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四川省巴中市 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，共 46 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3}， = { |4 1 > 0, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {2,3} B. {1,2,3} C. {0,1,2,3} D. { 1,0,1,2,3}
3
2.已知 = ，并且 是第二象限角，则 的值为( )
5
3 3 4 4
A. B. C. D.
4 4 3 3
3.命题“ ∈ ， 3 > 2 + 2”的否定是( )
A. ， 3 ≤ 2 + 2 B. ∈ ， 3 ≤ 2 + 2
C. ∈ ， 3 ≤ 2 + 2 D. ， 3 ≤ 2 + 2
4.“角 为第三象限角”是“ > 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
+3 3
5.函数 ( ) = 的图象大致为( ) +
A. B.
C. D.
6.下列不等式成立的是( )
4 2 4 3
A. ( )3 < ( )4 B. 1.70.3 < 0.93.1 C. log37 > log57 D. log23 < log47 5 5
1+ 1
7.已知 是第三象限角，化简√ √ =( )
1 sin 1+sin
A. B. C. 2 D. 2
8.已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，且 (1 + ) + (1 ) = 0，若 1 ≤ ≤ 0时， ( ) = log2(3 + 2 )，
57
则 ( ) =( )
2
1 1
A. 1 B. C. D. 1
4 2
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9.已知实数 ， 满足0 < < ，则下列不等式中一定成立的是( )
1 1
A. > B. 2 > 2

+2
C. < D. √ + 1 > √ + 1
+2
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知关于 的不等式 ( 2)( + 1) + 1 > 0的解集是( 1, 2)，其中 1 < 2，则下列结论中正确的是( )
A. 1 + 2 = 1 B. 1 2 + 2 < 0
C. 1 < 1 < 2 < 2 D. | 1 2| > 3
2 2, ≥ 0
11.已知函数 ( ) = { ，实数 ， ， 满足 ( ) = ( ) = ( ) = ，且 < < ，则( ) 2 1, < 0
A. [ ( 3)] = 35
3
B. ∈ (1, )
2
C. + + ∈ (1,2)
D. 函数 = [ ( )] 有5个互不相等的零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.函数 ( ) = + ( > 0)的最小值为______．

1
13.已知 = ，则 = ______．
3

14.根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型 = ，其中 为饱和度， 0为初
1+( 1)
0
始值，此后第 年底新能源汽车的保有量为 (单位：万辆)， 为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车
保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为10%，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区
新能源汽车的保有量约为______万辆. (结果四舍五入保留到整数；参考数据： 0.61 ≈ 0.5， 0.55 ≈ 0.6，
0.49 ≈ 0.7)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 6 ≥ 0}， = { | 5 < < 2 + 1, ≥ 0}．
(1)若 = 0，求( ) ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
在直角坐标系内，已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
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2√ 5 √ 5
( , )．
5 5

(1)求值： ；
tan
11
sin(2 )sin( + )sin(5 )cos( )
(2)先化简再求值： 29 ．
cos( )sin(3 )sin( + )sin( + )
2
17.(本小题15分)
求下列各式的值：
3 6
(1)2√ 3 × 3√1.5 × √12；
(2)log525 log2(log216) + log25 × log59 × (log38 log34)．
18.(本小题17分)
2
已知函数 ( ) = +1 ( 为实数)是奇函数． 2+2
(1)求 的值；
1
(2)解不等式： ( ) > ；
4
(3)若实数 满足 (2 2 3) + (1 3 ) > 0，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
2+
已知函数 ( ) = + 1 ln ，其中 < 0．
2
(1)证明：函数 ( )的图象是中心对称图形；
(2)设 2 < < 0，证明： ( ) > 1；
(3)令 ( ) = 2 + 2 + 2 ，若 1 ∈ [ 1,1]， 2 ∈ [ 1,1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
3
13.【答案】
10
14.【答案】36
15.【答案】解：(1) = { | ≤ 2或 ≥ 3}， = 0时， = { | 5 < < 1}，
∴ = { | 2 < < 3}，( ) ∩ = { | 2 < < 1}；
(2) ∵ ∪ = ，且 = { | 5 < < 2 + 1, ≥ 0}，
5 ≤ 2
∴ { ，解得1 ≤ ≤ 3，
2 + 1 ≥ 3
∴ 的取值范围为：[1,3]．
√ 5 2√ 5 1
16.【答案】解：(1)由题意， = ， = ， = ，
5 5 2
√ 5 2√ 5
+
则 = 5 5
2√ 5
= ；
tan 1 5
2
11
sin(2 )sin( + )sin(5 )cos( )
(2) 29
cos( )sin(3 )sin( + )sin( + )
2
( ) ( )
=
cos sin ( sin ) cos
1
= tan2 = ．
4
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3 6 6 6 9 6
17.【答案】解：(1)2√ 3 × 3√1.5 × √12 = 2√27 × 3√ × √12
4
6 9
= 6√27 × 12 × = 6 × 3 = 18；
4
(2)log525 log2(log216) + log25 × log59 × (log38 log34)
= 2 log24 + log25 × log59 × log32
9 5 2
= 2 2 + × ×
5 2 3
= 2 2 + 2
= 2．
2
18.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = ( 为实数)是奇函数，
2+2 +1
1
由奇函数的性质可得， (0) = = 0，
4
1 2
所以 = 1，经检验 ( ) = 符合题意；
2+2 +1
1 2 1
(2)由(1)得 ( ) =
2+2 +1
> ，
4
整理得，2 < 3，即 < log23，
故不等式的解集为{ | < log23}；
(3)因为 ( )为奇函数且实数 满足 (2 2 3) + (1 3 ) > 0，即 (2 2 3) > (1 3 ) = (3
1)，
1 2 1 1
因为 ( ) = = + 在 上单调递减，
2+2 +1 2 1+2

