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四川省眉山中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3 + 2 1 = 0的一个方向向量是( )
A. (2, 3) B. (2,3) C. ( 3,2) D. (3,2)
2 2
2. 是双曲线 = 1上一点，点 1， 2分别是双曲线左右焦点，若| 1| = 5，则| 2| =( ) 4 12
A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2
3.已知点 ( , 3,5)， (0, , 2)， (2,7, 1)，若 ， ， 三点共线，则 ， 的值分别是( )
A. 2，3 B. 1，2 C. 1，3 D. 2，2
4.在不超过9的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
5
5.已知事件 ， 互斥， ( ∪ ) = ，且 ( ) = 2 ( )，则 ( ) =( )
6
5 4 5 13
A. B. C. D.
9 9 18 18
6.已知点 ( 2,0)， (2,0)，直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，若 2 1 = 1，则点 的轨迹为不包
含 ， 两点的( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7.如图，已知在平行六面体 1 1 1 1中，| | = | | =

| 1 | = 1，且∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = ，则| 3

1 | =( )
A. √ 6
B. √ 3
C. √ 2
D. 2√ 2
2 2
8.已知点 为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)右支上一点， 1， 2分别为双曲
2
线的左右焦点，且 | | = ， 为三角形 1 2的内心，若 △ = △ +1 2 1 2
△ 1 2成立，则 的值为( )
1+2√ 2
A.
2
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B. 2√ 3 1
C. √ 2 + 1
D. √ 2 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，
一个好汉三个帮”等等.都能体现团队协作、集体智慧的强大.假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目
的概率为 1 = 0.8.同时，有由 个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目
的概率都是0.4.如果这 个人组成的团队解决该项目的概率为 2，且 2 ≥ 1，则 的取值可能是( )(参考数
据： 2 ≈ 0.30， 3 ≈ 0.48)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1
10.设双曲线的渐近线方程为 = ± ，则该双曲线的离心率 可以为( )
2
√ 5 2√ 5
A. B. C. √ 5 D. 2√ 5
2 5
11.在棱长为√ 2的正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点， 为平面 1上的一动点，则下列选项正
确的是( )
A. 二面角 1 的平面角的正切值为 √ 2
√ 2
B. 三棱锥 1 1 体积为 6
2√ 3 2
C. 以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 1 所截的圆面的面积为 3 3
√ 57
D. 线段 1 + 的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是抛物线 ： 2 = 8 的焦点， 为抛物线 上一点.若| | = 20，则点 的横坐标为______．
13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴
分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率
为______．
14.已知 1， 2是椭圆 1和双曲线 2的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 1 ⊥ 2，若 1和 2的离心率
1 1
分别为 1， 2，则 + 的取值范围是______． 1 2
四、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可
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进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人
合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
16.(本小题12分)
已知圆 ：( 1)2 + 2 = 4．
(1)若直线 经过点 ( 1,3)，且与圆 相切，求直线 的方程；
(2)若圆 ： 2 + 21 2 2 +
2 8 = 0与圆 相切，求实数 的值．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中， = 4， = 2， ⊥ ， = = ， ， ， 分别是 ， ， 的
中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若四面体 的体积为1，求| |；
(3)若 = (0 < < 1)，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
18.(本小题12分)
2 2 3
已知椭圆 ：
2
+ 2 = 1( > > 0)，短轴长为2√ 3，且经过点(1, ).过左焦点 的直线 交 于 ， 两点，
2
过点 与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方， 分别为 ， 的中点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明：直线 过定点，并求定点坐标；
(3)设 为直线 与直线 的交点，求△ 面积的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】18
14
13.【答案】
25
14.【答案】(√ 2, 2)
15.【答案】解：(1)第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，
分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件 1、 1；
这两个事件是相互独立事件，
设 表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，

则 ( ) = ( 1 1) = 0.5 × 0.4 = 0.2．
(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件 、 、 ，
则 ( ) = 0.5 × 0.6 = 0.3，
( ) = 0.6 × 0.5 = 0.3，
( ) = 0.4 × 0.5 = 0.2．
(3)设 表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，

