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2025年江苏省扬州市中考数学模拟练习试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，
约秒后，神舟十八号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，
将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2. 某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
年龄（岁） 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A．18，19 B．19，19 C．18， D．19，
点，和在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），
将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
如图，在平行四边形中，点E是边的中点，交对角线于点F，
则的值是（ ）
A． B． C． D．
如图，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，
得到，连接，则下列结论中：
①；②；③；④，
其中正确结论的序号是（ ）

A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
7 . 如图，一次函数与轴、轴分别交于，以为一边在第二象限作正方形，
反比例函数经过点．将正方形沿轴正方向平移个单位后，
点恰好落在反比例函数上，则的值是（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
8. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，
其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9 . 若分式的值为0，则的值是________．
10．使二次根式有意义，则的取值范围是______
11 .分解因式： ．
12 . 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
13. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
14 .2025年元旦期间，小华和家人到扬州景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为 ．
16 . 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，
PB切于点B，则的最小值为___________
17 . 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．
若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为_______
18 . 速度分别为和的两车分别从相距千米的两地同时出发，
沿同一方向匀速前行,行驶一段时间后,其中一车按原速度原路返回,直到与另一车相遇时两车停止．
在此过程中，两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：
①；②；③；④若，则；
其中说法正确的是___________
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19 .（1）计算：；
（2） 解不等式组．
20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
为适应体育中考新标准，某校随机抽取了10名女生和10名男生的跳绳成绩，
并依据中考标准分数表进行整理，得到了如下统计表：
表1：
分值（分） 5 6 7 8 9 10
男生（人） 1 0 1 1 3 4
女生（人） 0 1 0 2 2 5
表2：
数据 平均数 中位数 众数 方差
男生成绩（分） 8.7 9 b 2.41
女生成绩（分） 9 a 10 c
上述表格中，　　，　　，　　；
该校应届毕业生中有330名男生，270名女生选择跳绳作为体育中考项目，
请估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数；
结合表1和表2中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
22 . 小明参加某个“知书答理”竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，
第一道单选题有3个选项（分别表示为A，B，C），
第二道单选题有4个选项（分别表示为a，b，c，d），这两道题小明都不会，
不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
23 . 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
24 . 如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

若，试说明；
在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
如图，是的外接圆，是的直径，是的中点．
交的延长线于点，交于点，点是上的一点，且与相切于点．
求证：；
若，，求的长．
26 . “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，
深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，
购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，
购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，
且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，
则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
27. 【问题情境】
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
28 . 如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上．
求的值；
(2) 过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，
求关于的函数关系式；
(3)当是直角三角形时，求点的坐标．
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2025年江苏省扬州市中考数学模拟练习试卷解答
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，
约秒后，神舟十八号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，
将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
2. 某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
年龄（岁） 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A．18，19 B．19，19 C．18， D．19，
【答案】A
【详解】试题分析：因为年龄18的人数最多为5，所以众数是18，
而，
故选A．
点，和在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键，先判断函数图象与点所在的象限，再结合反比例函数的增减性可得答案．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵，
∴点位于第三象限，
∴，
∴和位于第一象限，
∴，
∴．
故选：D．
如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），
将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为，
故选：B．
如图，在平行四边形中，点E是边的中点，交对角线于点F，
则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
如图，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，
得到，连接，则下列结论中：
①；②；③；④，
其中正确结论的序号是（ ）

A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】①根据和，可求得，即可判断结论是否正确．②根据，即可判断结论是否正确．③设，可求得的度数，即可判断结论是否正确．④根据和，即可判断结论是否正确．
【详解】①根据图形旋转的性质可知．
∵，
∴．
∴．
结论①正确．
②根据图形旋转的性质可知，．
∴．
结论②正确．
③设．
∵，
∴，这与题意不符．
∴．
结论③错误．
④根据图形旋转的性质可知．
∵，，，
∴．
结论④正确．
综上所述，结论正确的为①②④．
故选：D．
7 . 如图，一次函数与轴、轴分别交于，以为一边在第二象限作正方形，
反比例函数经过点．将正方形沿轴正方向平移个单位后，
点恰好落在反比例函数上，则的值是（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，先求出点A、B的坐标，然后利用正方形的性质、余角的性质可证△OAB≌△FDA≌△EBC，进而可利用全等三角形的性质求出点D、C的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，于是可得点G坐标，再根据平移的性质即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）．
则OB＝2，OA＝1．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，

