资源简介

保密★启用前
2024—2025学年高二上学期教学质量检测
数学试题
2025.01
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知，，且，则x的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知直线l过点(1, -1)，且l的一个方向向量为(2, -3)，则直线l的方程为
A． B． C． D．
3．在等差数列中，若，则k的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
4．预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为
A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内k＞0，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化
D．若在某一时期内k＝0，则这期间人口数不变
5．设曲线，的离心率分别为e1，e2，若，则a＝
A． B． C． D．2
6．已知数列满足：，，则a1＝
A． B． C．1 D．2
7．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为，则为
A． B．
C． D．
8．已知直线与圆相交于两点，则
的最小值为
A． B． C． D．23
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若数列为等差数列，Sn为前n项和，S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，下列说法中正确的有
A．d＜0 B．a5＜0
C．S6和S7均为Sn的最大值 D．S9＞S5
10．已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有
A．曲线C的方程为
B．若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为
C．曲线C与圆的公共弦长为
D．若B(1,1)，则的最小值为
11．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M, N分别为CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且，下列说法中正确的有
A．直线MN与AA1所成角的大小为
B．AM⊥PN
C．PN与平面ABC所成最大角的正切值为2
D．点N到平面AMP距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．双曲线的渐近线方程为__________．
13．在三棱锥P-ABC中，，，，则直线AP与平面ABC所成角的余弦值为__________．
14．若项数有限的数列满足，且，，则称数列为“n阶上进数列”．
①若等比数列是“2024阶上进数列”，则数列通项公式为__________；
②若等差数列是“2025阶上进数列”，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知空间四点A(0,2,3)，B(2,-2,-1)，C(1,4,3)，D(-1,3, λ)．
（1）求以AB, AC为邻边的平行四边形面积；
（2）若A、B、C、D四点共面，求λ的值．
16.（15分）如图，已知圆O：x2＋y2＝5与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(1, y0) (y0＞0)，AB为圆O的直径，抛物线的弦CD∥AB，且直线CD与圆O相切．
（1）求直线CD的方程；
（2）求 BCD的面积．
17.（15分）已知数列是等差数列，公差d≠0，Sn为前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，且，求Tn．
18.（17分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，直线B1D与平面BB1C1C所成角的正切值为，M, N, P分别为棱DD1, DA, DC上异于D点的动点．
（1）若P是CD的中点，求证：B1P⊥平面APD1；
（2）定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的两个垂足之间的线段长度．求异面直线BC1与B1D的距离；
（3）若直线B1D与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面PBB1的夹角余弦值的取值范围．
19.（17分）极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点M(x0, y0)（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知F1, F2为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点M对应椭圆C的极线lM交x＝±a于A, B两点，求证：以AB为直径的圆恒过F1, F2；
（3）若P(xP, yP)为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线lP交椭圆C于Q, R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．2024~2025学年高二上学期教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C A D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 AC ABD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13. 14. （形式不唯一）， （注：第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
（1），，
又，， ……………………………………2分
……………………………………5分
所以，四边形的面积为
所以，以，为邻边的平行四边形面积为12 ……………………………………7分
（）
∵A、B、C、D四点共面
∴存在唯一一对实数使得 ……………………………………9分
∴，解得：
∴的值为 ……………………………………13分
16.（15分）
（1）∵圆与抛物线交于点
∴，解得：
∴抛物线方程为： …………………………………3分
∵，∴ ∴直线的斜率，
设直线的方程为：
∵直线与圆相切
∴，解得：（舍）或 ……………………………………6分
∴直线的方程为： ……………………………………7分
（2）由得：
设， ， ……………………………………9分
…………………………………12分
∵CD∥AB，∴点到直线的距离为点到直线的距离，
则距离
∴的面积 ……………………………………15分
17.（15分）
（1）∵
∴，， ∴， ……………………………………2分
若，则，与已知矛盾； ……………………………………4分
若，则，，，即，，符合题意. …………6分
∴ ……………………………………7分
（若无严格推理扣4分，其它情况酌情给分）
（2）由（1）知，，， …………………9分
∴ …………………………12分
∴
…………………………………………15分
18.（17分）
解：连接，因为平面BB1C1C，
所以为直线B1D与平面BB1C1C所成角
所以，又，所以.
在长方体中，以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，. …………………2分
（1）当P是CD的中点时，
，，
∴，
，，又，
平面APD1 …………………………………5分
（2），，
设，由，
∴，∴
令，取 …… ………………………8分
∴异面直线BC1与B1D的距离为： …… ………………………9分
（3）设，，
由点在直线B1D上，则，∴
∴，，，
又∵，∴，
∴， （*）
∴,,
设平面的法向量为
由，得
令得： ……………………………12分
设平面的法向量为
，
由，得
令得： …………………………13分
设平面与平面的夹角为
∵M, N, P分别为棱DD1, DA, DC上异于D点的动点，由（*）得：
当时，，
当时，令，则，
∴
∴平面MNP与平面所成夹角余弦值的取值范围为． …………………………17分
19.（17分）
解：（1）由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得，
又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线 …………………2分
极线过点，所以，
联立方程解得，所以椭圆的方程为. ……………………4分
（2）由（1）知动点对应椭圆的极线，
联立方程，解得或，
不妨令，， ………………………6分
由椭圆的方程易知，，所以，，
又因为点在椭圆上，则，，
所以，同理可知， ……………………8分
所以，所以以为直径的圆恒过，； …………………9分
（3）由题意知曲线的方程为，又在曲线上，则，
点对应椭圆的极线，
联立，，即，
，不妨令，，
， …………………………11分
设为的中点所以，，
所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形.
即. ………………………15分
，
点到直线的距离，
所以，
. ……………………………………17分

展开更多......

收起↑