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(共32张PPT)
第六章 变量之间的关系
章末小结
七下数学 BSD
丰富的现实情境
变量及其关系
利用变量之间的关系解决问题、进行预测
自变量和因变量
变量之间关系的探索和表示(表格、关系式、图象)
分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间的关系
一、变量与常量
1.常量：在某个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量.
变量：在某个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量.
2.自变量和因变量
在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且变量y随着变量x的变化而变化，那么我们就说x是自变量，y是因变量.
在变化过程中起主导作用的那个变量是自变量.
1.你知道为什么冬天电瓶车的电池不耐用 因为电瓶车通常使用铅酸电池或锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右.随着温度的降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用.在这个变化过程中，自变量是( )
A.温度 B.化学物质 C.电池 D.电瓶车
解析:因为电池中的化学物质的活性随温度的变化而变化，所以在这个变化过程中，自变量是温度.
A
2.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系可表示为C=2πr.下列判断正确的是( )
A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D. C是常量
解析:在C=2πr中，2，π是固定的值，不发生变化，故为常量；
r和C是变化的量，故r，C是变量.
C
二、用表格表示变量之间的关系
1.观察表格三步骤
(1)通过表格确定自变量与因变量(一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量)；
(2)纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；
(3)分别观察横向两栏，从中发现因变量随自变量的变化而呈现的变化趋势.
2.用表格表示两个变量之间关系的优缺点
(1)优点:直接，可以直接从表格中找出自变量和因变量的对应值；
(2)缺点:具有局限性，不能全面准确地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，因此从这部分数据中观察因变量随自变量的变化而变化的趋势时，需要对表格中的数据进行分析.
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
解:(1)表格反映了易拉罐的用铝量和底面半径的关系，
其中易拉罐的底面半径为自变量，用铝量为因变量.
3.某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的用铝量与底面半径的关系如下表:
(2)当易拉罐的底面半径为2.4 cm时，用铝量是多少
(2)当易拉罐的底面半径为2.4 cm时，用铝量为5.6 cm3.
3.某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的用铝量与底面半径的关系如下表:
(3)根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少比较适宜 说说你的理由.
(3)易拉罐的底面半径为2.8 cm比较适宜，因为此时用铝量最小，节约成本.
3.某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的用铝量与底面半径的关系如下表:
(4)粗略说一说易拉罐的底面半径对用铝量的影响.
(4)当易拉罐的底面半径在1.6 cm~2.8 cm之间变化时，用铝量随底面半径的增大而减小；
当易拉罐的底面半径在2.8 cm~4.0 cm之间变化时，用铝量随底面半径的增大而增大.
3.某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的用铝量与底面半径的关系如下表:
三、用关系式表示两个变量之间的关系
1.关系式法:两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫作关系式法.
2.求两个变量之间关系式的常用方法：
(1)利用公式：如图形的周长公式、面积公式、体积公式等；
(2)利用生活中特定的数量关系，
(3)根据表格与图象中的信息列关系式等.
3.根据关系式求值
根据关系式求值包括两种情况:
(1)已知自变量的值求因变量的值，相当于求代数式的值；
(2)已知因变量的值求自变量的值，相当于解方程.
解:(1)分析表格中的数据可得，弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系式为y=0.5x+12.
4. 在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:
(1)请写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的关系式.
4. 在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:
(2)在弹性限度内，当所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度是多少
(2)当所挂物体质量为10 kg时，
把x=10代入y=0.5x+12，解得y=17，
即此时弹簧长度是17cm.
4. 在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:
(3)在弹性限度内，已知弹簧长度为20 cm，求所挂物体质量.
(3)当弹簧长度为20 cm时，
把y=20代入y=0.5x+12，得20=0.5x+12，
解得x=16，即此时所挂物体质量是16 kg.
四、用图象表示变量之间的关系
1.图象法:用图象来表示两个变量之间关系的方法叫作图象法.
