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陕西省渭南市 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {1,4}， = {2,5}，则 ∪ ( ) =( )
A. {2,3,5} B. {1,3,4} C. {1,2,4,5} D. {2,3,4,5}
2.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( )在[0, +∞)上是增函数，则下列各式一定成立的是( )
A. (2) > ( 5) B. ( 5) < (0) C. ( 2) < (0) D. ( 5) > (2)
3.已知 ， ， ∈ ，则 2 > 2是 > 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在下列区间中，函数 ( ) = + 4 3的零点所在的区间为( )
1 1 1 1 1 3
A. ( , 0) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )
4 4 4 2 2 4
5.若数据 1， 2，…， 10的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是( )
A. 数据4 1 + 1，4 2 + 1，…，4 10 + 1的平均数为13
B. 数据3 1，3 2，…，3 10的方差为12
C. ∑10 =1 = 30
D. ∑10 2 =1 = 130
1 1
6.在同一直角坐标系中，函数 = ， = ( + )( > 0，且 ≠ 1)的图象可能是( ) 2
A. B.
C. D.
7.函数 = log ( 1) + 1( > 0且 ≠ 1)恒过定点 ，且 点在直线 + = 1上，( > 0, > 0)，则
2 +1 2
+ 的最小值为( )

A. 6 + 2√ 2 B. 10 C. 8 + 2√ 2 D. 8
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2
2 , ≥ 0
8.已知函数 ( ) = { +1 ，若函数 ( ) = ( ) 有三个不同的零点
1 1
， 2， 3( 1 < 2 < 3)，则
, < 0

1 1 1
+ + 的取值范围是( )
1 2 3
A. (3, +∞) B. (2, +∞) C. [2√ 2, +∞) D. (2√ 2, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
1
A. 命题“ ∈ ， 2 + > 0”是真命题
4
B. 命题“ ∈ ，使得 2 + 1 = 0”是假命题
C. 是 ∩ = 的充要条件
1
D. = 是集合 = { | 2 + + 1 = 0}中只有一个元素的充要条件
4
10.下列命题是真命题的有( )
A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量
为30
B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5,124.5]
内的频率为0.4
C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，标准差分别为√ 3和2，人数之比为1：3，则甲、乙两队全
63
部队员体重的平均数为66，方差为
4
D. 一组数6，4，3，5，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
1
|( ) 1|, ≤ 1
11.已知函数 ( ) = { 2 ，若函数 = ( ) 有四个零点，从小到大依次为 1， 2， 3， 4
| 4( 1)|, > 1
则下列说法正确的是( )
A. 1 + 2 > 0
B. 3 + 4的最小值为4
C. 2 < 2 + 4 ≤ 4
D. 方程 [ ( )] = 0最多有10个不同的实根
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
( > 0) 1
12.已知函数 ( ) = { 2 ，则 [ ( )]的值是______． 3 ( ≤ 0) 4
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13.依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，25是一个2位数，100是一个3位数，实数 ∈ (0, +∞)，
∈ ，若10 ≤ < 10 +1，则 ≤ < + 1， 为 + 1位数，据此，8999是一个______位数(附 89 ≈
1.949)．
2
14.若对任意 ∈ (0, +∞)，不等式 ≥ 2 恒成立，则 的最小值是______． +4
1 2
15.已知实数 ， 满足 + = 2，ln 2 + = 0，则 + = ______． 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
1 1
(1)已知 + 1 = 3，求 2 + 的值；
√
(2)求值： 2 + ( 5)2 + 5 2 + 20．
17.(本小题13分)
已知集合 = { |2 ≤ ≤ 2 + }， = { | ≤ 1或 ≥ 4}．
(1)当 = 3时，求 ∩ ；
(2)“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题15分)
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 和195 之间，将测量结果
按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法
得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．
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19.(本小题15分)
有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量 (单位： )与速
度 (单位： / )的数据，如表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
① 1( ) =
2 + + ( , , ∈ )；② 2( ) = + ( , ∈ )．
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理由)，并求出相应的函数解析式．
(2)现有一辆同型号电动汽车从 地出发经高速公路(最低限速60 / ，最高限速120 / )匀速行驶到距离
为500 的 地，出发前汽车电池存量为65 ，汽车到达 地后至少要保留5 的保障电量(假设该
电动汽车从静止加速到速度为 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高速公路上有一功率
为16 的充电桩(充电量=充电功率×充电时间)．
( )求出行驶过程中，耗电量 ( )的函数解析式，并说明其单调性(不需证明)．
( )若不充电，该电动汽车能否到达 地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从 地到达 地所用时间
(即行驶时间与充电时间之和)的最小值．
20.(本小题17分)
2 ( 1)
设函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)是定义在 上的奇函数．
(1)求 的值；
(2)若 (1) > 0，求使不等式 ( 2) + ( 1) < 0对一切 ∈ 恒成立的实数 的取值范围；
3
(3)若函数 ( )的图象过点(1, )，求 ( ) = 2 + 2 ( )在[1, log
2 2
3]上的最小值．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
9
13.【答案】193
2
14.【答案】
3
15.【答案】2
1 1
16.【答案】解：(1)由 + 1 = 3，得 > 0， 2 + 2 > 0，
1 1
所以( 2 + 2)2 = + 1 + 2 = 5，
1 1
所以 2 + 2 = √ 5．
(2) 2 + ( 5)2 + 5 2 + 20 = 2 + 5 ( 5 + 2) + 20
= 2 + 5 + 20 = 2 + lg(5 × 20) = 2 + 100 = 4．
17.【答案】解：(1)当 = 3时， = { | 1 ≤ ≤ 5}，
所以 ∩ = { | 1 ≤ ≤ 1 或4 ≤ ≤ 5}，
(2)由题可知， = { |1 < < 4}，
因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
2 > 1
所以 ，可得{ ，解得 < 1． 2 + < 4
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4
18.【答案】解：(1)根据题意可得第七组频率为1 5 × (0.008 + 0.016 + 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.008) =
50
0.06；
(2)根据题意可得平均数估计为：
4
157.5 × 0.04 + 162.5 × 0.08 + 167.5 × 0.2 + 172.5 × 0.2 + 177.5 × 0.3 + × 182.5 + 0.06 × 187.5 +
50
0.02 × 192.5 = 174.1，
因为前几组的频率依次为0.04，0.08，0.2，0.2，
所以中位数在[170,175)内，
0.5 0.04 0.08 0.2
所以中位数为170 + = 174.5；
0.04
(3)由频率分布直方图知第六组有4人，第八组有2人，把它们分别编号为 ， ， ， ，1，2，
从这6人中任选2人，所得样本空间为：
{ , , , 1, 2, , , 1, 2, , 1, 2, 1, 2,12}，有15个样本点，
其中两名男生在同一组的样本点为 ， ， ， ， ， ，12，共7个，
7
所以所求概率为 = ．
15
19.【答案】解：(1)选择函数模型①，
3600 + 60 + = 8.8 = 0.002
由题意可知：{4900 + 70 + = 11 ，解得{ = 0.04，
6400 + 80 + = 13.6 = 4
所以 ( ) = 0.002 21 0.04 + 4；
(2)( )设耗电量为 ( )，
500 2000
则 ( ) = 1( ) = + 20(60 120)
由对勾函数的性质可知， ( )在区间[60,120]单调递增；
220
( )由( )知 ( ) = (60) = > 65 5， 3
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达 地；
又设行驶时间与充电时间分别为 1， 2，总和为 ，若能到达 地，
则65 + 16 2 ( ) 5，
2000
解得 2 + 5， 16 16
500 2000
所以总时间 = 1 + 2 + + 5 16 16
第 6 页，共 8 页
625 625 15
= + 5 2√ 5 = ，
16 16 2
625
当且仅当 = ，即 = 100时等号成立，
16
15
所以该汽车到达 地的最少用时为 小时．
2
20.【答案】解：(1)因为 ( )是定义在 上的奇函数，
所以 (0) = 1 ( 1) = 0，解得 = 2，
2 1
当 = 2时， ( ) = = ， ∈

