资源简介

(共34张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2 两条直线垂直
课时1 垂线
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 垂线的概念
6. 课堂小结
7. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 垂线的画法及性质
9. 拓展与延伸
2. 知识回顾
8. 对接中考
1. 理解垂线的概念.
2. 会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
3. 体会作已知直线的垂线的存在性和唯一性，归纳出垂线的基本事实.
学习目标
知识回顾
邻补角互补
对顶角相等
对顶角
邻补角
两条直线相交
定义
性质
定义
性质
有一条公共边且另一边互为反向延长线
一个公共顶点且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线
新课导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
新课导入
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b．
（1）在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变？
a 与 b 所成的角也随之发生改变
（2）木条 b 与 a 成 90°的位置有几个？此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？
a 与 b 垂直
新课讲解
知识点1 垂线的概念
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的角∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b.
新课讲解
当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线；它们的交点叫作垂足.
如右图，直线AB与直线CD垂直，
记作：AB⊥CD，垂足是O；
“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；
而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
C
D
A
O
B
新课讲解
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.
垂直的表示方法：
如果用 l，m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ).
A
B
C
D
O
l
m
新课讲解
C
D
A
O
B
可以写成下面的形式：
因为∠AOD=90°，(已知)
所以AB⊥CD. (垂直的定义)
反过来，如果AB⊥ CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程
如果AB⊥CD，(已知)
那么∠AOD=90°. (垂直的定义)
注意：两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.
新课讲解
垂直的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°；
②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD.
A
B
C
D
O
新课讲解
【问题】1. 两条直线垂直和相交是什么关系？
2. 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交，平行，垂直？
垂直是相交的特殊情况
不能，因为垂直是相交的特殊情况
3. 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
新课讲解
例
1. 如图，AO⊥CO，直线 BD 经过点 O，且∠1 =20°，则∠COD 的度数为( )
A.70° B.110°
C.140° D.160°
B
∠AOC =90°
∠COB =90°-20°=70°
∠COD =180°- 70°= 110°
新课讲解
当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
解：当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是互相垂直.
这是因为当两条直线相交时，它们所形成的四个角总和为360°.
如果每个角都相等，那么每个角的度数即为90°，也就是直角.
因此，这两条直线是垂直的 .
练一练
新课讲解
知识点2 垂线的画法及性质
A
.B
l
.
1. 画已知直线l的垂线能画几条？
2. 过直线 l 上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
3. 过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
新课讲解
【问题】这样画 l 的垂线可以画几条？
“一放”
l
O
【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
（1）如图，已知直线 l，画 l 的垂线.
A
无数条
“二靠”
“三画”
…
新课讲解
【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
A
“一落”
“二移”
“三画”
让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合
沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点·
沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线，
1条
新课讲解
【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
B
“一落”
“二移”
“三画”
1条
新课讲解
可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线.
垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
归纳
1. 不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直.
2.“有且只有”指“存在且唯一”.
注意
新课讲解
例
2. 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
A
B
P
A
B
P
A
B
P
O
O
解：如图所示.
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
总结
新课讲解
练一练
1. 如图，分别过点P作线段MN的垂线.
O
O
O
O
新课讲解
练一练
2. 下列说法正确的有（ ）：
①两条直线相交，交点叫做垂足；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；
④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；
⑤过一点不可能向一条射线或线段作垂线；
⑥若l1⊥l2，则l1是 l2的垂线，l2不是 l1的垂线.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
课堂小结
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
画法
定义
垂线
当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
利用三角尺或量角器画：一靠、二过、三画
基本事实
当堂小练
1. 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____；若∠BOD = 90°，则 AB _____ CD.
90°
⊥
当堂小练
2. 如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是 ( )
D
A
C
B
D
垂足有时在线段的延长线或射线的反向延长线上，所画的垂线是实线.若需延长线段或反向延长射线，则用虚线。
当堂小练
3. 在下列条件中：
①两直线相交所成的四个角都是直角；
②两直线相交，对顶角互补；
③两直线相交所成的四个角都相等，
可以判定两条直线互相垂直的是（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
D
当堂小练
4. 在直线AB 上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD 于点O.当∠AOC=30°时，∠BOD的度数为( )
A.60° B.120° C.60°或90° D.60°或120°
解：分两种情况讨论：
①如图①，因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°;
②如图②，因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°,
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=60°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.
综上所述，∠BOD的度数为60°或120°.
①
②
D
当堂小练
5. 如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，若∠AOC = 40°，则 ∠EOF =_______.
分析：
∠EOF = 90°+∠DOF
OD 平分∠BOF
∠AOC = ∠DOB
∠EOF = 90°+40° = 130°
130°
当堂小练
6. 如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么 A、B、C 三点在同一直线上吗？为什么？
解：A、B、C 三点在同一直线上.
∵AB ⊥ l ，BC ⊥ l . 且交点都为 B .
∴A、B、C 三点在同一直线上（在同一平面内，
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.
