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吉林地区普通高中2024-2025学年度高三年级第二次模拟考试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1. 命题，，则为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 设全集，，≤，则图中阴影部分表示的集合是
A. B.
C. D.
3. 在中，点为的中点，点为的重心，则
A. B.
C. D.
4. 已知随机事件和，下列表述中错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，互斥，则
D．若，互斥，则
5. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双 曲线的实轴长为
A. B. C. D.
6. 定义：到定点的距离为定值的直线系方程为， 此方程也是以为圆心，为半径的圆的切线方程. 则当变动时，动直线
围成的封闭图形的面积为
B. C. D.
7. 已知等差数列的首项为，且，，成等比数列，则数列的前 项和为
A. B. C. D.
定义：为不超过的最大整数，区间（或，，）的长度记为. 若关于的不等式的解集对应区间的长度为，则实数的取值范围是
A. B. ≤＜
C. ≤＜ D. ≤＜
二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 设复数，则
A. 在复平面内对应的点位于第一象限
B.
C.
D. 若是关于的方程的一个根，则
10. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则
A. 的最大值为
B. 在上单调递增
C. 的周期为
D．,
11. 已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则
A. B.
C. 有个零点 D. 若，则或
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。
12. 已知函数 则 .
13. 已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称． 若 直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
14. 如图，在三棱锥中，平面平面， ，，点在棱上，且 ，侧面内一动点满足，则点的轨迹 长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围 为 .
四、解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在中，角所对的边分别为，.
（Ⅰ）若，，求的面积；
（Ⅱ）若角的平分线与的交点为，，求的最小值.
16.（本小题满分15分）
已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中， ，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高．
18.（本小题满分17分）
国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设. 现对近年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：
年份 年 年 年 年
年份序号
项目支出/百亿元
（Ⅰ）经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系. 请求出项目支出关于 年份序号的经验回归方程，并预测年的项目支出；
（Ⅱ）天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基
金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动. 经调查统计，甲、乙两个地区共
有人参加此次论坛活动，具体数据如下表：
男生 女生 合计/人
甲
乙
合计/人
（ⅰ） 根据小概率值的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？
（ⅱ）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为分），现采用按男、女样本
量比例分配的分层随机抽样，从上述人中抽取人进行访谈，其中男生样本
的满意度平均数为分，方差为，女生样本的满意度平均数为分，方差为
，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次
论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.
附：，，
，其中.
19.（本小题满分17分）
已知在抛物线上，其中，关于轴的对称点为，记直线的斜率为，且.
（Ⅰ） 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ） 求的面积；
（Ⅲ） 记，为数列的前项和，是否存在正整数，，使
成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.
命题校对：高三数学核心组
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高三数学试题 第1页 （共6页）令 a b 1，则 f (1) 0，A 选项正确；
吉林地区普通高中 2024—2025 学年度高三年级第二次模拟考试
令 a b 1，则 f ( 1) 0 ；
令 a 1,b x，则 f ( x) f (x) ，B 选项不正确；
数学学科参考答案 1 1 1
令 a x ,b ，则 f (1) xf ( ) f (x) 0，
一、单选题：本大题共 8 题，每小题 5 分，共 40 分。 x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 当 x 1 0
1
时， 1， f (x) 0 ， f ( 1 ) 0，即当 0 x 1时， f (x) 0 .
x x
C B A C B C A D 又 f (x) 是奇函数， 当 1 x 0 时， f (x) 0；当 x 1时， f (x) 0 .
f (0) f (1) f ( 1) 0， C 选项正确，D 选项正确.
8. 教学提示
lnt （法二）当 x 0时， f (x) 0 .
令 t [x](t N * ) ，则 k .
t x 0 f (ab) f (a) f (b)当 时， .
lnt ab a b 原不等式的解集对应区间的长度为 1， 不等式 k 的正整数解有且只有一个.
t f (x)
根据等式特点，构造函数 log c | x | (c 0且c 1) ，x
易知 f (x) lnx 在 (0,e)上单调递增， (e, )上单调递减，
x 即 f (x) xlog c | x | (c 0且c 1) .
