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7.1.1 角的推广
第七章 三角函数
1.理解任意角的概念.
2.理解象限角的概念.
3.能写出与任一已知角终边相同角的集合.
扳手在拧动螺母过程中转体几周,角的范围如何来表示
问题 1 ：如图，当摩天轮在持续不断地转动时，
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
只要时间足够长，摩天轮所转过的角度大小一定会超过360°
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？
甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转.
概念讲解
角的分类：按一条射线绕其端点的旋转方向，角可以分为三类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角，如图∠α；
负角：按顺时针方向旋转形成的角，如图∠β ；
零角：没有做任何旋转形成的角；
O
A
B
α
正角
O1
A1
B1
β
负角
注意：如果角 α 与角 β 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α = β；
用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.
练习1：说出下列α、β的大小.
O
A
B
O
A
B
α=450°，β=-630°
问题 2 ：如图，类比实数的加减运算，说说将 α 的终边再次逆时针旋转 β 后该如何表示？
α
β
把角 α 的终边旋转角 β，这时终边所对应的角是 α + β ；
思考：若将 α 的终边顺时针旋转 β 后又该如何表示？
顺时针旋转的角 β 为负角，这时终边所对应的角是 α – | β |；
注：字母 α、β 表示任意角，本身即是带有符号的.
任意角的运算
当 α，β 的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针；为了方便，可用 |α| 、|β| 表示相应的旋转量；
按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角；
即：角 α 的相反角记为 – α.
O
A
B1
α
B2
- α
O
A
B1
- α
B2
α
归纳总结
练习2：射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD大小.
解:由题意知∠AOB=-80°，∠BOC=250°，∠COD=-270°，
因此∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD =-80° + 250°-270°=-100°.
O
α = 25°
β = – 120°
x
y
问题 3 ：如图，角 α 是第一象限角，角 β 是第三象限角，试计算 α + β 的值，并说说结果所得的角位于第几象限？
α + β = 25°+ (-120°) = -95°；
-95°的角位于第三象限.
象限角：将角放在平面直角坐标系中来讨论，约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴上，此时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.
思考：若角 α 的终边在坐标轴上，那么角 α 还是象限角吗？
若角的终边在坐标轴（x / y）上，那么这个角不属于任何一个象限，我们把这样的叫轴线角，如右图的角γ.
O
x
y
γ
O
x
y
B
– 30°
330°
– 390°
问题 4：分别将 30°、 – 390°及 330°的角，画在坐标系中，结合图象说说你有什么发现？
即： 30°、 – 390°及 330°是终边相同的角.
由图可知，角的终边 OB 除了可以表示 -30°的角之外，还可以表示 -390°，330°等角；
思考：结合上述问题，你发现了终边相同的角的变化规律吗？
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：
S={ β | β = α + k·360°，k∈Z }
即：任一与 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和.
注意：
（1）α是任意角；
（2）集合中 α 与 k·360°间用“+”连接；
如： k·360°-30°应看成 k·360°+ (-30°)，表示与 -30°角终边相同的角.
概念讲解
例1 已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．A C
C．A＝B D．B
D
【解析】第一象限角可表示为k·360°<α锐角可表示为0°<β<90°；
小于90°的角可表示为γ<90°；
由三者之间的关系可知，选D.
例2 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式
－360°≤β<720°的元素β写出来.
解:直线y＝x与x轴的夹角是45°，在[0°，360°]内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.
因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．
所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
例2 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式
－360°≤β<720°的元素β写出来.
(1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360 °与α之间用“＋”号连接，如k·360 °－30 °应看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)．
(2)在0 °到360 °范围内找出与直线y＝x终边相同的角，再推广到任意角．
(3)终边相同的角的取值是由k的取值决定的．
方法归纳
例3 已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}
{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
变式：若将例3改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}
{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}
起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
表示区间角的三个步骤
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步
第一步
方法归纳
根据今天所学，回答下列问题：
（1）按照旋转方向不同，可以将角分为几类？相等的角有什么特征？
（2）象限角是如何定义的？
（3）如何表示终边相同的角？
1．思考辨析
(1)第二象限角大于第一象限角．(　　)
(2)第二象限角是钝角．(　　)
(3)终边相同的角一定相等．(　　)
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)
×
×
×
√
2．下列各个角中与2024°终边相同的是(　　)
A．－154° B．684°
C．324° D．224°
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是 ．
D
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}

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