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第四章 三角形
七下数学 BS
问题解决策略:特殊化
借助图形的特殊情形构建解决问题的思路，进而由特殊情形拓展到一般情形，利用已有的解决特殊情形的经验寻找解决一般情形的结论或方法.
问题 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略.
特殊情形下，问题变得具体简单、易于解决；
同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中.
因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路.
思考 如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合.在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少
知识点1 特殊化
A B
F
M
E
D C G
H
N
理解问题
(1)在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形
(2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积 你遇到的因难是什么
知识点 特殊化
执订计划
(1)哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出
(2)其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗
知识点 特殊化
实施计划 :(1)先考虑特殊情形.
如图，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是.
知识点 特殊化
F
E G
H
A B
D C
N
A B
D C
M
F G
E H
知识点 特殊化
A B
F
M
E
D C G
H
N
(2)将一般情形转化为特殊情形.
如图，连接EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，
则S重叠=S△BEC+S△CEN-S△BEM.
可以发现，△BEM≌△CEN，
这时，图的情形就转化为如图的情形，
S重叠 = S△BEC = .
因此，一般情形下，重叠部分的面积也是.
回顾反思
(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟
在解决一般性问题时，可通过分析问题中的条件或图形，找到特殊情形，借助特殊情形下获得的方法解决一般性问题.
知识点 特殊化
知识点 特殊化
回顾反思
(2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手 如何寻找特殊情形
一般具有复杂性或抽象性的特点.对于复杂的问题，通过将一般性问题简化为特殊情况，可以更容易地找到问题的解决方案；
对于抽象性的问题，通过将抽象的概念具体化，可以更容易地理解和处理问题.
知识点 特殊化
回顾反思
(2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手 如何寻找特殊情形
从一般情形中寻找特殊情形的方法不唯一，
如通过考察一般情形中的所有情况，从中可找到某些比较简单的特殊情形；
或将一般情形转化为极端的情形，即特殊情形等.
知识点 特殊化
思考：通过观察图形，判断线段 DE，BD，CE中哪条线段最长.
就DE，BD，CE间的数量关系你有何猜想
由图形可知线段DE最长，
猜想:DE=BD+CE.
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠BAC=∠AEC，试判断DE，BD，CE之间的数量关系为 .
知识点 特殊化
思考：题设中只给出了∠BDA=∠BAC=∠AEC，并没有具体指明这三个角的度数，那我们是不是可以先考虑特殊情形呢
比如让这三个角都等于90°，
就可以得到下面这样的特殊图形:
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠BAC=∠AEC，试判断DE，BD，CE之间的关系为 .
知识点 特殊化
分析：在这个图形中，很容易说明∠B=∠CAE，
再结合已知条件就可以得到△ABD≌△CAE，
从而说明BD=AE，DA=EC，
通过等量代换就可以得到DE=BD+CE.
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠BAC=∠AEC，试判断DE，BD，CE之间的关系为 .
DE=BD+CE
1.如图，点 P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F.小颖从特殊情形入手，认为
AF+BD+CE等于△ABC周长的.
你知道她是怎么做的吗
P
A
F
E
B
D
C
解：特殊情况:当点D，E，F恰好分别是
边BC，AC，AB的中点时，
AF+BD+CE
= AB+BC+AC
= (AB+BC+AC)
= C△ABC，
即 AF+BD+CE 等于△ABC周长的.
P
A
F
E
B
D
C
2.如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP与NQ相交干点O，求图中阴影部分的总面积.
A
M
B
C
D
Q
N
P
O
解：如图，连接AO，BO，CO，DO，过点O分别作AB，BC，CD，AD边上的高 h1，h2，h3，h4.
所以S四边形ABCD= S△ABO+S△BCO+S△CDO+S△ADO
=AB·h1+BC·h2+CD·h3+AD·h4.
因为M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，AD 的中点，
所以AB=2AM，BC=2CN，CD=2CP，AD=2AQ，
所以AB·h1+BC·h2+CD·h3+AD·h4
= 2(AM·h1+CN·h2+CP·h3+AQ·h4)
= 2S阴影，
所以S阴影= S四边形ABCD=8.
3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界.规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜.你知道获胜的策略吗
答：圆是关于圆心对称的图形，所以圆内除圆心外，任意一点都有一个(关于圆心的)对称点.
由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币，
也就是说，只要乙能放，甲就一定能放.
最后无处可放硬币的必是乙.
4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少
解：设这个三位数的各个数位上数字分别为a，b，c.
则这个三位数为100a+10b+c.
可得(100a+10b+c)÷(a+b+c)
=[(10a+10b+10c)+(90a-9c)]÷(a+b+c)
=10+9(10a -c)÷(a+b+c).
要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，
此时商的最大值为:10+9×10a÷a=10+90=100.

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