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广东省东莞市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.tan( 330 )的值为( )
√ 3 √ 3
A. B. C. √ 3 D. √ 3
3 3
2.设集合 = { | 2 < < 1}， = { | < 1}，满足 ，则实数 的取值范围是( )
A. { | ≤ 1} B. { | ≥ 1} C. { | ≥ 2} D. { | ≤ 2}
2 1
3.已知函数 ( ) = ，则下列结论正确的是( ) 2 +1
A. ( )单调递增且是偶函数 B. ( )单调递增且是奇函数
C. ( )单调递减且是偶函数 D. ( )单调递减且是奇函数
1 1
4.设 ， ∈ ，则“ > > 0”是“ < ”的( )

A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件

5.如图，单位圆 内接一个圆心角为 的扇形 ，则扇形 的面积为( )
3
2
A. B. C. D.
2 3 3
2 2 + 3, 0
6.已知函数 ( ) = { ，若方程 ( ) = 有三个不同的实数解，则 的取值范围为( )
2 + ln , > 0
A. ( ∞, 3) B. ( ∞, 3] C. [3,4) D. (3,4)

7.为了得到函数 = sin(2 + )的图象，只需要把函数 = cos 上所有的点( )
3
1
A. 向右平移 个单位，横坐标变为原来的 倍
6 2

B. 向左平移 个单位，横坐标变为原来的2倍
6
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1
C. 横坐标变为原来的 倍，向左平移 个单位
2 12

D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移 个单位
6
8.设函数 ( ) = sin2 sin 在[ 2 , 4 ]上的零点为 1， 2， ， ，则 1 + 2 + + =( )
A. 6 B. 7 C. 9 D. 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知10 = 2，10 = 3，则下列运算正确的是( )
+ √ 6
A. 10 2 = √ 6 B. 10 2 = C. = log32 D. = lg6 3
10.若 ， > 0，且 = + + 3，则下列说法中正确的是( )
A. + 的最大值为6 B. + 的最小值为6
C. 的最大值为9 D. 的最小值为9
11.我们知道：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是 = ( + ) 为奇函数，
类比以上结论也可得到函数 = ( )的图象关于直线 = 成轴对称图形的充要条件.已知函数 ( )的定义
域为 ，其图象关于直线 = 2成轴对称图形，且 ( 1)为奇函数，当2 ≤ < 5时， ( ) = ln(6 )，则
下列说法中正确的是( )
A. ( )的图象关于点(1,0)成中心对称图形
B. ( + 2)为偶函数
C. ( )的最小正周期为12
D. 当8 ≤ < 11时， ( ) = ln(12 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题 : ∈ [ 1,1]， 2 1 < 0的否定是 ．
sin( + )
13.已知tan + tan = 1，则 = ．
cos( + )+cos( )
14.设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数，称 = [ ]为取整函数.例如：[1] = 1，[0.5] = 0，[ 0.5] = 1.
5
已知函数 ( ) = 2[sin ] + 2[cos ]，则 ( ) = ; ( )的值域为 ．
6
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | = 2 , < 3}，集合 = { | = log 22( 6)}．
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(1)在下面的直角坐标系中画出函数 = 2 的图象，求 ∩ ;
(2)若全集 = { ∈ | ∈ } = ∪ ， ∩ = {2,3,6,7}，
求集合 ．
16.(本小题12分)
+
已知函数 ( ) = ， ( ) = ．
2 2
3
(1)求 (ln + ln2)， (2ln2);
2
(2)求[ ( )]2 [ ( )]2的值;
3
(3)已知实数 满足 ( ) = ，求 (2 )的值．
2
17.(本小题12分)
用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上
1
污渍的 ，用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上.设用 单位量的水清洗一次以后，衣服上
2

残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数 ( ) =
+ 2
．
(1)求 ( )的解析式，写出 ( )应该满足的条件或具有的性质(至少写2条，不需要证明);
(2)现有 ( > 0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上
残留的污渍比较少 请说明理由．
18.(本小题12分)
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已知 ( ) = cos2( + ) cos2( )( > 0)．
2 3 2 6
3
(1)若 = 2， ∈ (0, )，且 ( + ) = ，求sin2 ;
2 6 5
2
(2)若 ( )在(0, )上单调，且在(0,2 )上恰有3个最值点，求 的取值范围．
9
19.(本小题12分)
1 1
对于任意两正数 ， ( < )，记区间[ , ]上曲线 = 下的曲边梯形(由直线 = ， = ， = 0和曲线 =

