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福建省漳州市 2024-2025 学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { | 2 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. { 1,0,1} C. {0,1,2} D. { 1,0,1,2}
2.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
2 1
A. ( ) = √ 2与 ( ) = B. ( ) = 与 ( ) = 1
+1
C. ( ) = √ 3与 ( ) = √ D. ( ) = 0与 ( ) = 1
3.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，点 ( 1, √ 2)在角 的终边上，则sin( + ) =( )
√ 6 √ 3 √ 3 √ 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.已知关于 的一元二次不等式 2 + + > 0的解集为{ | ≠ 1}，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4 2
5.已知 = ， = 23， = log43，则( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.用二分法求函数 ( ) = ln + 2在区间[1,2]上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的
次数最少为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

7.某同学用“五点法”画函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < )在一个周期内的图象时，列表并
2
填入了部分数据，如下表：
3
+ 0 2 2 2
2 13

9 18
sin( + ) 0 2
根据这些数据，要得到函数 = sin 的图象，需要将函数 ( )的图象( )

A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
18 18

C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
6 6
1 1
8.用max{ , }表示 与 的最大者，记 = max{4 + ， + }，其中 ， 都是正数，则 的最小值为( )

A. 2√ 2 B. 3 C. 8 D. 9
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，某池塘里浮萍的面积 (单位： 2)与时间 (单位：月)的关系为 = ，则( )
A. = 3 B. 第4个月时，浮萍面积超过80 2
C. 浮萍每月增加的面积都相等 D. 浮萍每月的增长率为2
10.已知函数 ( ) = |lg |，若0 < < ，且 ( ) = ( )，则( )
A. < 1 B. + 2 > 2√ 2 C. 2 + > 2√ 2 D. 2 < 1
11.如图正方形 的边长为1， ， 分别为边 ， 上的点，且∠ = 45 ，则( )
A. = 2 B. < +
1
C. △ 周长为定值 D. △ 面积的最大值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = √ 2 2 的定义域为 ．
13.已知 ( )为 上奇函数， ( + 4) = ( )， (1) + (2) + (3) + (4) + (5) = 6，则 (2025) = ．

14.已知函数 ( ) = 2cos( + )( > 0,0 < < )的图象过点(0,1)，且 ( )在区间( , )单调递增，则 的
2 6 3
取值范围为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
已知集合 = { | > 1}，集合 = { | 2 ≤ ≤ 2 }．
+1
(1)若 = 2，求 ∩ ( );
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 1) ( ∈ )在区间(0, +∞)单调递增．
(1)求 的值;
(2)若函数 ( ) = 2( ) + ( )， ∈ [1,2]，则是否存在实数 ，使得 ( )的最小值为4 若存在，求 的值
;若不存在，说明理由．
17.(本小题15分)
如图，已知直线 1// 2， 是 1， 2之间的一个定点， 到 1， 2的距离分别为 = 1， = 2， 是 1上一个
动点，设 = ∈ [1,2]，作直线 ⊥ ，且与直线 2交于点 ．
(1)写出△ 与△ 的面积之和关于 的函数解析式 ( );
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义法加以证明．
18.(本小题17分)
长泰摩天轮位于长泰天柱山，是欢乐大世界的地标式游乐设施，被誉为“长泰之眼”.游客坐在摩天轮的座
舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88
米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆
时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离
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地面最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴建立直角坐标系．
(1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动 分钟后距离地面的高度为 米，求在转动一周的过程中， 关于
的函数解析式 ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0);
(2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感.小明
能有多长时间感受这个过程
(3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，
求两人距离地面的高度差 的最大值．
19.(本小题17分)
若函数 ( )存在零点 1，函数 ( )存在零点 2，且| 1 2| ≤ 2，则称 ( )与 ( )互为相近函数．
8
(1)判断 ( ) = 2与 ( ) = 3 + 5是否互为相近函数，并说明理由;

(2)定义在 上的函数 ( ) = ln( 2 + 2) ln2有且只有一个零点，函数 ( ) = 3 + (6 + ) 2 + (13 +
6 ) + 9 + 12( ∈ )，若 ( )与 ( )互为相近函数，
(ⅰ)求 的值．
(ⅱ)求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0,4]
13.【答案】6
14.【答案】[4,5]
2 1
15.【答案】解：(1)由 > 1，得 > 0，解得 1 < < 1，
+1 +1
所以 = { | 1 < < 1}，
若 = 2， = { |0 ≤ ≤ 4}， = { | < 0或 > 4}．
所以 ∩ ( ) = { | 1 < < 0}．
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
2 ≤ 1
所以 ，所以{ 且等号布同时取，，
2 ≥ 1
1 1
解得 ≤ ≤ 1，所以实数 的取值范围为[ , 1]．
2 2
16.【答案】解：(1)因为 ( )是幂函数，所以 2 + 1 = 1，
解得 = 2或 = 1，
当 = 2时， ( ) = 2在区间(0, +∞)单调递减，不符合题意，
当 = 1时， ( ) = 在区间(0, +∞)单调递增，符合题意，
所以 = 1
(2)由(1)函数 ( )的解析式为 ( ) = ，函数 ( ) = 2( ) + ( )，
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即 ( ) = 2 + ， ∈ [1,2]，函数 = 2 + 的对称轴为 = ，
2