所以2 2 3 < 3 1，
1
解得 < < 2，
2
1
故 的范围为( , 2)．
2
2+
19.【答案】解：(1)证明：函数 ( ) = + 1 ln 的定义域为( 2,2)，
2
2 2+ 2 2+
因为 ( ) + ( ) = + 1 ln + + 1 ln = 2 ln( ) = 2，
2+ 2 2+ 2
所以，函数 ( )的图象关于点(0,1)对称，
所以，函数 ( )的图象是中心对称图形．
2+
(2)证明：由已知， ( ) = + 1 ln ( 2 < < 0)，
2
设 1， 2 ∈ ( 2,0)，且 1 < 2，
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2+ 2+
( 1) ( 2) = 1 + 1 ln
1 ( 2 + 1 ln
2)
2 1 2 2
(2+ 1)(2 = ( 2
)
1 2) ln ， (2 1)(2+ 2)
因为(2 + 1)(2 2) (2 1)(2 + 2) = 4( 1 2) < 0，
即(2 + 1)(2 2) < (2 1)(2 + 2)，
又(2 + 1)(2 2) > 0，(2 1)(2 + 2) > 0，
(2+ )(2 )
所以 1 2 < 1，
(2 1)(2+ 2)
(2+ 1)(2 2)则ln < 0，又 ( ) > 0，
(2 1)(2+
1 2
2)
所以 ( 1) ( 2) > 0， ( 1) > ( 2)，
所以， ( )在区间( 2,0)上单调递减，
所以 ( ) > (0) = 1；
(3)由已知， 1 ∈ [ 1,1]， 2 ∈ [ 1,1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，
则只需[ ( )] ≤ [ ( )] 即可，
由(2)可知， ( )在区间( 2,0)上单调递减，根据(1)知，函数 ( )的图象是中心对称图形，
所以 ( )在区间( 2,2)上单调递减， ( )在区间[ 1,1]上单调递减，
则 ∈ [ 1,1]时， ( ) = ( 1) = + 1 + 3．
函数 ( ) = 2 + 2 + 2 ， ∈ [ 1,1]，
1
令 = 2 ， ∈ [ 1,1]，则 ∈ [ , 2]．
2
1 1
令 ( ) = + + 2 .设 ， ∈ [ , 2]，且 < ，
1 2 2 1 2
1 1 1 1 (
则 ( ) ( ) = + + 2 ( + + 2 ) = + = 1 2
1)( 1 2)
1 2 1 2 ． 1 1 22 1 2 1 2
1 1
当 1， 2 ∈ [ , 1)时， ( 1) ( 2) > 0，故 ( )在区间[ , 1]单调递减； 2 2
1
当 1， 2 ∈ (1,2]时， ( 1) ( 2) < 0，故 ( )在区间[ , 1]单调递增． 2
1
所以 ( )的最大值为 ( )与 (2)中的最大者，
2
1 5
因为 ( ) = (2) = + 2 ，
2 2
5
所以， ( ) = + 2 ， 2
5
即 ( ) = + 2 ， 2
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由[ ( )] ≤ [ ( )] ，
5
得 + 1 + 3 ≤ + 2 ，
2
1 3
解得 ≥ + ，又 < 0，
2 3
1 3
所以， 的取值范围是[ + , 0)．
2 3
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