又 f (3) ln3 ，f (2) f (4) ln2 ，
3 2 又 当 x 1时， f (x) 0， c 1，即 f (x) xlog c | x | (c 1) .
ln2 k ln3 .
2 3 0, x 0,
3 综上 f (x) 易得 ACD 选项正确，B 选项错误.二、多选题：本大题共 题，每小题 6 分，共 18 分。 xlog c | x |, x 0.
9 10 11 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
AC BCD ACD
3
12. 1 2 613. 14. ( 2分)； [0, ] （ 3分）
10. 教学提示 3 3 4
D.易证 sinx x . 14. 教学提示
（法一）由CP 2PE 得，点 P 轨迹是以 A为球心，1为半径的球面，
fn (x) sinx
1 sin2x 1 sinnx 2
2 n 又 点 P 在平面 SAB 内， 点 P 在以 A为圆心，1为半径， 为圆
3
2
sinx 1 1 sin2x sinnx 心角的圆弧上，因此点 P 的轨迹长度为 .
2 n 3
1 1
x 2x nx 2 建系如图，设 P(cos ,0,sin )( [0, ])，则 AB (2,0,0),CP (cos 1, 3 ,sin ) .
2 n 3
n x
AB CP
11. 2(cos 1) cos 1教学提示 cos AB,CP .
2
f (ab) af (b) bf (a) AB CP 2 (cos 1) 3 sin
2 5 2cos
（法一）已知 ，
令 a b 0 ，则 f (0) 0 ；
第 1 页 共 6 页
5 t 2
令 t 5 2cos ,t [ 3, 6],cos ， 3
2 即 ABC 的面积 S为 . ·························································································6 分
4
3
3 t 2 t π π
cos AB,CP t [0, 6 ]. （Ⅱ）因为CD为角C 平分线，C ，所以 ACD BCD .
2t 2 4 3 6
6 在 ABC 中， SCP AB [0, ]. ABC
S ACD S BCD ，
故直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为
4 1
CP AB 所以 absin
π 1
a CD sin π 1 b π CD sin ，·························································· 8 分
（法二）设直线 与直线 所成角为 ， 2 3 2 6 2 6
取 AB的中点M , CPM 1 , PMA 2 ，
CD 2 3由 ，得 ab 2 a 2 b 2 (a b) 6 ，所以 ab (a b) .·························10 分
根据三余弦定理可知， cos cos 1 cos 2 4 8 8 8 62
tan CM 1 ，易知 P 从点M 运动至 N 处， tan 1 逐渐减小，则 cos 1 逐渐增大，PM 因为 a 0， b 0
a b 6
，所以由基本不等式 ab ，得 (a b) (a b )2 ，
2 6 2
由图可知， P 从点M 运动至 N 处 cos 2 逐渐增大，
则 P 在点M 处时， cos 取得最小值，此时 cos 0 ， 2 6 6所以 a b ，当且仅当 a b 时取等号.
3 3
则 P 在点 N 处时， cos 取得最大值，此时 cos cos 1 cos
2 3 6
2 ，2 2 4 2 6
所以 a b的最小值为 .·······················································································13 分
3
故直线CP 6与直线 AB所成角的余弦值的取值范围为[0, ].
4 16．【解析】
（Ⅰ） f (x) 的定义域为{x | x 1} .············································································ 2 分
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。
x
15．【解析】 f (x)
xe
. ···································································································· 4 分
(x 1)2
（Ⅰ）由 sin2 A sin AsinB cos2 B cos2 C (1 sin2 B) (1 sin2 C ) sin2 C sin2 B，
令 f (x) 0，得 x 1或 1 x 0 ，
得 sin2 A sin2 B sin2 C sin AsinB .
由正弦定理得 a 2 b2 c 2 ab .··················································································· 2 f (x) 的单调递减区间为 ( , 1)， ( 1,0) . ·····························································7 分分
2 2 2 x x
所以 cosC a b c ab 1 ， e e
2ab 2ab 2 （Ⅱ） x ( 1, ) , m(x 1) ， x 1 0 m 2 . ································9 分x 1 (x 1)
因为C (0, π)，所以C π . ····················································································· 4 分
3 e x x
设 g(x) 2 ， x ( 1, ) g (x)
e (x 1)
，
(x 1) (x 1)3
. ···················································11 分
在 ABC 中， c 3 ， a b 6 ，由余弦定理 c 2 a 2 b2 ab (a b)2 3ab，
得 ( 3 )2 ( 6 )2 3ab ab 1 . 令 g (x) 0，则 x 1 .，解得

S 1 absin π 1 3 3
当 1 x 1时， g (x) 0， g(x)在 ( 1,1)上单调递减；
所以 1 .