①当 ≤ 1，即 ≥ 2时，则 ( )
2 min
= (1) = 1 + = 4，解得 = 3，满足题意;
2
②当1 < < 2时，即 4 < < 2，则 ( )min = ( ) = = 4，无解，舍去; 2 2 4

③当 ≥ 2时，即 ≤ 4时，则 ( )min = (2) = 4 + 2 = 4，解得 = 0，不满足，舍去; 2
综上所述，存在 = 3使得 ( )的最小值为4．

17.【答案】解：(1)由已知，∠ + ∠ = ，∠ + ∠ = ，
2 2
所以∠ = ∠ ，

又因为∠ = ∠ = ，所以 ∽△ ，
2
2
所以 = ，已知 = 1， = 2， = ，得 = ，

1 1 1 2 1 2
所以 ( ) = × × + × × = × 2 × + × 1 × = + ， ∈ [1,2]，
2 2 2 2 2
2
函数 ( )的解析式为 ( ) = + ( ∈ [1,2])．
2
(2)函数 ( )在 ∈ [1,2]单调递减．
2
证明如下：由(1) ( ) = + ( ∈ [1,2])
2
任取 1， 2 ∈ [1,2]，且 1 < 2，
2 2 ( )( 4)
则 ( 1) ( ) = +
1 ( + 22 ) =
1 2 1 2 ，
1 2 2 2 2 1 2
( )( 4)
因为1 ≤ 1 < 2 ≤ 2，所以 1 2 < 0， 1 2 4 < 0， 1 2 > 0，所以
1 2 1 2 > 0，
2 1 2
即 ( 1) ( 2) > 0， ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在 ∈ [1,2]单调递减
18.【答案】解：(1) ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0)，
+ = 90 = 44
由题意知{ ，解得{ ，
+ = 90 88 = 46
2
又 = = 18，解得 = ，
9

所以 ( ) = 44sin( + ) + 46，因为 (0) = 2，所以sin = 1，所以 = 2 ， ∈ ，所以 ( ) =
9 2

44sin( + 2 ) + 46， ∈ [0,18];
9 2

(2)由(1) ( ) = 44sin( + 2 ) + 46 = 44cos + 46.令 ( ) = 44cos + 46 ≥ 68，
9 2 9 9
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1 1
则 cos ≥ ，即cos ≤ ，
9 2 9 2
2 4
因为 ∈ [0,18]，则 ∈ [0,2 ]，所以 ≤ ≤ ，解得 ∈ [6,12]，
9 3 9 3
所以小明坐上摩天轮能有12 6 = 6(分钟)感受这个过程;
2
(3)由题意知，两人间隔的弧度数为 × 14 = ，
56 2

所以小明经过 分钟后距离地面的高度为 1 = 44cos + 46， 9

小华距离地面的高度为 2 = 44cos( ) + 46， ∈ [0,18]; 9 2

则两人离地高度差 = | 1 2| = | 44cos + 44cos( )| 9 9 2

| 44 + 44 | = 44√ 2| ( )| 44√ 2，
9 9 9 4
3 27 63
当 = (或 )，即 = (或 )时， 的最大值为44√ 2米.
9 4 2 2 4 4
8
19.【答案】(1)令 ( ) = 2 = 0，解得 = 2，即 ( )有唯一零点2

因为 ( ) = 3 + 5在 上单调递增且连续，
而且 (3) = 1 < 0， (4) = 1 > 0， (3) (4) < 0，所以 ( )存在唯一零点 0，且 0 ∈ (3,4)，
8
所以满足| 0 2| ≤ 2，所以 ( ) =
2与 ( ) = 3 + 5互为相近函数．

(2) ( )已知定义在 上的函数 ( ) = ln( 2 + 2) ln2，对 上的任意一个 ，
都有 ( ) = ln[( )2 + 2] ln2 = ln( 2 + 2) ln2 = ( )，所以 ( )为偶函数，
又已知 ( )有且只有一个零点，所以 (0) = ln2 ln2 = 0，解得 = 1;
经检验，当 = 1时， ( )有唯一零点0．
( )由( )知， ( )有且只有一个零点为0，
又 ( )与 ( ) = 3 + (6 + ) 2 + (13 + 6 ) + 9 + 12互为相近函数，
所以 ( ) = 0在[ 2,2]上有解，
由 ( ) = 0，
即 3 + (6 + ) 2 + (13 + 6 ) + 9 + 12 = 0，
所以( + 3)2 = ( 3 + 6 2 + 13 + 12)，
令 = + 3，因为 ∈ [ 2,2]，所以 ∈ [1,5]，
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3 + 6 2
3 2
+ 13 + 12 ( 3) + 6( 3) + 13( 3) + 12 3 3 2 + 4
= = =
2
( + 3)
2 2
4 4
= ( + 3) (2√ · 3) = 1

4
当且仅当 = ， = 2，即 = 1时， 取到最大值为 1．

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