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宜川中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．双曲线的渐近线方程为 ．
2．已知函数，则 ．
3．已知等差数列满足，则的值为 ．
4．圆与圆的相交弦所在直线方程为 ．
5．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，那么的面积为 ．
6．在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条.
7．一个圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于 ．
8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余阴影部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ．
9．若是三个不共面的非零向量，，，若向量共面，则 ．
10．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围 ．
11．已知数列为等差数列，且，设，，当的前项和最小时，的值组成的集合为 ．
12．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点满足，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第题每题5分）
13．已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）.
A． B． C． D．
14．已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）.
A．存在唯一一条直线，使得； B．存在无数多条直线，使得；
C．存在唯一一条直线，使得； D．存在无数多条直线，使得
15．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
16．在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分，第17，18，19题每题14分，第20，21题每题18分）
17．在等差数列中，，且构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
18．如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，分别是线段的中点，若平面交于点.
（1）求多面体的体积；
（2）求证：四边形是正方形．
19．如图，在长方体中，点在棱上移动．
（1）当点在棱的中点时，证明：平面平面；
（2）当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为．
20．已知曲线由抛物线及抛物线组成，若是曲线上关于轴对称的两点，四点不共线，其中点在第一象限．
（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求四边形周长的最小值；
（3）若点横坐标小于4，求四边形面积的最大值．
21．函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线．
（1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①；②；
（2）动点在函数图像上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值；
（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.C 14.B 15.B 16.A
三．解答题
17．在等差数列中，，且构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
【答案】（1） （2）7
【解析】（1）在等差数列中，，设公差为，由构成等比数列，
可得，即有，得
因为当时，，不满足题意，舍去，所以．
（2）由（1）得，则递增，
由
可得时，正整数的最小值为7.
18．如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，分别是线段的中点，若平面交于点.
（1）求多面体的体积；
（2）求证：四边形是正方形．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体，取中点，连接，取的中点，底面中心为，，则，
所以多面体的体积
（2）先证明四边形是平行四边形，又，
于是为菱形，取的中点，而，
平面，则平面，
又平面，因此，于是，所以四边形是正方形．
19．如图，在长方体中，点在棱上移动．
（1）当点在棱的中点时，证明：平面平面；
（2）当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）证明平面，再证明平面平面；
（2）如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设时，平面与平面所成角为，则，
由图知，平面法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，则，因为平面与平面所成角为，
所以，解得或（舍）．
所以当为时，平面与平面所成角为．
20．已知曲线由抛物线及抛物线组成，若是曲线上关于轴对称的两点，四点不共线，其中点在第一象限．
（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求四边形周长的最小值；
（3）若点横坐标小于4，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）焦点，准线方程为 （2） （3）8
【解析】（1）抛物线，即，可知，即，且焦点在轴正半轴上，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
（2）由（1）可知：抛物线的焦点坐标为，
设，则，
由题意可知：四边形为等腰梯形，则四边形
周长
当且仅当三点共线时，等号成立，所以四边形周长的最小值为．
（3）由题意可知：，且，
则，梯形的高为，
可得四边形的面积为，且，构建，
则，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递增，在内单调递减，且，
可知的最大值为，所以四边形的面积的最大值为8．
21．函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线．
（1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①；②；
（2）动点在函数图像上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值；
（3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围．
【答案】（1）无支撑线；是的一条支撑线；
（2） （3）
【解析】（1）因为或在不能恒成立，
所以无支撑线；
设函数恒成立．即是的一条支撑线；
（2）直线是在定义域上的支撑线
若，则时，时，，不合题意．
所以，因为直线是在定义域上的支撑线，
所以恒成立．令所以.
由；由．
所以在上递增，在上递减.
所以的最大值为．
又易证在上递减，在上递增．
且，所以.
设，所以在处的切线斜率为，
所以当在处的切线斜率为，即时，
点到直线的距离取得最小值为．
（3）直线是函数在上的支撑线．
①若在上恒成立，所以．
记，则，
当时，，所以在上单调递减，符合题意．
当时，，符合题意．
当时，∴在上单调递减，，符合题意；
当时，在上单调递增，上单调递减，，不符；
②若在上恒成立，
在上不符合题意，
综上，．

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