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河北省石家庄市2025届高三一轮诊断考试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为，则( )
A. B. C. D.
5.设函数在区间上单调递减，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若函数的定义域内存在，，使得成立，则称为“完整函数”已知是上的“完整函数”，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
A. 该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为
B. 样本中年收入不低于万元的小型民营企业的个数比年收入低于万元的个数少
C. 规定年收入在万元以内不含万元的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有的小型民营企业能享受到减免税政策
D. 估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数
10.已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是( )
A. 实数的值为或
B. 在上单调递增
C. 若是的一个极小值点，则当时，
D. 若是的一个极大值点，则当时，
11.如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，，它们的中心分别为，，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成若该“正六角反棱柱”的各棱长都为，则下列命题正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 平面
C. 该多面体外接球的表面积为
D. 直线与下底面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知向量，满足，，则 ．
13.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，与准线交于点，，则直线的斜率为 ， ．
14.在中，角，，的对边分别为，，已知，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程
讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值．
16.一家调查机构在某地随机抽查名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民
男性居民
合计
依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异
从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，再从中抽取人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有名男性居民也参加座谈的概率
从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出人，再从中随机抽取人进行座谈，记这人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，点在线段上．
证明：平面．
若平面，，，，平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为．
求椭圆的标准方程
过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆内包括圆周，求的取值范围．
19.若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”．
设，，证明：数列是数列的“分割数列”．
设，是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由．
设是首项为，公比为的递增等比数列，是的前项和，若数列是的“分割数列”，求实数与的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，，
所以，又，
所以所求切线的方程为，即．
的定义域为，，
当时，或．
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值．
由，解得．
16.解：零假设为对新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异．
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，此推断犯错误的概率不大于．
由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为，所以抽取男性人，女性人，
再从中抽取人进行座谈，有女性居民记为事件，则，
恰有名男性居民记为事件，则，
所以在有女性居民参加座谈的条件下，
恰有名男性居民也参加座谈的概率为．
在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出人，可得抽取结果如下表：
再从中随机抽取人进行座谈，记这人中倾向于购买新能源车的居民人数为，可取，，，，
求出，
，
，
，
的分布列如下：
数学期望．
17.证明：连接，设，连接因为四边形是平行四边形，所以，
又为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
解：因为，，，所以，则．
又平面，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示
由，，，可知，，，．
设，则，
设是平面的法向量，由得
取，可得取平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则，解得，
所以．

18.解：因为，所以，
则，
解得．
因为的面积为，所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
设点，
当直线的斜率不存在时，的方程为，不妨设，，
易求．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则
消去得，
所以，．
因为点在圆内包括圆周，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即恒成立，
所以
解得
综上，的取值范围为．
19.证明：因为是递增数列，满足对任意的，存在，使得，
所以．
又，，
所以，
解得，取，满足“分割数列”的定义，所以是的“分割数列”．
解：因为，所以，．
假设是的“分割数列”，则，
即，整理得．
当时，，所以，则，
易知在上单调递增，
因为，，，所以满足条件的不存在，故不是的“分割数列”．
解：因为单调递增，所以或
当，时，对任意的，有，
因此有，故不存在，使得，不符合题意．
当，时，因为是的“分割数列”，
所以，即，
化简得，
即，
两边取对数得
记，，则，
下面分析，的取值范围．
当时，为减函数，因此，
即
当时，，因此总有，
所以，，
因此总存在满足条件，符合题意．
当时，，
根据函数零点存在定理，并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得，
此时有
则，即，显然不存在满足条件的正整数．
综上，可知，
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