当堂小练
7. 如图，已知O为直线AB上一 点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，则OE与OD有什么位置关系 为什么
解：OE⊥OD.理由如下：
因为OE平分∠BOC，OD 平分∠AOC，
所以∠COE= ∠BOC，∠COD= ∠AOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠COD+∠COE= (∠AOC+∠BOC)= ×180°=90°，即∠DOE=90°，
所以OE⊥OD.
当堂小练
8. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OM⊥AB.
(1) 若 ∠1 = ∠2，求∠NOD 的度数；
(2) 若 ∠1=∠AOC，求 ∠BOC 和 ∠MOD 的度数.
分析：(1)
∠1 = ∠2
OM⊥AB
∠2+∠AOC = 90°
∠NOD = 90°
90°
(2)
∠BOC = ∠1+90°
∠MOD = 180°-∠1
需求出 ∠1
的度数
已知∠1 = ∠AOC
OM⊥AB
设∠1 = x°，列方程 x+2x=90求∠1
∠MOD = 150°
∠BOC = 120°
未知角度
逆向思考
与已知角度建立联系 (可设未知数列方程）
对接中考
如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( )
A. 26°
B. 36°
C. 44°
D.54°
B
拓展与延伸
1. 如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，OM⊥AB 于 O .
（1）若∠1 =∠2，求∠NOD；
（2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC 与∠MOD.
解：（1）∵ OM ⊥ AB ，
∴∠1 + ∠AOC = 90°.
又∵∠1 = ∠2，
∴∠2 + ∠AOC = 90°，
∴∠NOD = 180°-（∠2 + ∠AOC）
= 180°- 90°= 90°.
（2）由已知条件∠BOC = 4∠1，
即 90°+∠1 = 4∠1，可得∠1 = 30°，
∴∠AOC = 90°- 30° = 60°，
∴由对顶角相等可得∠BOD = 60°，
∴∠MOD = 90°+∠BOD = 150°.
拓展与延伸
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC.
(1)若∠BOE=60°，求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=4:3，求∠AOF的度数.
解：(1)因为OE平分∠BOC，∠BOE=60°，
所以∠BOC=2∠BOE=120°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=60°.
因为OF丄CD，所以∠COF=90°,
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°- 60°=30°.
(2)因为OE平分∠BOC，
所以∠BOE=∠COE.
因为∠BOD:∠BOE=4:3，
所以设∠BOD=4x°，则∠BOE=3x°,
所以∠COE=3x°,
因为∠BOD+∠BOE+∠COE=180°,
所以10x=180，解得x=18，
所以∠BOD=4×18°=72°，
所以∠AOC=∠BOD=72°.
因为OF丄CD，所以∠COF =90°，
所以∠AOF =∠COF -∠AOC=90°-72°=18°.(共29张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2 两条直线垂直
课时2 垂线段
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 垂线段的概念
6. 课堂小结
7. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 垂线段性质的实际应用
9. 拓展与延伸
2. 知识回顾
8. 对接中考
1. 理解垂线段的概念；.
2. 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
3. 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
学习目标
知识回顾
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
画法
定义
垂线
当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
利用三角尺或量角器画：一靠、二移、三画
基本事实
新课导入
如图所示，背着沉重货物的小马要过河，它有 3 条线路可以走，选哪一条路走的路程最少呢？睿智的你能帮小马选出最近的路吗？
新课讲解
知识点1 垂线段的概念
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
新课讲解
1. 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
2. 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短.你有什么发现？
3. 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
4. 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
P
A1
A2
A3
A4 A5
O
新课讲解
垂线段的定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
归纳
l
P
O
A
如右图，线段PO的长度就是点P到直线l的距离.
新课讲解
垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：
1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线，长度不可以度量；
垂直是两条直线之间的位置关系；
垂线段是一条与已知直线垂直的线段，长度可以度量.
2. 联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；
垂线段所在的直线与已知直线垂直.
垂线段与点到直线的距离的区别：
垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.
点到直线的距离与两点间的距离的区别：
1. 两点间的距离：连接两点的线段的长度；
2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
注意
新课讲解
例
1. 如图，下列说法正确的是（ ）
A.线段 AB 叫作点 B 到直线 AC 的距离
B.线段 AB 的长度叫作点 A 到直线 BC 的距离
C.线段 BD 的长度叫作点 D 到直线 BC 的距离
D.线段 BD 的长度叫作点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
分析：判断垂线段，求点到直线的距离，关键有两点：
(1)看清垂线段，即从哪个点到哪条线；
(2)不能漏掉“长度”.
新课讲解
例
2. 如图，在三角形ABC中，AB⊥BC，其中AC=2.5，AB=1，P是线段BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为( )
A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.4
C
分析：直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而“斜线段”有无数条，并且这些“斜线段”与直线的交点离垂足越近，长度越短；离垂足越远，长度越长.
新课讲解
练一练
1. P 是直线 AB 外一点，过点 P 作 PO⊥AB ，垂足为 O ，若 C 为直线 AB 上任意一点，则线段 PC 与线段 PO 的大小关系是（ ）
A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO
C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO
C
新课讲解
练一练
2. 如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是 ，点A到BC的距离是 ，点C到AB的距离是 ， AC>CD 的依据是 .