所以 ( ) = = ( )，
所以 = ( )为奇函数，
所以 = 2；
2 1
(2)由(1)得 ( ) = ，
2 1
若 (1) > 0，则 > 0，结合 > 0且 ≠ 1，解得 > 1，

因为 > 1时，函数 = 为单调增函数，函数 = 为单调减函数，
2 1
则 ( ) = = ( > 1)为单调递增函数，
( 2) + ( 1) < 0等价于 ( 1) < ( 2) = ( 2 )，
可得 1 < 2 ，
则依题意有 2 ( + 1) + 1 > 0对一切 ∈ 恒成立，
则 = ( + 1)2 4 < 0，解得 3 < < 1，
即实数 的取值范围为( 3,1)；
3 2 1 3
(3)函数 ( )的图象过点(1, )， (1) = = ，结合 > 0且 ≠ 1，解得 = 2，
2 2
( ) = 2 + 2 ( ) = 22 + 2 2 (2 2 )，
22 + 2 2 = (2 2 )2 + 2， ( ) = (2 2 )2 (2 2 ) + 2，
设 = ( ) = 2 2 ，由(2)知 ( )为单调递增函数，
3 8
所以当 ∈ [1, log23]时， ∈ [ , ]， 2 3
3 8
记 ( ) = 2 + 2， ∈ [ , ]，
2 3
8 16 3 8
当 ≥ ，即 ≥ 时， ( )在[ , ]上单调递减，
2 3 3 2 3
8 82 8
所以 ( ) = ( ) = ； 3 9 3
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3 8 16
当 < < ，即3 < < 时，
2 2 3 3
3 8
( )在[ , ]上单调递减， ( )在[ , ]上单调递增，
2 2 2 3
2
所以 ( ) = ( ) = 2 ； 2 4
3 3 8
当 ≤ ，即 ≤ 3时， ( )在[ , ]上单调递增，
2 2 2 3
3 17 3
所以 ( ) = ( ) = ； 2 4 2
16 82 8
综上，当 ≥ 时， ( )最小值为 ；
3 9 3
16 2
当3 < < 时， ( )最小值为2 ；
3 4
17 3
当 ≤ 3时， ( )最小值为 ．
4 2
第 8 页，共 8 页

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