则 ( ) = ( ) + ( ) + ( )
= 0.3 × 0.7 × 0.8 + 0.7 × 0.3 × 0.8 + 0.7 × 0.7 × 0.2
217
= 0.434 =
500
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16.【答案】解：(1)若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 = 1，与圆 相切，符合题意；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 3 = ( + 1)，即 + + 3 = 0，
|2 +3| 5
则 = 2，解得 = ，所以直线 的方程为5 + 12 31 = 0．
12
√ 2 +1
综上，直线 的方程为 = 1或5 + 12 31 = 0．
(2)圆 1的方程可化为( )
2 + ( 1)2 = 9．
若圆 1与圆 外切，则√ ( 1)
2 + 1 = 5，解得 = ±2√ 6 + 1；
若圆 1与圆 内切，则√ ( 1)2 + 1 = 1，解得 = 1，
综上， = ±2√ 6 + 1或 = 1．
17.【答案】解：(1)证明：∵ = = . 的中点为 ，则 ⊥ ．
∵ ⊥ ．
∴ = ，则△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，即 ⊥ ．
∵ ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
1 1
(2) ∵ = = = 1，∴ 4 4
= 4．
1
∵ △ = × 4 × 2 = 4， 2
1 1
∴ = × △ × = × 4 × = 4， 3 3
解得 = 3．
∴若四面体 的体积为1，则| | = 3；
(3)过 作 轴垂直平面 ，以 ， 方向分别为 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (4,0,0)， (0,2,0)， (2,1,3)， = = (2,1,3)(0 < < 1)，
∴ (2 , , 3 )， = (2 4, , 3 )，
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= (2, 1,3), = (0,2,0)，
设平面 法向量为 = ( , , )，
2 = 0
由{ = 0，得{ ，
= 0 2 + 3 = 0
取 = 3，得 = (3,0, 2)，
设 与平面 所成角为 ，
| | 12
则 = =| | | | √ 2 2 2
√ 13 (2 4) + +(3 )
12 12
= =
√ 2 2
，
√ 13 14 16 +16 √ 13√ 14 16 +16
4 80
= 时, (14 2 16 + 16)
7
= ，
7
3√ 455
∴ ≤ ，
65
∴直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为3√ 455．
65
3
18.【答案】解：(1)因为椭圆 的短轴长为2√ 3，且经过点(1, )， 2
2 = 2√ 3
所以{ 1 9 ，
2 + 2 = 14
解得{ = √ 3，
= 2
2 2
则椭圆 的标准方程为 + = 1；
4 3
(2)证明：易知直线 斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 = 1，
= 1
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
+ = 1
4 3
6
1 + 2 = 2
由韦达定理得{ 3 +4 9 ，
1 2 = 3 2+4
1 1 4
此时 ( 1 + 2) = [ ( 1 + 2 2 2) 2] =
，
3 2+4
因为点 为线段 的中点，
4 3
所以 ( 2 ,3 +4 3 2 )
，
+4
因为 ⊥ ，
同理得 4
2 3
( , )，
4 2+3 4 2+3
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21
所以 = 2 ( ≠ ±1)， 12( 1)
21 4 3
所以 ： = ( + ) + ， 12( 2 1) 3 2+4 3 2+4

整理得 = 2 (21 + 12)12( 1) ，
4
此时直线 过定点( , 0)，
7
4 3 4 3
当 = 1时，取 ( , )， ( , )，
7 7 7 7
4
则直线 过定点( , 0)；
7
4 3 4 3
当 = 1时，取 ( , )， ( , )，
7 7 7 7
4
则直线 过定点( , 0)，
7
4
综上，直线 过定点( , 0)；
7
(3)因为点 ， 分别为 ， 的中点，
1 1 1
此时 △ = △ △ △ = 2 △ 2 △ 2 △
1 1 1 1 1
= △ △ = | | | | = | | | |， 2 2 2 2 8
由(2)知 12(
2+1)
| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2 √ ( 1 + 2)2 4 1 2 = ， 3 2+4
同理得 12(1+
2)
| | = ，
4 2+3
1 144( 2
2 2
+1) 18( 2+1) 72
所以 △ = 2 2 ≥ 2 2 =8 (3 +4)(4 +3) 3 +4+3+4 2 ， ( ) 49
2
当且仅当3 2 + 4 = 4 2 + 3，即 = ±1时，等号成立．
72
则△ 面积的最小值为 ．
49
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