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2025年江苏省苏州市中考复习模拟练习卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
1. 2024年春节期间国内旅游出行合计约人次，比2023年大幅增加．
数据用科学记数法表示为（　 　）
A． B． C． D．
2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．
如果，那么为（　 　）
A． B． C． D．
4. 我校男子足球队名队员的年龄如下表所示：
年龄岁
人数
这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A． B． C． D．
6 . 如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，
将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（　 　）

A． B． C．2 D．3
7 . 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，
是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，
承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示
（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，
报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示
（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，
且，交于点．给出下列结论：;；
四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（　 　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9. 二次根式有意义，则的取值范围是 ．
10. 分解因式： ．
11. 已知，是一元二次方程的两根，则 ．
一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，
小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，
不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距．
乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，
点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．

14. 已知一次函数的图象经过点和，则________________．
15 . 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，
P为x轴上一动点，切于点B，则的最小值为________
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
17.计算：
18. 解不等式组，并写出不等式组的负整数解．
19. 先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值．
如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，
过点作的垂线交于点，交延长线于点．
连接，求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
21 .为纪念五四运动周年，我县某中学举行“我的青春我奋斗”演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，
将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，
但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，
表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，图中m的值为______；
补全条形统计图；
组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，
已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法，
求出所选2名学生中两个都是女生的概率．
22 .为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，
要利用测角仪测量背景屏幕最高点离地面高度．如图，已知舞台台阶m，，
某学习小组在舞台边缘处测屏幕最高点的仰角，
在距离点2m的处测得屏幕最高点的仰角，
已知点，，，，，，在同一平面内，且，，三点在同一直线上，
，，三点在同一直线上．参考数据：取0.4，取1.7．
求的长（结果保留整数）；
求最高点离地面的高度的长（结果保留整数）．
23 .为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．
已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，
用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，
且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
24 . 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
求证：；
若，，求的半径．
25 . 如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）
在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？
若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
26 . 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？
若存在，请求出点的坐标．
27 .某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
(2)变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，
Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
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2025年江苏省苏州市中考复习模拟练习卷解答
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
1. 2024年春节期间国内旅游出行合计约人次，比2023年大幅增加．
数据用科学记数法表示为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：有9个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：D．
2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．
如果，那么为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得的度数．
【详解】解：如图，
∵把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
4. 我校男子足球队名队员的年龄如下表所示：
年龄岁
人数
这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【详解】解：18出现了7次，出现的次数最多，
所以众数是18岁；
把这些数从小大排列，中位数是第11和第12个数分别是17、17，
所以中位数为17岁．
故选：A．
5. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
6 . 如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，
将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（　 　）

A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】设，先根据矩形的性质和折叠的性质分别表示出的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】∵四边形为矩形，，
∴，，
∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
故选：B．
7 . 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，
是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，
承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示
（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，
报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示
（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
【答案】B
【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可．
【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确；
B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；
C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；
D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．
故选：B．
如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，
且，交于点．给出下列结论：;；
四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到正确；根据相似三角形的判定可得正确；根据全等三角形的性质可得正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
，
点四点共圆，
∴，
∴，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又中，，
，
，
故错误，
故选．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9. 二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
10. 分解因式： ．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 已知，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】1
【分析】直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：1．
一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，
小刚向其中放入个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，
不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球 个．
【答案】
【分析】设白球有x个，利用频率估算概率列出关于x的方程，然后求解即可.
【详解】设白球有x个，
根据题意得：，
解得：x≈16.
故答案为16.
如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距．
乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，
点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．

