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青海省西宁市城区2024年中考数学试题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
第Ⅰ卷(选择题 共24 分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如收入 100元记为+100元，那么支出60元记为 ( )
A.-60 元 B.60元 C.-40元 D.40元
2.下列计算正确的是 ( )
A. B. C. D.
3.不等式组 的解集为 ( )
A. B. C. x＜1 D.无解
4.2024年5 月 9 日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕.在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图1所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是 （ ）
A.本次调查的样本容量是 500
B.本次调查的学生成绩在 70~80分之间的人数是10
C.本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间
D.估计 500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70
5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCO 的顶点O是坐标原点，顶点 A 在反比例函数 的图象上，对角线OB 在x轴上.若菱形ABCO 的面积是8 ，则k的值为 ( )
A. B. C. D.
6.如图，小区物业规划在一个长60m，宽22 m的矩形场地ABCD 上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2xm的道路.如果阴影部分的总面积是600 m ,那么x 满足的方程是 ( )
A. B.
C. D.
7.如图,在△ABC 中,AD 是角平分线,BE 是中线,AD=BE,且AD⊥BE,垂足为 F,G 为DC 的中点，连接 DE，EG.下列结论错误的是 ( )
A.△AFB≌△AFE B.∠ADB=∠ADE
C. D.△CEG∽△CBE
8.点 A(x ,y ),B(x ,y )是抛物线 (a是常数，且a＞0)上的两个点.下列结论：①抛物线与y轴的交点是(0，1)；②抛物线的对称轴是直线x=-2；③当. 时，AB = 4;④当 时， ⑤当0≤x≤2时，y 有最大值是1.其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷(非选择题 共96分)
二、填空题(本大题共10 小题，每小题2分，共20分)
9. a的相反数是 .
10.若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是 .(写出一个即可)
11.计算
12.在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 .
13.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,E 为直径CD 延长线上一点, 则∠DAB= .
14.已知方程 的两根分别为a 和b，则 的值为 .
15.如图,在△ABC 中,∠A=70°,BC=12,D 是BC的中点,分别以B,C为圆心,BD 长为半径作弧，交AB 于点E，交AC 于点F，则图中阴影部分的面积是 .
16.在平面直角坐标系xOy中,直线AB 与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,6),点 P在y 轴上,且满足∠PAB=15°,则OP 的长为 .
17.阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬 37°;③如图2,赤道半径OA 约为6400千米,弦BC∥OA.以 BC 为直径的圆的周长就是北纬 37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 千米(参考数据：
18.如图，正方形 ABCD 的边长为4，以AB 边为底向外作等腰 点 P 是对角线AC上的一个动点,连接 PB,PE,则 PB+PE 的最小值是 .
三、解答题(本大题共9小题,第19,20,21,22题每小题7分,第23,24题每小题8分,第25,26题每小题10分，第27题12分，共76分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(7分)计算:
20.(7分)先化简,再求值: ，其中a 满足
21.(7分)解方程:
22.(7分)2024年4月23 日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动.
(1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 (填“全面调查”或“抽样调查”).
(2)该社区某校准备从 A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动.请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出 A，B两名同学恰好同时被选中的概率.
23.(8分)如图,在△ABC 中, ,点 D 在AC上,过点 D 作 交AB 于点E,延长BC 到点F,使CF=AD,连接CE,DF.
(1)求证：四边形 DFCE 是平行四边形.
(2)若∠DCE=30°,AC=2,求 FC 的长.
24.(8分)西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图象，其中折线ABC 表示用快速充电器充电时y 与x的函数关系；线段AD 表示用普通充电器充电时y 与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题：
(1)用快速充电器充电时,汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需 h.
(2)求y 关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
(3)该品牌汽车电池电量从 10 kW·h 充到 100 kW·h，快速充电器比普通充电器少用 h.
25.(10分)如图,PA,PB 是⊙O的切线,A,B 为切点,连接OA,OB,过点O作( 交PB 于点C,过点 C 作 垂足为 D.
(1)求证:
(2)若⊙O 的半径是3,. 求OC 的长.
26.(10分)【感知特例】
(1)如图1,点 A,B 在直线l上,AC⊥l,DB⊥l,垂足分别为A,B,点 P 在线段AB 上,且PC⊥PD,垂足为 P.
结论:AC·BD=AP·BP
(请将下列证明过程补充完整)
证明:∵AC⊥l,BD⊥l,PC⊥PD
∴∠CAP=∠DBP=∠CPD=90°,
∴∠C+∠APC =90°,
+∠APC =90°,
∴ = ，(同角的余角相等)
∴△APC∽ ，(两角分别相等的两个三角形相似)
∴ = .(相似三角形的对应边成比例)
即AC·BD=AP·BP
【建构模型】
(2)如图2,点A,B 在直线l上,点 P 在线段AB 上,且∠CAP=∠DBP=∠CPD.结论AC·BD=AP·BP 仍成立吗 请说明理由.
【解决问题】
(3)如图3,在△ABC 中,AC=BC=5,AB=8,点 P 和点D 分别是线段AB,BC 上的动点,始终满足∠CPD=∠A.设 AP 长为x(0＜x＜8),当. 时，BD 有最大值是 .
27.(12分)如图，二次函数的图象与x轴交于点A(-3，0)，与y轴交于点B，顶点C 的坐标为
(1)求二次函数的解析式.
(2)判断 的形状，并说明理由.
(3)在直线 AB 上方的抛物线上是否存在一点 P，使 若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

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