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
图象上的每一点都表示自变量和因变量之间的相互关系.
2.用图象法表示两个变量间关系的优缺点
优点:能直观、形象地反映变量间的变化情况并预测变化趋势.
缺点:只能反映变量间的部分关系，且难以得到准确的对应值.
3.图象的识图技巧
(1)注意两数轴上的名称与单位；
(2)分布规律:横轴上的点表示自变量，纵轴上的点表示因变量；
(3)识图关键:弄清图象上点的意义，找准关键点，注意图象的起点、终点、最高点、最低点、拐点等特殊位置，并弄清这些点所表示的意义.
4.探究速度随时间的变化
加速
速度v
时间t
速度v
时间t
减速
速度v
时间t
匀速
0
0
0
变化速率相同
变化速率相同
速度v
时间t
静止
速度v
时间t
减速
加速
0
0
变化速率不同
速度v
时间t
0
变化速率不同
5.探究距离随时间的变化
距离s
时间t
距离s
时间t
距离s
时间t
匀速
匀速
静止
渐行渐远
回到原地
0
0
0
距离s
时间t
静止
距离s
时间t
变速
加速
距离s
时间t
变速
减速
0
0
0
回到原地
渐行渐远
5.放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然他想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家，小刚离家的距离s(m)和放学后的时间t(min)之间的关系如图所示，给出下列结论:
①小刚边走边聊阶段的行走速度是125 m/min；
②小刚家离学校的距离是1 000 m；
③小刚回到家时已放学10 min；
④小刚从学校回到家的平均速度是100 m/min.
其中正确结论的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
小刚边走边聊阶段的行走速度是(1 000-600)÷8=50(m/min)，①错；
当t=0时，s=1 000，即小刚家离学校的距离是1 000 m，②正确；
当s=0时，t=10，即小刚回到家时已放学10 min，③正确；
小刚从学校回到家的平均速度是1 000÷10=100(m/min)，④正确.
①小刚边走边聊阶段的行走速度是125 m/min；
②小刚家离学校的距离是1 000 m；
③小刚回到家时已放学10 min；
④小刚从学校回到家的平均速度是100 m/min.
5.放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然他想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家，小刚离家的距离s(m)和放学后的时间t(min)之间的关系如图所示，给出下列结论:
①小刚边走边聊阶段的行走速度是125 m/min；
②小刚家离学校的距离是1 000 m；
③小刚回到家时已放学10 min；
④小刚从学校回到家的平均速度是100 m/min.
其中正确结论的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
B
解析:点P沿OA运动，OP增大，图象从左到右上升；
点P沿弧AB运动，OP长度不变，图象与横轴平行；
点P沿BO运动，OP减小，图象从左到右下降.
6. 如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA—弧AB—BO的路径运动一周.设OP的长为s，点P的运动时间为t，则下列选项能大致刻画出s与t之间关系的是( )
C
7.甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(时)之间的关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法:
(1)他们都行驶了18千米； (2)甲在途中停留了0.5小时；
(3)乙比甲晚出发了0.5小时； (4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；
(5)甲、乙两人同时到达目的地.
其中，符合图象描述的说法有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(1)他们都行驶了18千米； (2)甲在途中停留了0.5小时；
(3)乙比甲晚出发了0.5小时； (4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；
(5)甲、乙两人同时到达目的地.
(4)两图象相交后，表示乙离出发地的距离与时间关系的线段的倾斜程度比表示甲离出发地的距离与时间关系的线段更陡，故乙的速度大于甲的速度.
(5)甲、乙分别在t=2.5时和t=2时到达目的地.
7.甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(时)之间的关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法:
(1)他们都行驶了18千米； (2)甲在途中停留了0.5小时；
(3)乙比甲晚出发了0.5小时； (4)相遇后，甲的速度大于乙的速度；
(5)甲、乙两人同时到达目的地.
其中，符合图象描述的说法有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B

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