2 3 2 2 4
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当 x 1时， g (x) 0， g(x)在 (1, )上单调递增. ······················································13 分 取 y2 1 ，则 z2 h， n2 (0,1,h) .········································································ 13 分
g(x) e e e则 min g(1) ， m ，即m的取值范围是 ( ， ) . ···································· 15 分 设平面 BB1C4 4 4 1
C 与平面 PBB1 夹角为 ，
17.【解析】
cos | cos n ,n | | n1 n2 | | h 1 | 10 1则 1 2 ，解得 h 2或 .
（Ⅰ）直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 平面 A1B1C1 ， | n || n | 2 1 h2 10 21 2
又 A 11B1 平面 A1B1C1 ， AA1 A1B1 .····································································· 3 分 所以正四棱锥 P ABB1A1的高为 2或 .·····································································15 分2
【此处也可直接证明：正四棱锥 P ABB1A1中， A1B1 AA1 .】 （建系方式二）以 A为原点， AC， AA1 ， AB所在直线
x y z
又 A1B1 A1C1 ， AA A C A , AA , A
分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1 1 1 1 1C1 平面 ACC1A1 ，
此时可得平面 BB1C1C 的一个法向量为 n1 (1 ,0,1 )，
A1B1 平面 ACC1A1 .····························································································5 分
平面 PBB1 的一个法向量为 n2 (1 ,0, h ) .
又 A1B1 平面 PA1B1，
（法二）取 BB1 中点M ,CC1 中点 N ，连接 PM ，MN .
平面 PA1B1 平面 ACC1A1 .·················································································7 分
正四棱锥 P ABB1A1 ，
（Ⅱ）（法一）以 A为原点， AA1 ，CA， AB所在直线分别为 x 轴、 y轴、 z轴建立如图所示的空间
PB PB1 ， PM⊥BB1 .
直角坐标系，则 B(0,0,2) , B1(2,0,2) ,C(0, 2,0) .
又 直三棱柱 ABC A1B1C1中,四边形 BB1C1C是矩形，
设正四棱锥 P ABB1A1的高为 h，则 P(1,h,1) ，
M ， N 分别为 BB1 ，CC1 的中点，
BB1 (2,0,0) ， BC (0, 2, 2)， BP (1,h, 1) ，························································· 9 分
MN // B1C1 ， B1C1 BB1， MN⊥BB1 ，
设平面BB1C1C 的一个法向量为 n1 (x1 , y1 , z1 ) .
∠PMN 或其补角即为平面BB1C1C 与平面 PBB1 的夹角，
BB n 0 2x1 0 x1 0
则 1 1 ，
BC n1 0 2 y1 2z1 0 y1 z1 即cos PMN 10 10 或 .···············································································11 分
10 10
取 z1 1，则 y1 1， n1 (0, 1,1) .······································································· 11 分
设正四棱锥 P ABB1A1的高为 h ,则 PM h2 1 ,
设平面 PBB1 的一个法向量为 n2 (x2 , y2 , z2 )，
A1B1 A1C1 且 A1B1 A1C1 2 ,
BB n 0 2x 0 x 0
则 1 2
2 2 x hy z 0 ， BP n2 0 2 2 2 x2 hy2 z2 B1C1 MN 2 2 .
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作 PH⊥平面 AA1C1C ，垂足为H ，连接 NH ， MQ 2MP 2 1 h2 ，
则 NH 2 h， PN (2 h)2 1 . 在 MNQ中，由余弦定理得， NQ2 MN 2 MQ2 2MN MQ cos NMQ ,
在 PMN 中，由余弦定理得， PN 2 PM 2 MN 2 2PM MN cos PMN , 即（2 2h）2 8 4 4h2 2 2 2 2 1 h2 cos NMQ ,············································ 13 分
即 ( (2 h)2 1)2 ( h2 1)2 (2 2)2 2 h2 1 2 2 cos PMN ,······························ 13 分
当cos NMQ 10 时，h 1 ，
10 2
cos PMN 10当 时，h 1 ，
10 2
当cos NMQ 10 时，h 2 .
