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第四章 三角形
七下数学 BS
4.1.3三角形的高、中线、角平分线
4.1 认识三角形
1.了解三角形的高线、角平分线、中线的概念并掌握其特点.
2.分别探索三角形三条高、三条中线及三条角平分线之间的位置关系.
3.学会用数学知识解决实际问题的能力.
问题 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段 AD有哪些特殊的位置.
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图， 线段AD是△ABC的BC边上的高.
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
D
A
B
C
三角形高的特点:
(1)一端是顶点
(2)与对边垂直
(3)是一条线段
三角形的“中线”：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线.
如图，线段AE是△ABC的BC边上的中线.
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
B
C
A
E
中线的表达方式：
(1)AE是△ABC中BC边上的中线．
(2)点E是BC边的中点．
(3)BE＝EC或BE＝BC或EC＝BC
或BE＝EC＝BC.
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
B
C
A
E
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
1
2
A
B
C
D
∠1=∠2
三角形的角平分线的定义:
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，线段AD是△ABC的一条角平分线.
注意:“三角形的角平分线”是一条线段.
例1 如图，D为△ABC的中线，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周长为28cm，则△ABD的周长为 .
解析:因为AD为△ABC的中线，
所以BD=CD.
因为△ACD的周长为28cm，所以AC+AD+CD=28cm.
因为AC=10cm，
所以AD+CD=18cm，即AD+BD=18cm.
因为AB=13cm，所以△ABD的周长=AB+AD+BD=31cm.
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
3l cm
三角形中线的有关结论
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
周长C△ACD - C△ABD = AC-AB
面积S△ACD = S△ABD = S△ABC
知识点1 三角形的高线、中线、角平分线
例2 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(　　)
A．中线 B．角平分线
C．高 D．都不确定
A
思考 (1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
锐角三角形ABC的三条中线 AD，BE，CF 交于一点 G.
思考 (1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的三条中线的交点都在三角形内部.
三角形的三条中线交于一点.这个点称为三角形的重心.
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
思考 (3)用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，怎样确定这个点的位置呢
通过确定三角形三条中线的交点，就可以找到用铅笔支起三角形卡片的正确位置.
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
探究 三角形的三条角平分线是否交于一点.三角形的三条高呢
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
三角形的三条角平分线交于一点.
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
探究 三角形的三条角平分线是否交于一点.三角形的三条高呢
锐角三角形的三条高交于一点
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
直角三角形的三条高也交于一点，即为直角顶点；
探究 三角形的三条角平分线是否交于一点.三角形的三条高呢
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
钝角三角形的三条高不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的三条高所在直线交于一点.
探究 三角形的三条角平分线是否交于一点.三角形的三条高呢
例3 下列说法错误的是（ ）
A.三角形的三条角平分线都在三角形内部
B.三角形的三条高都在三角形内部
C.三角形的重心是三角形三条中线的交点
D.三角形的中线、角平分线、高都是线段
解析：钝角三角形有两条高在三角形外部,故选项B错误
知识点2 高线、中线、角平分线的特征
B
1.分别指出图中△ABC的三条高.
解:题图(1)中△ ABC的三条高为AB，BD，CB；
题图(2)中△ ABC的三条高为AD，BF，CE.
A
B
C
D
2.下列结论：①三角形的角平分线、中线、高都是线段；
②直角三角形只有一条高；
③三角形的中线可能在三角形外部；
④三角形的高都在三角形内部．
其中正确的有(　　)
A．1个　　　 B．2个　　　
C．3个　　　 D．4个
A
3.如图，在△ABC中， ∠ A=50°， ∠ C=72°，BD是△ ABC的一条角平分线，求∠ ABD的度数.
解:因为∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=180°，
所以∠ ABC=180°- ∠ A- ∠ C=180°-50°-72°=58°.
因为BD平分∠ ABC，
所以∠ ABD= ∠ ABC= ×58°=29°.
4.如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．
解：∠DAC＝∠EBC．
因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．
所以∠DAC＝∠EBC．
5.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠B，
∠C的平分线，试说明： ∠P= 90 +∠A.
B
A
C
P
1
2
解：因为BP，CP分别是∠B，∠C的平分线，
所以∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.
因为∠P+∠1+∠2=180 ，
∠A+∠ABC+∠ACB=180 ，
所以∠P=180 (∠1+∠2 )=180 (∠ABC+∠ACB)
=180 (∠ABC+∠ACB)
=180 (180 ∠A)
=90 +∠A.
B
A
C
P
1
2
认识三角形
定义:在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线
特征:三角形的三条中线交于一点
定义:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线
特征:三角形的三条高所在的直线交于一点
中线
角平分线
高线
定义:在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
特征:三角形的三条角平分线交于一点

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