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2025年山西省中考数学模拟练习训练卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1 . 年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，
至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 .下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. 若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
5 . 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6. 若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
7 . 小明准备在2024年国庆期间去看电影，他想在《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》
《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，
则小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是（ ）

A． B． C． D．
8 . 如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，
则拱高为（ ）
A． B． C． D．
9 . 某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．
途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，
跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．
下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点分别落在边上，若，则小正方形的边长为（ ）

A． B．5 C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
如图，以五边形的边为边，在正五边形内作正方形，
连结．则的度数为 ．

2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
14 . 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，
，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，
则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ．
15 . 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (1)计算：
(2)解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
17. 解分式方程：．
18 . 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，
某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
求随机抽取的八年级学生人数；
(2) 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(3) 请补全频数直方图；
(4) 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分；
(5) 该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，
请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，
用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
(2) 商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，
商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，
试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？
为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），
将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，
支架为，面板长为为．（厚度忽略不计）
(1)求支点离桌面的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．
当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？
增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
21. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
22 . 如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为轴、中心线为轴建立平面直角坐标系，则水柱高度（单位：）与水柱距离喷水池中心的水平距离（单位：）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2时，达到最大高度3.61，此时水柱刚好经过中心线上的点，已知点距水面高2.61．
求如图2所示抛物线的解析式．
(2) 为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，
要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用表示．（仅考虑轴右侧的情况）．
① 求的取值范围；
② 若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时的值______．
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年山西省中考数学模拟练习训练卷解答
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1 . 年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，
至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：B．
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
3 .下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别利用幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项进行计算即可．
【详解】A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法正确，符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
4. 若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
【答案】C
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，
∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0，
解得：且k≠0．
故选C．
5 . 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数和中位数的定义即可得出答案，熟练掌握众数和中位数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9，
处在第、位的是，故中位数是，
故选：A．
6.若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点、、、分别在反比例函数的图象上，
∴；
∴函数值最小的是；
故选C．
7 . 小明准备在2024年国庆期间去看电影，他想在《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．可以先画树状图，共有20种等可能的结果，其中小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的结果有2种，
∴小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是．
故选：C
8 . 如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，
则拱高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或4，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故选：C．
9 . 某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是．
【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
10．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点分别落在边上，若，则小正方形的边长为（ ）

A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得，求出，证得，得出，过点K作于K，可证明，利用相似三角形对应边成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵5个小正方形全等，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
过点K作于K，如下图所示，

则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴小正方形的边长为，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
如图，以五边形的边为边，在正五边形内作正方形，
连结．则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】本题考查了正多边形的内角和，等边对等角求角度，三角形内角和定理．熟练掌握正多边形的内角和，等边对等角求角度，三角形内角和定理是解题的关键．由题意知，正五边形的内角和为，则，，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，正五边形的内角和为，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
14 . 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
15 .如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (1)计算：
(2)解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据有理数混合运算，以及特殊三角函数指，
化简得：，由此进行计算即可求得结果；
（2）根据不等式组运算，可以求得不等式组解集为：，准确在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：（1）原式=
=；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
解集在数轴上表示如图所示：
17. 解分式方程：．
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出未知数的值，再进行检验，
从而确定原方程的解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
方程的解为．
18 . 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的八年级学生人数；
(2)扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(3)请补全频数直方图；
(4)抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分；
(5)该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
【答案】(1)60人
(2)90
(3)图见解析
(4)77
(5)390人
【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体：
（1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可；
（2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可；
（3）求出D组人数，补全直方图即可；
（4）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（5）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：（人）；
（2）；
故答案为：90；
（3）D组人数为：；补全直方图如图：
（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
∴中位数为：；
（5）（人）．
19．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价的和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种商品的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品的件数少于乙种商品的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1100元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元
(2)该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元
【分析】（1）设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，根据“用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同”列出方程，即可求解，
（2）总购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“进货的总资金不超过1100元”求出的范围，列出总利润关于进货量的一次函数关系式，即可求解，
本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：找出方程中的等量关系．
【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价元，则每件乙种商品的进价为元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
所以，
故答案为：每件甲种商品的进价是元，每件乙种商品的进价是元，
（2）解：总利润为元，购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，，
∴，
∵比例系数，
∴随着的增大而减小，
∴当时，由最大利润（元），，
故答案为：该商场进货甲种商品10件，乙种商品70件，利润最大，最大利润是770元．
20.为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，支架为，面板长为为．（厚度忽略不计）
(1)求支点离桌面的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)支点C离桌面l的高度；
(2)面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约
【分析】（1）作，先在求出的长，再计算即可得答案；
（2）分别求出时 和时，的长，相减即可．
【详解】（1）解：如下图，作，
，
，
，
，
支点C离桌面l的高度；
（2）
，
，
当时，，
当时，，
，
面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约．
21. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)点P的坐标为；
(3)或．
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，
最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
22 . 如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为轴、中心线为轴建立平面直角坐标系，则水柱高度（单位：）与水柱距离喷水池中心的水平距离（单位：）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2时，达到最大高度3.61，此时水柱刚好经过中心线上的点，已知点距水面高2.61．
(1)求如图2所示抛物线的解析式．
(2)为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用表示．（仅考虑轴右侧的情况）．
①求的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时的值______．
【答案】(1)
(2)①②5
【分析】（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点，设该抛物线的解析式为，将点代入求解即可；
（2）对于抛物线，当时，可解得或（舍去）；
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，此时抛物线解析式为，令，即有，解得或（舍去），即可确定的取值范围；②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为，则抛物线解析式为，根据题意，将点代入并求解，可得，即可确定此时抛物线解析式为，再令，求解即可确定此时喷头位置．
【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点，
设该抛物线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）①对于抛物线，
当时，可有，
解得或（舍去），
根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，
此时抛物线解析式为，
令，即有，
解得或（舍去），
∴的取值范围为；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为，
则抛物线解析式为，
当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点，
将点代入抛物线，
可得，
解得或（滑动距离超出①中范围，舍去），
∴此时抛物线解析式为，
令，即有，
解得或（舍去），
∴此时喷头位置为．
故答案为：5．
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
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