10
当cos PMN 10 时，h 2 .
10 所以正四棱锥 P ABB A
1
1 1的高为 2或 .·····································································15 分2
1 18.【解析】
所以正四棱锥 P ABB1A1的高为 2或 .·····································································15 分2 1 1
（Ⅰ）（法一） x (1 2 3 4) 2.5， y (90 96 100 108) 98.5，················ 2 分
4 4
（法三）取 AA1 中点F , BB1 中点M ,CC1 中点 N ,连接 NF、MN、MP、MF ,并延长 NF、MP交于
4
点Q，取MN 中点 E ,连接 EP , EP、MF 交于点G . (xi x)( yi y) ( 1.5) ( 8.5) ( 0.5) ( 2.5) 0.5 1.5 1.5 9.5 29，
i 1
正四棱锥 P ABB1A1 中， PB PB1
4
(x i x)2 ( 1.5)2 ( 0.5)2 0.52 1.52 5 ， PM⊥BB1 . i 1
又 直三棱柱 ABC A 41B1C1中,四边形 BB1C1C是矩形， (xi x)( y i y) 29
所以 b
i 1
4 5.8， a y b x 98.5 5.8 2.5 84 ，M ， N 分别为 BB1 ，CC1 的中点， (xi x)2 5
i 1
MN // B1C1 ， B1C1 BB1， MN⊥BB1 ，

所以国家自然科学技术基金项目支出 y关于年份序号 x的经验回归方程为 y 5.8x 84 .······· 5 分
NMQ或其补角即为平面BB1C1C 与平面 PBB1 的夹角，

当 x 6时， y 5.8 6 84 118.8（百亿元）,
即 cos NMQ 10 10 或 .··················································································11 分 预测 2025 年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8 百亿元.·········································6 分
10 10 1 1
（法二） x (1 2 3 4) 2.5， y (90 96 100 108) 98.5，························2 分
设正四棱锥 P ABB1A1的高为 h，则 PG 即为四棱锥 P ABB A
4 4
1 1的高，
4 4
x y 1 90 2 96 3 100 4 108 1014， x 2 1 4 9 16 30 ，
MP MG 2 GP 2 1 h2 . MFQ中，GP MF ，MF FQ，
i i i
i 1 i 1
GP //FQ，又G为MF 的中点， GP 为 MFQ的中位线， FQ 2h .
第 4 页 共 6 页
4 即抛物线方程为 x 2 y . ····························································································1 分
x
i yi 4x y
b i 1 1014 4 2.5 98.54 2 5.8 ， a y b x 98.5 5.8 2.5 84 ，2
x 2 4x 30 4 2.5 An (xn , x
2 ),B ( x , x 2 2
n n n n
),An 1(xn 1 , xn 1 ).
i
i 1
x 2n 1 x
2
即 kn
n xn 1 xn . ···················································································3 分
所以国家自然科学技术基金项目支出 y关于年份序号 x 的经验回归方程为 y 5.8x 84 .······ 5 分 xn 1 xn

当 x 6时， y 5.8 6 84 118.8（百亿元）, kn 1 2kn， xn 2 xn 1 2(xn 1 xn ).
预测 2025 年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8 百亿元.·········································6 分
k xn 2 xn 11 x2 x1 2 0， xn 1 xn 0 ， 2.xn 1 xn
（Ⅱ）（ⅰ）零假设为
H 0 :申报天元基金者的所在地区与性别无关联. xn 1 x nn 是以 2为首项， 2为公比的等比数列，即 xn 1 xn 2 . ································5 分
根据列联表中的数据，经计算得到 n
x x (x x ) (x x ) (x x ) 1 21 22 2n 1 1 2 nn 1 2 1 3 2 n n 1 2 1(n 2) 1 2
2 200 (65 55 45 35)
2 800
8.081 7.879 .······················································9 分
100 100 110 90 99 x1 1符合上式，
依据小概率值 0.005 的独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为申报天元基金者的所在地区与性 数列 xn 的通项公式是 xn 2n 1 .···········································································7 分
别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005 .·······························································11 分
（Ⅱ）（法一） An (xn , x
2
n ),A
2
n 1(xn 1 , xn 1 ),An 2 (xn 2 , x
2
n 2 ).