12cm
5cm
cm
垂线段最短
C
D
B
A
分析：求点C到AB的距离即求线段CD的长度，用等积法.
= AC·BC =CD·AB
新课讲解
知识点2 垂线段性质的实际应用
1. 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
(1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短 并说明根据.
例
分析：(1) 依据“两点之间，线段最短”作图，线段交点即为蓄水池的位置.
(2) 依据“垂线段最短”作图，垂线段即为开渠路线.
N
M
解：如图所示.
解决这类最短距离问题时，要先判断是点到点的距离还是点到直线的距离，再依据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”作图.
方法点拨
新课讲解
例
2. 如图，火车站、码头分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.
A
a
B
b
两点之间，线段最短
垂线段最短
垂线段最短
新课讲解
练一练
1. 我们如何测量立定跳远的成绩？
解：测量运动员的跳远成绩选取的是线段AB的长度，其依据是垂线段最短.
A
B
新课讲解
练一练
2. 一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，C、D 是分别位于公路 AB 两侧的加油站.
（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 M 的位置时，距离加油站 C 最近；行驶到点 N 的位置时，距离加油站 D 最近，请在图中分别画出点 M、N 的位置；
（2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 C、D 两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站 D 越来越近，而离加油站 C 却越来越远？
A
B
C
D
解： （1）如图.
（2）在公路 AB 的 AM 段距离 C、D 两加油站都越来越近，在 MN 段距离加油站 D 越来越近，而加油站 C 却越来越远.
M
N
课堂小结
点到直线的距离
定义
垂线段
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段
直线外一点到这条直线的垂线段的长度
垂线段性质的实际应用
性质
垂线段最短
当堂小练
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离
B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度是这点到已知直线的距离
C. 画出直线外一点到已知直线的距离
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D
分析：本题错在将“垂线段”与“点到直线的距离”的概念混淆.选项 A 中垂线段与点到直线的距离是不同的概念；选项 B 中垂线是直线，没有长度；选项 C 中点到直线的距离是数量，数量不能画出.
当堂小练
2. 在下列语句中，正确的是 ( )
A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B.在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条
C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离
C
无数条
无数条
垂线段的长度是点到直线的距离
当堂小练
3. 如图所示，在直角三角形 ABC 中，AB⊥AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，已知 AB = 6 cm，AD = 5 cm.
(1)点 B 到 AC 的距离为_____，点 A 到 BC 的距离为 .
(2)CD AC(填“>”“<”或“=”)，依据是 .
6 cm
5 cm
<
垂线段最短
线段 AB 的长度
线段 AD 的长度
点 C 到直线 AD 的垂线段
当堂小练
4. P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA=4cm，PB=5cm， PC=2cm，则点P到直线m的距离 ( )
A.等于4cm
B.等于2cm
C.小于2cm
D.不大于2cm
D
易错题：容易选B.
垂线段最短，但并未说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2cm，也可能等于2cm.
当堂小练
5. 如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AC=10，AB=6，BC=8，求点B到直线AC的距离.
解析：因为∠ABC=90°，BD⊥AC，AC=10，AB=6，BC=8，
所以= AB·BC= AC·BD，
所以BD= = =4.8，
由题意可知点B到直线AC的距离即为线段BD的长，为4.8.
当堂小练
6. 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，若求点P到直线AB的距离，应该测量哪里？
A
B
C
D
P
O
解：如图所示.
应该测量线段PO的长度.
当堂小练
7. 已知：如图，ADC
B
A
D
E
解：不能得出AD⊥BC，
所以不能说AD的长是A到BC的距离.
当堂小练
8. 如图，河道的同侧有M，N两地，现要铺设一条引水管道，从河岸P处把河水引向M，N两地.下列四种方案中，最节省材料的是( )
M
N
·
·
l
A
B
C
D
依据：两点之间，线段最短；垂线段最短
D
当堂小练
9. 如图，点P，Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站.
(1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置(用点M表示)，依据是什么？
(2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置(用点N表示)，依据是什么？
P.
·Q
l
M
N
解：(1)如图，点M即为所求.依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
(2)如图，点N即为所求.依据：两点之间线段最短.
对接中考
点 P 为直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，PA = 2 cm，PB = 3 cm，PC = 4 cm，则点 P 到直线 l 的距离( )
A.等于 2 cm B.小于 2 cm
C.大于 2cm D.不大于 2 cm
D
PA⊥l
PA 与 l 不垂直
点 P 到直线 l 的距离等于 PA
点 P 到直线 l 的距离小于 PA
点 P 到直线 l 的距离不大于PA
拓展与延伸
如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有( )
①线段 CD 的长度是点 C 到 AB 的距离；
②线段 AC 是点 A 到 BC 的距离；
③ AB > AC > CD；
④线段 BC 是点 B 到 AC 的距离；
⑤ CD < BC < AB.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B

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