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2024-2025学年陕西省渭南市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5.若数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法错误的是( )
A. 数据，，，的平均数为
B. 数据，，，的方差为
C.
D.
6.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.函数且恒过定点，且点在直线上，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”是真命题
B. 命题“，使得”是假命题
C. 是的充要条件
D. 是集合中只有一个元素的充要条件
10.下列命题是真命题的有( )
A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为：：，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为
B. 某一组样本数据为，，，，，，，，，，则样本数据落在区间内的频率为
C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为，，标准差分别为和，人数之比为：，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，方差为
D. 一组数，，，，，，，，，的分位数为
11.已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C.
D. 方程最多有个不同的实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知函数，则的值是______．
13.依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，是一个位数，是一个位数，实数，，若，则，为位数，据此，是一个______位数附．
14.若对任意，不等式恒成立，则的最小值是______．
15.已知实数，满足，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，求的值；
求值：．
17.本小题分
已知集合，或．
当时，求；
“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数和中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求两名男生在同一组的概率．
19.本小题分
有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据，如表所示：
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：；．
请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型不需要说明理由，并求出相应的函数解析式．
现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路最低限速，最高限速匀速行驶到距离为的地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计已知该高速公路上有一功率为的充电桩充电量充电功率充电时间．
求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性不需证明．
若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间即行驶时间与充电时间之和的最小值．
20.本小题分
设函数且是定义在上的奇函数．
求的值；
若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
若函数的图象过点，求在上的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：由，得，，
所以，
所以．
．
17.解：当时，，
所以 或，
由题可知，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，可得，解得．
18.解：根据题意可得第七组频率为；
根据题意可得平均数估计为：
，
因为前几组的频率依次为，，，，
所以中位数在内，
所以中位数为；
由频率分布直方图知第六组有人，第八组有人，把它们分别编号为，，，，，，
从这人中任选人，所得样本空间为：
，有个样本点，
其中两名男生在同一组的样本点为，，，，，，，共个，
所以所求概率为．
19.解：选择函数模型，
由题意可知：，解得，
所以；
设耗电量为，
则
由对勾函数的性质可知，在区间单调递增；
由知，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地；
又设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，若能到达地，
则，
解得，
所以总时间
，
当且仅当，即时等号成立，
所以该汽车到达地的最少用时为小时．
20.解：因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，
所以，
所以为奇函数，
所以；
由得，
若，则，结合且，解得，
因为时，函数为单调增函数，函数为单调减函数，
则为单调递增函数，
等价于，
可得，
则依题意有对一切恒成立，
则，解得，
即实数的取值范围为；
函数的图象过点，，结合且，解得，
，
，，
设，由知为单调递增函数，
所以当时，，
记，，
当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当，即时，在上单调递增，
所以；
综上，当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为．
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