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浦东外国语2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.1
一、填空题（共36分，每小题3分）
1．直线在轴上的截距是________．
2．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值为________．
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石．
4．从一副去掉大小王的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得为黑桃”，则概率_________．
5．已知一个圆锥的高为6，且侧面展开图恰是一个半圆，则该圆锥的侧面积为________．
6．两条平行直线与之间的距离为________．
7．直线经过的定点坐标为________．
8．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_______．
9．已知点、点，直线过点，若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是________．
10．已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为_______．
11．光线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点，则光线从点出发回到点所走的路程为________．
12．编号为1，2，3，4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过的概率
是________．
二、选择题（共12分，每小题3分）
13．数据，，…，的方差是5，则数据，，的方差是（　　）
A．9 B．10 C．19 D．20
14．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
15．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　）
A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立
16．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雷夫距离”，又设点及上任意一点．称的最小值为点到直线的“切比雷夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则
③定点，，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
三．解答题（共52分，8+8+10+12+14）
17．（本题满分8分，4+4）已知点，．
（1）设，若直线与直线垂直，求的值；
（2）求过点且与直线夹角的余弦值为的直线的方程．
18．（本题满分8分，4+4）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线.已知，，圆柱的体积为．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
19．（本题满分10分，4+6）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；
（2）现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宜讲团。从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间，求事件发生的概率．
20．（本题满分12分，6+6）甲、乙二人进行一次羽毛球比赛，有五周三胜制和三周两胜制两种赛制．五周三胜制中，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利。同时比赛结束；三局两胜制中，约定先胜2周者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束，假设在一周中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．
（1）若采用五局三胜制，且已知前2局中。甲、乙各胜1局．
①求再赛2局结束这次比赛的概率；
②求甲获得这次比赛胜利的概率．
（2）请问采用五周三胜制还是三局两胜制对甲更有利？并通过计算说明理由．
21．（本题满分14分，4+4+6）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的长．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．光线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点，则光线从点出发回到点所走的路程为________．
【答案】
【解析】由题意可知关于直线的对称点，
如图，由反射光线性质知，
设关于直线的对称点
，解得，
由反射光线性质知，所以各边即为光线所走的路线，
其周长等于线段的长度，．故答案为：．
12．编号为1，2，3，4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过的概率
是________．
【答案】
【解析】因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为
设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为，
根据题意有，则，
整理得，即
当时，，此时为，种情况；
当时，，此时为，
，种情况；
当时，，此时为，，种情况；
当时，，此时为，种情况；
综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为．
故答案为：
二、选择题
13.D 14.D 15.B 16.D
15．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　）
A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立
【答案】B
【解析】由题可得，样本空间为
，共有36个样本点，
其中
共包含18个样本点，
共包含9个样本点，
，共有18个样本点，
对于，若为奇数，则一个为奇数，一个为偶数，若为奇数，则都为奇数，∴事件和事件不能同时发生，∴事件与事件是互斥事件，故正确；
对于，事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，例如，
∴事件与事件是互斥但不对立事件，故错误；
对正确；
对所以
又因为所以，
所以与相互独立，正确．故选：．
16．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雷夫距离”，又设点及上任意一点．称的最小值为点到直线的“切比雷夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则
③定点，，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①对任意三点，若它们共线，设，，如图，
结合三角形的相似可得为，或，
则；
若或对调，可得
若不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，都有；故①正确；
②设点是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有，当时，取得最小值；
由，解得或，即有,
的范围是无最值，
综上可得，两点的＂切比雪夫距离＂的最小值为．故②正确；
③定点，动点满足，
可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限，第三象限和第四象限也有一条射线，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点．故③正确.∴真命题的个数是3．故选：．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分12分，6+6）甲、乙二人进行一次羽毛球比赛，有五周三胜制和三周两胜制两种赛制．五周三胜制中，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利。同时比赛结束；三局两胜制中，约定先胜2周者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束，假设在一周中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．
（1）若采用五局三胜制，且已知前2局中。甲、乙各胜1局．
①求再赛2局结束这次比赛的概率；
②求甲获得这次比赛胜利的概率．
（2）请问采用五周三胜制还是三局两胜制对甲更有利？并通过计算说明理由．
【答案】（1）① 0.52． ② 0.648． （2）五局三胜制对甲更有利．
【解析】（1）①用表示事件＂第i局甲胜＂，表示事件＂第局乙胜＂，
设＂再赛2局结束这次比赛＂为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥．
所以
故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52．
②记＂甲获得这次比赛胜利＂为事件，因前两局中，甲，乙各胜一局，
故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而，
由于各局比赛结果相互独立，且事件两两互斥，
所以．
故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648．
（2）记＂三局两胜制下甲获胜＂为事件，则
由于各局比赛结果相互独立，且事件互斥．
记＂五局三胜制下甲获胜＂为事件，比赛分3局赛完，4局赛完和5局赛完三种情况，
①若3局赛完，则甲获胜的情况有1种：＂甲甲甲＂（甲代表本局比赛甲胜）；
②若4局赛完，则甲获胜的情况有3种：＂甲甲乙甲＂，＂甲乙甲甲＂，＂乙甲甲甲＂；
③若5局赛完，则甲获胜的情况有6种：＂甲甲乙乙甲＂，＂甲乙甲乙甲＂，＂甲乙乙甲甲＂，＂乙甲甲乙甲＂，＂乙甲乙甲甲＂，＂乙乙甲甲甲＂；由于各局比赛结果相互独立，且以上事件均两两互斥，
因为，故五局三胜制对甲更有利．
21．（本题满分14分，4+4+6）如图，在三棱锥中，，．是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为，则，所以，所以，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）因为平面，以点为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
因为为棱上的点，设，其中，
所以，，且，
设平面的法向量为，则，
则不妨取，可得，
因为线与平面所成角的正弦值为，
所以则，
化简可得：，解得或（舍去）.
所以．
（3）设，因为
可得即点，
因为平面，则点，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当点为线段的中点时，三棱力的体积取最大值，
此时，点，
由（2）可知，此时，平面的一个法向量为，
设，其中，则，
因为平面，则，所以
解得，所以，，所以．即的长为．

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