【答案】/1米
【分析】作，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：作，垂足为F，．

∵，
∴
在中，；
又∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，
∵∵
∴，
∵，
∴；
∴，
∴，
即到的距离是．
故答案为：．
14. 已知一次函数的图象经过点和，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，
∴；
故答案为：
15 . 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，
P为x轴上一动点，切于点B，则的最小值为________
【答案】
【分析】如图，连接，根据切线的性质定理，得，要使最小，只需最小，根据垂线段最短，当轴于点时，最小，进而求出点坐标，利用勾股定理，求出即可．
【详解】如图，连接．
根据切线的性质定理，得．
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴．
则最小值是．
故答案为：
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，
连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于 ．
【答案】
【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．
【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：
四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=8-5=3，
在中，
∴MF=5-4=1，
在中，设EF=x，则ME=3-x，
由勾股定理得， ，
解得：，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
又∵∠FGP=∠CNF=90°
∴，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
四边形ABNM是正方形，
∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，
解得：m=1，
∴PF=5m=5，
∴PE=PF+FE=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
17.计算：
【答案】
【分析】首先根据绝对值的性质、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数进行运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组，并写出不等式组的负整数解．
【答案】解集为：，负整数解有：
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先解每一个不等式，再取解集的公共部分作为原不等式组的解集，最后再找出负整数解即可．
【详解】解：由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴负整数解有：．
19. 先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值．
【答案】，8
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从，1，3三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
当，3时，原分式无意义，
故当时
原式
如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，
过点作的垂线交于点，交延长线于点．
连接，求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
【解析】（1）证明：连接，交于点，如下图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点为边中点，
∴，
∴在中，，即，
解得，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
21 .为纪念五四运动周年，我县某中学举行“我的青春我奋斗”演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，
将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，
但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，
表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，图中m的值为______；
补全条形统计图；
组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，
已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法，
求出所选2名学生中两个都是女生的概率．
【答案】(1)20，72，40
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，用乘以等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得的值；
（2）求出等级的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）解：根据题意得：总人数为：（人，
表示“等级”的扇形的圆心角为；
等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级的人数为（人，
补全统计图，如图所示：

（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中两个都是女生的有1种，
所以两个都是女生的概率为．
22 .为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，
要利用测角仪测量背景屏幕最高点离地面高度．如图，已知舞台台阶m，，
某学习小组在舞台边缘处测屏幕最高点的仰角，
在距离点2m的处测得屏幕最高点的仰角，
已知点，，，，，，在同一平面内，且，，三点在同一直线上，
，，三点在同一直线上．参考数据：取0.4，取1.7．
求的长（结果保留整数）；
求最高点离地面的高度的长（结果保留整数）．
【答案】(1)
(2)最高点C离地面的高度的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题；
（1）根据计算即可；
（2）根据三角函数求出，再结合列方程求出的长度，最后根据计算即可；
【详解】（1）在中
∵，，
∴，解得；
（2）在 中，，

在中，，
∵
∴
则 ，
由题意知四边形是矩形，
则．
∴．
答：最高点C离地面的高度的长约为．
23 .为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．
已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，
用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，
且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【答案】(1)甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元
(2)购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，
（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；
熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
∴w取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
24 . 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
求证：；
若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）如图：连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明；
（2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可．
【详解】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，即．
（2）解：连接，
方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB，
∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4,
∴，
∴AB=12，
∴的半径是6.
方法二：
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
的半径为6．
25 . 如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）
在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？
若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或 P（0，﹣1）
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解.
【详解】（1）把点A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数y=，
∴k=1×2=2；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC=|3﹣x|，
∴S△APC=|3﹣x|×2=5，
∴x=﹣2或x=8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：联立，
解得：或，
∴B点坐标为（2，1），
∵点P在y轴上，
∴设P（0，m），
∴AB=，AP=，PB=,
若BP为斜边，
∴BP2=AB2+AP2 ，
即 =2+，
解得：m=1，
∴P（0，1）；
若AP为斜边，
∴AP2=PB2+AB2 ，
即 =+2，
解得：m=﹣1，
∴P（0，﹣1）；
综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）.
26 . 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；
当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？
若存在，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线的表达式为，
当时，得：，
∴，，
当时，得：，解得：，
∴，，
∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，
设，
∴，，，
∴，
∵抛物线交轴于，两点，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
∵
，
又∵，即抛物线的图像开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）存在，理由：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，
∴，
如图所示，连接，
①，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴当点的坐标为时，；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
过点作，交轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
此时点在轴上，不符合题意，舍去．
综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
27 .某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
(2)变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，
Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
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