所围成的封闭图形)面积为 ( , )，并约定 ( , ) = 0和 ( , ) = ( , )，已知 (1, ) = ln .
(1)求 (1,2)， (3,6)， (12,6);
(2)对正数 和任意两个正数 ， ，猜想 ( , )与 ( , )的大小关系，并证明;
1 1 1
(3)(ⅰ)试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数 ，恒有 < ln(1 + ) < ;
+1
(ⅱ)若 ∈
1 1 1
，试说明：当 → +∞时，1 + + + + →
2 3
+∞．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ∈ [ 1,1], 2 1 0
1
13.【答案】
2
3 3
14.【答案】 ；{1, , 2,3}
2 2
15.【答案】解：
(1)
集合 = { |0 < < 8}，
集合 = { |( + 2)( 3) > 0} = { | < 2或 > 3}
所以 = { | 2 ≤ ≤ 3} ，
所以 ∩ = (0,3]
(2)所以 = ∪ = { ∈ | ∈ } = {1,2,3,4,5,6,7}
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因为 ∩ = {2,3,6,7} ，所以2，3，6，7 ∈ 且2，3，6，7
再由 = ∪ = {1,2,3,4,5,6,7}，
假设1 ，则由 ∪ = {1,2,3,4,5,6,7}可得1 ∈ ，
故1 ∈ ∩ = {2,3,6,7} ，显然矛盾，所以1 ∈ ;
同理4 ∈ ，5 ∈ ，
所以 = {1,4,5}
ln1 1
3 ln3+ ln 3 ln 3+ 3 3+ 5
16.【答案】解：(1)由题意得 (ln + ln2) = (ln3) = = = 3 = ;
2 2 2 2 3
1
ln4 ln4 ln 4
ln 1
4 4 15
由题意得 (2ln2) = (ln4) = = = 4 =
2 2 2 8
+ 2 +2+ 2 2 2+ 2
(2)由题意得[ ( )]2 [ ( )]2 = ( )2 ( )2 = = 1
2 2 4 4
+ 3
(3)由题意得 ( ) = = ，
2 2
√ 5
(方法一)由 2( ) 2( ) = 1，得 ( ) = ± ，
2
2 2 ( + )( ) 3√ 5
所以 (2 ) = = = ±
2 2 2
(方法二)由 + = 3，得 2 + 2 = 7，
因为( 2 2 )2 = ( 2 + 2 )2 4 = 72 4 = 45，
所以 2 2 = ±3√ 5，
2 2 3√ 5
所以 (2 ) = = ±
2 2
(方法三)由 + = 3，得( )2 = ( + )2 4 = 5，
所以 = ±√ 5，
+ 2 2 (2 )
因为 ( ) ( ) = ( ) · ( ) = = ，
2 2 4 2
3√ 5
所以 (2 ) = 2 ( ) ( ) = ± ．
2
1
17.【答案】解：(1)因为 (1) = =
+1 2
1
所以 = 1，即 ( ) = 2 1+
1
函数 ( ) = 2的定义域为[0, +∞)，值域为(0,1]，在区间[0, +∞)内单调递减． 1+
1
(2) ( ) = ，
1+ 2
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1 4
( ) =
2 2
= ，
1+( ) 4+ 2
2
2 4 16 ( ) = ( )2 = ，
2 4+ 2 2(4+ 2)
1 16
( ) 2( ) =
2 1 + 2 2( 2 + 4)
2 2( + 4) 16(1 + 2) 2( 2 8) 2( 2√ 2)( + 2√ 2)
= = =
2 2 2
(1 + 2)( 2 + 4) (1 + 2)( 2 + 4) (1 + 2)( 2 + 4)
2 ①当 = 2√ 2时， ( ) = ( )，此时清洗一次或两次残留的污渍一样，
2

②当0 < < 2√ 2时， ( ) < 2( )，此时清洗一次残留的污渍更少，
2

③当 > 2√ 2时， 2( ) < ( )，此时清洗两次残留的污清更少，
2
综上，0 < < 2√ 2时，清洗一次残留的污渍更少;
= 2√ 2时，清洗一次或两次残留的一样;
> 2√ 2时，清洗两次残留的污渍量更少
18.【答案】解：由题意可得：

( ) = cos2( + ) cos2( )
2 3 2 6

= cos2( + ) cos2[( + ) ]
2 3 2 3 2

= cos2( + ) sin2( + )
2 3 2 3
2
= cos( + ).
3
2 3
(1)当 = 2时， ( ) = cos(2 + )， ( + ) = cos(2 + ) = cos2 = ，
3 6 5
3
所以cos2 = ，
5

因为 ∈ (0, )，所以2 ∈ (0, )，
2
9 4
所以sin2 = √ 1 cos22 = √ 1 = ；
25 5
2 2 2 2 2
(2)当 ∈ (0, )， + ∈ ( , + )，
9 3 3 9 3
2
因为 = cos 在( , )上单调，
3
2 2
所以 + ≤ ，
9 3
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3 2 2 2
所以 ≤ ，当 ∈ (0,2 )， + ∈ ( , 2 + )，
2 3 3 3
( )在(0,2 )上恰有3个最值点，
2 2 2
即 = cos 在( , 2 + )恰有3个最值点，分别是 ，2 ，3 ，所以3 < 2 + ≤ 4 ，
3 3 3
7 5 3 7 3
解得 < ≤ ，因为 ≤ ，所以 < ≤ ．
6 3 2 6 2
19.【答案】解：(1)由题意得 (1,2) = ln2，
(3,6) = (1,6) (1,3) = ln6 ln3 = ln2，
(12,6) = (6,12) = ( (1,12) (1,6)) = ln12 + ln6 = ln2
(2)对正数 和任意两个正数 ， ， ( , ) = ( , )，

由题知 ( , ) = (1, ) (1, ) = ln ln = ln ，


( , ) = (1, ) (1, ) = ln ln = ln = ln ，故 L( , ) = ( , )

1 1 +1
(3)( )设 = ( ) = ，由题意得ln(1 + ) = ln( ) = ( , + 1)，

1 1 1
由 ( , + 1)小于高为 ，底为1的长方形面积，得 ( , + 1) < × 1 = ，

1 1 1
由 ( , + 1)大于高为 ，底为1的长方形面积，得 ( , + 1) > × 1 = ，
+1 +1 +1
1 1 1
所以对任意正数 ，恒有 < ln(1 + ) <
+1
1 1 1 2 3 4 +1 2 3 4 +1
( )由( )得1 + + + + > ln( ) + ln( ) + ln( ) + + ln( ) = ln( ． ． ) =
2 3 1 2 3 1 2 3
ln( + 1)，
1 1 1
显然，当 → +∞时，ln( + 1) → +∞，所以1 + + + + → +∞
2 3
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