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浦东外国语2024学年第一学期高一年级数学期末
2025.1
一、填空题（共36分，每題3分）
1．角的终边在第_________象限．
2．函数的零点为________．
3．已知，则方程的解集为________．
4．计算________．
5．已知函数和其反函数的图像都过点（1，2），则________．
6．已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________．
7．方程的解是________．
8．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则________．
9．设为常数且，在上是严格增函数，则实数的取值范围
是________．
10．设函数，其表达式为，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________．
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
12．关于函数，其表达式为，给出下列结论：
①函数的图像关于轴对称；
②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数：
③方程一定有实数解：以上结论正确的是________．
二、选择题（共12分，每题3分）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数的表达式为，用二分法研究函数的
零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
G．， D．，
15．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
16．定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
三、解答题（共52分）
17．（本题10分）已知函数的表达式．
（1）证明：函数在其定义域上是严格减函数；
（2）是否存在实数，使得函数是奇函数？并说明理由．
18．（本题8分）已知．
（1）化简并求；
（2）若角为第二象限角，且，求的值．
19．（本题10分）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
（1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；
（2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元）．
20．（本题12分）已知函数．
（1）若恒成立，求的最大值：
（2）若在上是严格单调函数，求的取值范围；
（3）求在上的最小值为，求．
21．（本题12分）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．
（1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围：
（3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．
参考答案
一、填空题
1.三; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.①③
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】当时，，此时；
当且时，，此时，
又∵，不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在，上严格增，在上严格减，
∴，此时，
若要满足函数的值域为，只需要，解得；
当且时，∵均在上严格增，∴在上严格增，且时，时，此时，此时显然能满足函数的值域为．综上可知，的取值范围是．
12．关于函数，其表达式为，给出下列结论：
①函数的图像关于轴对称；
②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数：
③方程一定有实数解：以上结论正确的是________．
【答案】①③
【解析】对①，令，解得，可知的定义域为，
定义域关于原点对称，且，则为偶函数，
即其图像关于轴对称，故①正确；
对于②：当时，方程只有1个解，故②错误；
对③，当时，则，因为在上单调递增，
且恒成立，所以在上单调递减，
当时，则，
因为在上单调递减，且恒成立，
所以在上单调递增，
可得的函数图像如下：
方程根的个数即为函数与的交点个数，
由图像可得：当时，函数与函数的图像一定有交点，
由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故③正确．故答案为：①③.
二、选择题
13.A 14.D 15.B 16.D
15．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】函数，
作出函数的图象，如图所示：
令，解得或，
∵函数的定义域为，值域为，
由图象可得，的最大值为．故选：B．
16．定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，所以的图象大致如图所示：由，
①当时，，即或，解得或；
②当时，，即或（舍），解得；
综上，，或或．故选：.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）存在，
18.（1） （2）
19.（1）
（2）当时，运动场造价最低，为元.
20．（本题12分）已知函数．
（1）若恒成立，求的最大值：
（2）若在上是严格单调函数，求的取值范围；
（3）求在上的最小值为，求．
【答案】（1） （2） （3）或5．
【解析】已知函数，
（1）由题意得恒成立，则，解得，
所以的最大值为．
（2）由题意得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调，所以或，解得或，
即的取值范围为
（3）当，即时，在上单调递增，
解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，
解得，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得或，舍去）.故或5．
21．（本题12分）若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．
（1）已知函数的表达式是，判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）已知函数的表达式是，若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围：
（3）已知函数的表达式是，其中为正整数，函数是区间（为正整数）上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．
【答案】（1）是 （2） （3）
【解析】（1）由题意可知，存在成立，
则是区间上的＂平均值函数＂；
（2）由题意知存在，知，
即，则，
因为，所以而在有解，
不妨令解得或，
则，解得，
综上，；
（3）由题意得，则，且，
由题意可知，
即，所以，因为，所以，
则，又因为，且，则当时，成立，
所以是满足条件的实数对.

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