又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
∵∠OBA＝∠DAF，∠BOA＝∠AFD，AB＝AD，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理可证：△OAB≌△EBC，
∴AF＝OB＝EC＝2，DF＝OA＝BE＝1，
∴D的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣2，3）．
将点D代入得：k＝﹣3，
则函数的解析式是：y＝﹣．
∴G的坐标是（﹣1，3），
∴当点C与G重合时，正方形沿x轴正方向平移了1个单位，即a＝1．
故选：A．
8. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，
其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9 . 若分式的值为0，则的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案．
【详解】∵分式的值为0，
∴x 1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案为：1．
10．使二次根式有意义，则的取值范围是______
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：
11 .分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用．先提取公因式，然后利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12 . 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
14 .2025年元旦期间，小华和家人到扬州景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【详解】解：根据作图的方法得：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
16 . 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，
PB切于点B，则的最小值为___________
【答案】
【分析】如图，连接，根据切线的性质定理，得，要使最小，只需最小，根据垂线段最短，当轴于点时，最小，进而求出点坐标，利用勾股定理，求出即可．
【详解】如图，连接．
根据切线的性质定理，得．
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴．
则最小值是．
故答案为：
17 . 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．
若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为_______
【答案】2
【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，
∴∠EFD=∠FEB=60°，
由折叠前后对应角相等可知：，
∴，
∴，
设AE=x，则，
∴AB=AE+BE=3x=3，
∴x=1，
∴BE=2x=2，
故答案为：2．
18 . 速度分别为和的两车分别从相距千米的两地同时出发，
沿同一方向匀速前行,行驶一段时间后,其中一车按原速度原路返回,直到与另一车相遇时两车停止．
在此过程中，两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：
①；②；③；④若，则；
其中说法正确的是___________
【答案】①③
【分析】本题考查函数图像及追及问题，根据追及距离列式求出，，的值，再求出即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
，
解得：，，
∴，不固定是一个变值，
根据图像得，，，
当时，，
故①③正确，②④错误，
故答案为：①③
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19 .（1）计算：；
（2） 解不等式组．
【答案】（1）0；（2）1≤x＜4
【详解】解：（1）解：
．
（2）【详解】，
解①得：x≥1，
解②得：x＜4，
则不等式组的解集是：1≤x＜4．
20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
∴不等式组的所有整数解为0，1．
为适应体育中考新标准，某校随机抽取了10名女生和10名男生的跳绳成绩，并依据中考标准分数表进行整理，得到了如下统计表：
表1：
分值（分） 5 6 7 8 9 10
男生（人） 1 0 1 1 3 4
女生（人） 0 1 0 2 2 5
表2：
数据 平均数 中位数 众数 方差
男生成绩（分） 8.7 9 b 2.41
女生成绩（分） 9 a 10 c
上述表格中，　　，　　，　　；
该校应届毕业生中有330名男生，270名女生选择跳绳作为体育中考项目，
请估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数；
结合表1和表2中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【答案】(1)9.5，10，1.6；
(2)267名；
(3)女生的成绩比较好．理由见解析.
【分析】（1）根据众数、中位数以及方差的计算公式分别得出、、的值；
（2）用男、女生的人数分别乘以选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数各占的百分比，即可得出答案；
（3）根据女生成绩的平均数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，可得女生掌握知识的整体水平比男生好；
【详解】（1）解：（1）共有10名女学生，中位数是第5、第6个数的平均数，
中位数，
出现了4次，出现的次数最多，
众数；
．
故答案为：9.5，10，1.6；
（2）根据题意得：
（名，
答：估计选择跳绳的应届毕业生中满分的学生人数有267名；
（3）女生的成绩比较好．
虽然男、女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，
女生掌握知识的整体水平比男生好．
22 . 小明参加某个“知书答理”竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项
（分别表示为A，B，C），第二道单选题有4个选项（分别表示为a，b，c，d），这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率的求法与运用，
（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】（1）解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）解：设第二道单选题中的d选项去掉，画树状图得：

一共有9种等可能的结果数，小明顺利通关的结果数为1，
∴小明顺利通关的概率为．
23 . 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，，支点A为的中点，且．
若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离．
在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离．
【答案】(1)支点到桌面的距离
(2)支撑面下端到桌面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质，
（1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得；
（2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得，
掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作，
∴，
在中，，，，，
即，，即支点到桌面的距离．
（2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，支点A为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，，，
即，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
则支撑面下端到桌面的距离：
，
即支撑面下端到桌面的距离为．
24 . 如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

若，试说明；
在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
证明：连接、，

由（1）可知
，
在和中
．
如图，是的外接圆，是的直径，是的中点．
交的延长线于点，交于点，点是上的一点，且与相切于点．
求证：；
若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，由是的直径，得到，则，即可证明；
（2）由是的中点，，得，求得，由，求得，由，求得，进而得到，再证明，则，由，，得，则，推出．
【详解】（1）
证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
是的直径，
，
，
；
（2）解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，，
，
，
，
的长为．
26 . “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，
深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，
购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，
购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，
且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，
则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
(2)购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，
（1）设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案；
（2）设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，根据题意列不等式，求出的取值范围，令利润为，得到关于的函数关系式，再利用一次函数的增减性，最求最大值，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，
由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
27. 【问题情境】
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
28 . 如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上．
求的值；
(2) 过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，
求关于的函数关系式；
(3)当是直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）将代入即可；
（2）由题意可得B的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法求得，由题意表示出点P的坐标是，点E的坐标是，进而得关于的函数关系式；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴的一个交点是
∴
∴
（2）如图
∵当时，
∴点B的坐标是
设直线的解析式为
∵过点，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵当时，
∴点E的坐标是
∵当时，
∴点P的坐标是
∴；
（3）①当时，直线交轴于，如图，
∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，即：，
∴，
设直线解析式为，代入，，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立：，解得：或，
∵
∴；
②当时，直线交轴于，如图，
同理可得为等腰直角三角形，即：，
∴，
设直线解析式为，代入，，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立：，解得：或，
∵
∴；
③当时，此时点在上方，设点横坐标为，且，
过点作轴，，如图，
∵，，轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
，，
∵，
∴，即：，
亦即：，
∴，
解得：，（经检验是方程的解），
则： ，
∴
综上，点的坐标为或或．
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