’.h 。）＝ 一－－：；－ ·
t
令 h ’ 。）＝ 0 ，得 t=e.
当 tε （O,e）时， ’h （t)>O,h(t）单调递增；当t e ( ’e, +oo ）时，h 。 ）＜0,h(t）单调递减．
..' h(t)m皿 ＝h( e)＝ 土．e
当O当 l0 且 h(t） →0. . ......................…· 12 分
故函数 y=g（χ）有两个零点时，直线 y＝ α 与函数 y=h(t）的图象有两个交点，
．实数α的取值范围为10 工｝ ……………… ……………… …………… 15 分
飞 e I
17. ( 15 分） ( 1）证明： ·： DC=BC=../2，ιDCB=90。 ，AD=2,
:. BD=AD=2.
又 LDAB=45 。
·. LABD=45 。 ，：. LADB=90。 ，
:. AD1-BD. ………………………………………………………………………………3分
2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准（数学） 第4页（共7页）

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