2
（ⅱ）把男生样本的满意度平均数记为 x，方差记为 sx ；
x 2n 1 x
2
n
2 2 直线 AnAn 1 的斜率为 xn 1 xn .
女生样本的满意度平均数记为 y，方差记为 s y；总样本的满意度平均数记为 z，方差记为 s . xn 1 xn
则 x 9， s2x 7.19， y 7， s
2
y 6.79， 直线 AnAn 1 的方程为： y x
2
n (xn xn 1 )(x xn )，即 (xn xn 1 )x y xnxn 1 0 .
根据男、女样本量按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
An 2 到直线 AnAn 1 的距离为11 9
可得总样本的满意度平均数为 z 9 7 8.1，·················································14 分
20 20 (xn x
2
n 1 )xn 2 xn 2 xnxn 1 (xn 2 xn 1 )(xn 2 xn ) 3 2
2n 1
11 d s2
，
[7.19 (9 8.1)2 ] 9 [6.79 (7 8.1)2 ] 8 . n 2 2 2
20 20 (xn xn 1 ) 1 (xn xn 1 ) 1 (xn xn 1 ) 1
总样本的满意度的平均数为 8.1，方差为 8 .·································································· 16 分 AnAn 1 (xn 1 x )
2
n (x
2 2
n 1 xn )
2 (xn 1 x
2 2 n 2
n ) [1 (xn 1 xn ) ] 2 1 (xn 1 xn ) .
并据此估计全体参加论坛活动的天元基金者的满意度的平均数为 8.1，方差为 8 .················· 17 3 2
2n 1
分
S 1 A A d 1 2nn 1 (x x )
2 3 23n.
2 n n 1 n 2 n 1 n 2 ·······················12 分
19. (x x ) 1【解析】 n n 1
（Ⅰ）证明： 点 A1(1,1)在抛物线 x
2 2 py( p 0)上， 2 p 1， （法二）证明：在ΔABC 中， AB (x1，y1 ) ， AC (x2，y2 ) ，则ΔABC
1
的面积 S x1 y2 x2 y2 1
.
第 5 页 共 6 页
证明如下： cos BAC AB AC ，
AB AC
1
S AB AC sin BAC 1 AB AC 1 cos2 BAC 1 ( AB AC )2 ( AB AC )2
2 2 2
1
(x 21 y
2
1 )(x
2
2 y
2
2 ) (x1x2 y1 y2 )
2
2
1
x 21 y
2 2 2
2 x2 y1 2x1x2 y1 y
1
2 x1 y2 x2 y1 .2 2 ························································· 9 分
下面求ΔAnAn 1An 2 的面积 Sn .
An 1An (xn x
2
n 1，xn x
2
n 1 ) ( 2
n， 2n (3 2n 2)) ，
A A 2 2 n 1 n 1 n 1n 1 n 2 (xn 2 xn 1，xn 2 xn 1 ) (2 ,2 (3 2 2)) .
1
S 2n 2n 1n (3 2
n 1 2) 2n 1 [ 2n (3 2n 2)] 3 23n .··································· 12 分
2
（Ⅲ） an log 2 (xn 1) n T
n(n 1)
， n .2 ····························································· 14 分
a 2 2r 1 2Tk 16， (r 1) k(k 1) 16.
4(r 1)2 4k(k 1) 64 (2k 1)2 63.
(2r 2k 3)(2r 2k 1) 63 63 1 21 3 9 7 . r ,k N * ，
2r 2k 3 63 2r 2k 3 21 2r 2k 3 9
或2r 2k 1 1
或 .
2r 2k 1 3

2r 2k 1 7
r 15 r 5 r 3
解得 或 或 （舍）.
k 15 k 4 k 0
r 15，k 15或 r 5，k 4. ················································································ 17 分
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